理想氣體狀態(tài)方程和克拉珀龍方程的幾個(gè)推論及其應(yīng)用

理想氣體狀態(tài)方程和克拉珀龍方程的幾個(gè)推論及其應(yīng)用山東莒南一中 李樹(shù)祥 山東莒南前劉山小學(xué) 張伯英對(duì)于理想氣體, 有兩個(gè)基本方程: 一是研究任意質(zhì)量的氣體, 在任意狀態(tài)下, 三個(gè)狀態(tài)參量之間的關(guān)系的克拉珀龍方程PV = nRT；二是研究一定質(zhì)量的理想氣體在狀態(tài)變化的過(guò)程中, 初狀態(tài)和末狀態(tài)的狀態(tài)參量之間的關(guān)系的理想氣體狀態(tài)方程=。由這兩個(gè)方程可推導(dǎo)出一些有用的推論。推論一( 理想氣體的密度方程) ：設(shè)氣體的質(zhì)量為 m, 在狀態(tài) I 時(shí)的密度為 1, 溫度為 T 1,壓強(qiáng)為 P1 ; 狀態(tài)時(shí)的密度為2 , 溫度為 T2 , 壓強(qiáng)為P2, 則有.推導(dǎo) 把1= m/ V1 和2= m/ V2 代入理想氣體的狀態(tài)方程即得上式。此公式雖由一定質(zhì)量的理想氣體的狀態(tài)方程推出, 但此式卻與質(zhì)量無(wú)關(guān), 故常用來(lái)解決變質(zhì)量氣體的狀態(tài)變化問(wèn)題。例 1 ：貯氣筒中壓縮空氣的溫度是 T 1=27C, 壓強(qiáng)是 P1= 40atm。當(dāng)從筒內(nèi)放出一半質(zhì)量的空氣以后, 筒內(nèi)剩余空氣的溫度是 T 2=12C, 問(wèn)這些剩余空氣的壓強(qiáng) P2 是多少?解析： 筒內(nèi)放出一半質(zhì)量的氣體后, 由于貯氣筒的容積不變, 氣體的密度變?yōu)樵瓉?lái)的一半, 即2= 。故由推論一得P2=P12T 2/1T 1=401/2285/1300= 19atm推論二： 一定質(zhì)量的理想氣體 ，從溫度為T(mén) 1、壓強(qiáng)為 P 的狀態(tài)等容變化到溫度為 T = T+ T、壓強(qiáng)為 P= P+ P 的狀態(tài)時(shí), 氣體壓強(qiáng)的變化量P= . ； 從溫度為 T1、體積為 V 的狀態(tài)等壓變化到溫度為 T= T + T、體積為 V = V + V 的狀態(tài)時(shí), 氣體體積的變化量V= .推導(dǎo) 設(shè)氣體由狀態(tài) P、T 、V 變化到狀態(tài)P、T 、V。因等容變化時(shí) V= V, 故由氣體狀態(tài)方程有P/ P= T / T，由分比定理得 P/ P= T / T,所以P= TP/ T。同理可推得V= TV/ T例 2： 一定質(zhì)量的理想氣體, 在等壓變化過(guò)程中, 溫度由 300K 升高至 301K, 問(wèn)體積的增量等于它在 300K 時(shí)體積的多少?解析 ：依題設(shè), 氣體溫度的增量為T(mén) = 301- 300= 1K由推論二可得, 體積的增量為V= V/ 300，即體積的增量等于它在 300K 時(shí)體積的 1/ 300。推論三： 把壓強(qiáng)、體積、溫度分別為 P1、V 1、T 1、P2、V2、T 2, 的幾部分理想氣體( 不管這幾部分氣體性質(zhì)是否相同) 進(jìn)行混合, 混合后的壓強(qiáng)、體積、溫度為 P、V、T , 則有+. =若把壓強(qiáng)、體積、溫度為 P、V、T 的一定質(zhì)量的氣體分成幾部分, 則有=+. 推導(dǎo) 設(shè)幾部分氣體的摩爾數(shù)分別為 n1、n2、, 則由質(zhì)量守恒可知, 混合后的總摩爾數(shù)為n= n1+ n2+ 。由克拉珀龍方程有n1=, ,得+=，即+= 同理, 可導(dǎo)出推論三的后部分結(jié)論。例 3 一個(gè)潛水艇位于水面下 h= 200m,艇上有一個(gè)容積 V = 2m3 的貯氣鋼筒, 筒內(nèi)貯有壓縮空氣, 將筒內(nèi)一部分空氣壓入水箱( 水箱有排水孔與海水相連) , 排出海水 V1= 10m3, 此時(shí)筒內(nèi)剩余氣體的壓強(qiáng)是 P2= 95atm。設(shè)在排水過(guò)程中溫度不變, 求貯氣鋼筒內(nèi)原來(lái)的壓縮空氣的壓強(qiáng)。設(shè)水面上空氣壓強(qiáng)為 P0= 1atm,海水密度為= 1. 0 103kg/ m3, g = 10m/ s2,1atm= 1. 0105Pa。解析 本題是一個(gè)壓縮空氣排水的問(wèn)題,相當(dāng)于把貯氣筒內(nèi)的壓縮氣體( 已知體積 V=2m3, 設(shè)壓強(qiáng)為 P, 溫度為 T ) 分為兩個(gè)部分, 一部分進(jìn)入水箱( 已知體積為 V1= 10m3, 溫度 T1= T , 設(shè)壓強(qiáng)為 P1 ) , 一部分留在貯氣筒( 已知體積 V2= V = 2m3, 壓強(qiáng) P2= 95atm, 溫度 T 2=T ) 。水箱內(nèi)空氣的壓強(qiáng)可直接算出P1 = P0 + g h = 1 +110310200/1105 =21atm對(duì)壓縮空氣, 由推論三有PV/T=P1V1/T1+P2V2/T 2得 P =(P1V 1+ P2V2)/V=（2110+ 952）/2=200atm推論四 k 個(gè)不同狀態(tài)的理想氣體合并后再分成另外m 個(gè)不同的狀態(tài), 則有+.= +.推導(dǎo)同推論三的推導(dǎo)類似, 由混合前氣體的總摩爾數(shù)n1+ n2+ 等于混合后的總摩爾數(shù) n1+ n2+ , 再利用克拉珀龍方程即可導(dǎo)出推論四。例 4 如圖所示甲、乙兩容器用細(xì)管相連, V1=1L, V2 = 2L, 甲容器內(nèi)空氣的壓強(qiáng)為 P1= 1atm, 乙容器中空氣的壓強(qiáng)為P2= 2atm, 溫度均為T(mén) 1= T2= 27C。打開(kāi)閥門(mén),并將甲容器的溫度降為 T1= - 73C, 乙容器的溫度仍為 T2= 27C, 問(wèn)此時(shí)容器內(nèi)氣體的壓強(qiáng)為多少?解析 由推論四有+= +, 即+= +得 P =（）（）= 1. 43atm推論五 （道爾頓分壓定律）容器中混合氣體的壓強(qiáng)，等于在同樣溫度、同樣體積下混合氣體各成分單獨(dú)存在時(shí)的分壓強(qiáng)之和。即P1+P2=P.推導(dǎo) ，由推論三得+=，若V1=V2=V,T1=T2=T,則P1+P2=P例5，一足球容積4L,內(nèi)有壓強(qiáng)P=2a