醫(yī)用高數(shù)第三章一元函數(shù)積分學第一節(jié)：不定積分.ppt

一、不定積分的概念,二、不定積分的性質(zhì)基本積分公式,三、換元積分法,四、分部積分法,五、有理函數(shù)的積分,第一節(jié)不定積分,第三章一元函數(shù)積分學,一、不定積分的概念,定義3-1若在某區(qū)間上,則稱為在該區(qū)間上的一個原函數(shù),例,（2）若和都是的原函數(shù),則,（為任意常數(shù)）,（3）為原函數(shù)的全體,定義3-2若函數(shù)是一個原函數(shù),則原函數(shù)的全體稱為的不定積分.記為.,由此可知,求不定積分只需求出一個原函數(shù),再加上任意常數(shù).,例3-1求,解,例3-2求,解,不定積分的幾何意義,是積分曲線上、下平移所得到一族積分曲線，稱為積分曲線族,在點處有相同的斜率，即這些切線互相平行,二、不定積分的性質(zhì)和基本積分公式,性質(zhì)3-3,性質(zhì)3-4,基本積分公式,(3),(4),例3-3求,例3-4求,解,解,例3-5求,解,例3-7求,例3-6求,解,解,例3-8求,解,但是,解決方法利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.,三、換元積分法,因為,第一類換元法(湊微分法),注意使用此公式的關(guān)鍵在于,定理3-1,則有換元公式,證明,解,例3-9求,例3-10求,解,對換元積分比較熟練以后,不必寫出中間變量,例3-11求,解,例3-12求,解,例3-13求,解,例3-14求,解,同理可得,例3-15求,解,解,例3-16求,例3-17求,解,解法1,例3-18求,解法2,解法3,湊微分常見的類型,第一類換元法是通過變量替換將積分,下面介紹的第二類換元法是通過變量換將積分,2第二類換元法,定理3-2設(shè)單調(diào)、可導(dǎo)，且，若具有原函數(shù)，則有,證明,注意使用此公式的關(guān)鍵在于通過變量替換將換成一個容易求得的積分來計算,例3-19求,解令,對被積函數(shù)中含有無理根式的積分，通過適當?shù)淖儞Q去掉根式后再積分，也稱根式代換.,例3-20求,解令,若被積函數(shù)中含有時,可采用三角替換的方法化去根式,這種方法稱為三角代換.,三角代換常有下列規(guī)律,解設(shè),例3-21求,解令,例3-22求,解令,例3-23求,注倒數(shù)代換也是常用的代換之一,解令,例3-24求,考慮積分,解決思路,利用分部積分法,四、分部積分法,定理3-3,即,兩邊求不定積分,所以,解令,如果令,顯然，選擇不當，積分更難進行.,例3-25求,更復(fù)雜了!,選擇注意以下兩點,若被積函數(shù)是冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)（或三角函數(shù)）的乘積,設(shè)冪函數(shù)為.,例3-26求,解,解,例3-27求,例3-28求,解,解令,例3-29求,若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)（或反三角函數(shù)）的乘積，設(shè)對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為.,例3-30求,若被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積時,二者皆可作為,但作為的函數(shù)的類型不變.,例3-31求,有理函數(shù)兩個多項式的商表示的函數(shù).,五、有理函數(shù)的積分,其中、都是非負整數(shù)；及都是實數(shù),并且，.,假定分子與分母之間沒有公因式,例,注意,(1)利用多項式除法,假分式可以化成一個多項式和一個真分式之和.,其中都是待定的常數(shù).,分母中若有因式，則分解后為,其中為待定的常數(shù).,便于求積分必須把真分式化為部分分式之和,同時要把上面的待定的常數(shù)確定,這種方法叫待定系數(shù)法,例3-32求,方法1：去分母,兩端同乘以,得,比較兩端同次冪的系數(shù),得,解方程組,得,方法2：在恒等式中,令,得;令,得.,例3-33求,解設(shè),解設(shè),例3-34求,解,例3-35求,分析:被積函數(shù)的分母在實數(shù)范圍內(nèi)不能因式分解,可用湊微分法求解.,1原函數(shù)的概念不定積分的概念不定積分的性質(zhì)基本積分公式,主要內(nèi)容,2兩類換元法,3分部積分法,（1）若被積函數(shù)是冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)（或三角函數(shù)）的乘積,設(shè)冪函數(shù)為.,(2)若被積函