數(shù)學文化第五講幻方PPT課件

1,.,數(shù)學文化的起源,幻方,2,.,一、幻方基本知識,1、從河洛文化說起,相傳，在上古伏羲時代，洛陽東北孟津縣境內(nèi)的黃河里躍出一匹龍馬，背上馱了一幅圖，上面有黑白點55個，用直線連成10數(shù)獻給伏羲。后人稱之為河圖，伏羲依此而演繹成八卦，后為周易來源。,3,.,又傳，大禹治水時，有靈龜自洛水出，背上排列成“帶九履一，左三右七，四二為肩，八六為足，五居中央”的圖形，獻給大禹，后人稱之為洛書。大禹依此治水成功，遂劃天下為九州。又依此定“九章大法”治理社會，流傳下來收入尚書中，名為洪范。在中國歷史中，,大禹的功勞極其巨大，因為他治水以后，中國九州才開始以農(nóng)業(yè)立國。而他成功治水的智慧就來自“洛書”的啟示。,4,.,（1）兩圖的結構對稱。,（2）數(shù)的概念直接而又形象地包含在圖書之中，其中由黑點構成的數(shù)為偶數(shù)，白點構成的數(shù)為奇數(shù)。,5,.,2、幻方,在一個方陣中，如果每行、每列以及對角線上自然數(shù)之和分別都等于某一個定值，則稱此方陣為幻方。這個特定值稱為幻和，每格內(nèi)的自然數(shù)稱為元素。幻方每邊格數(shù)n稱為幻方的階。,如果每一對角線上的元素之和也都等于幻和，則稱該方陣為完美幻方?；梅絻?nèi)元素全體的和稱為幻方和。在幻方中所有與其中心對稱的兩元素的和如果都相等，則該幻方稱為對稱幻方。,6,.,二、妙趣橫生的幻方,1、洛書圖,7,.,2、九九圖,我國宋朝數(shù)學家楊輝在續(xù)與摘奇算法中給出了一個9階幻方。,8,.,該幻方中蘊含著許多奇特的性質(zhì),1、距離幻方中心41的任何中心對稱位置上兩數(shù)之和都為82。注意12+92=82。,2、將幻方按圖中粗線分為九塊，即為九個三階幻方。,9,.,10,.,該幻方中蘊含著許多奇特的性質(zhì),1、距離幻方中心41的任何中心對稱位置上兩數(shù)之和都為82。注意12+92=82。,2、將幻方按圖中粗線分為九塊，即為九個三階幻方。,3、若把上述九個三階幻方的每個“幻和”值寫在九宮中，又構成一個新的三階幻方。并且幻方中的九個數(shù)分別是首項為111，末項為135，公差為3的等差數(shù)列。將這些數(shù)按大小順序的序號寫在九宮格中，它又恰好是“洛書”幻方。,11,.,12,.,（4）將幻方對角線上的數(shù)全部圈起來，再從外向里用方框框上，則每個“回”形上圈里的八個數(shù)字與中心數(shù)41又分別構成三階幻方。,13,.,14,.,3、素數(shù)幻方,尾數(shù)全是9，幻和為1077。,尾數(shù)全是7，幻和為798。,15,.,4、黑洞數(shù)幻方,（1）該幻方中，4行4列4斜對角線及4副對角線上的4個四位數(shù)的和統(tǒng)統(tǒng)是6174。每一個田字格中的四數(shù)之和都是6174。若再有規(guī)律地截得的長方形、平行四邊形、梯形等幾何圖形的4角中的四數(shù)之和也是6174。,（2）任何一個元素，通過一定的四則運算它們個個可以變成6174。,16,.,17,.,5、回文數(shù)幻方,該四階完美幻方的幻和是13992。,18,.,6、馬步幻方,19,.,20,.,21,.,7、方中含方,22,.,7、方中含方,23,.,7、方中含方,24,.,25,.,26,.,27,.,8、和、積幻方（也叫加乘幻方）,該幻方每一行和、列和，對角線和均為840；且每行積、每列積、對角積均為2058068231856000,28,.,該幻方每一行和、列和，對角線和均為2215；且每行積、每列積、對角積均為400617453604515840000,29,.,9、二次幻方,該幻方本身是一個幻方，同時幻方中各數(shù)的平方仍組成一個幻方。圖中幻方幻和為20049.,30,.,10、雪花幻方（全對稱幻方）,該幻方中的數(shù)字對稱中心41等距離的兩數(shù)之和相等；將幻方左邊第一列移動到最右邊。上面第一行移動到最下邊所組成的圖形仍是一個9階幻方。,31,.,三、幻方的構造,1、楊輝與奇數(shù)階幻方的構造方法,三階幻方的構造方法：“九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出”。,32,.,類似可以構造5階、7階、9階等奇數(shù)階幻方,33,.,類似可以構造5階、7階、9階等奇數(shù)階幻方,34,.,類似可以構造5階、7階、9階等奇數(shù)階幻方,35,.,2、奇數(shù)階幻方的羅伯構造,原理：1居首列正中央，下數(shù)依次左上放；左出格時右邊寫，上出格時下面填；遇到有數(shù)無處填，就在此數(shù)右鄰放。,36,.,3、偶數(shù)階幻方的海爾構造,根數(shù)：指在一個n階幻方的構造過程中，數(shù)字k（k=1，2，3，n）的根數(shù)為n(k-1)。例如，在四階幻方中，1的根數(shù)為0，3的根數(shù)為8；在10階幻方中，3的根數(shù)為20。,37,.,以4階幻方為例來說明：,（1）將1到4這4個數(shù)字分別從左到右（從小到大）填入方陣的兩條對角線中，得方陣A。,（2）把A中每一行的空格中填入1到4在該行沒有的數(shù)字（左大右小），使每行每列數(shù)字之和均為10，得方陣B,38,.,（3）把方陣B轉置，即交換行列，得到方陣C，C中的數(shù)叫做原始數(shù)。,（4）把C中各原始數(shù)分別用其相應的根數(shù)替換，得方陣D。,39,.,（5）最后將B，D兩方陣中對應數(shù)分別相加，便得到一個4階幻方。,40,.,4、雙偶階幻方的構造,定義：在一個n階幻方的構造過程中，數(shù)字k（k=1，2，3，n）的補數(shù)為n2+1-k.例如，在四階幻方中，1的補數(shù)為16，3的補數(shù)為14。,41,.,以8階幻方為例來說明雙偶階幻方的構造方法:,（1）將從1到82這64個自然數(shù)依次連續(xù)填入方陣各方格內(nèi)。,42,.,（2）然后將兩條對角線及方陣內(nèi)與對角線平等間隔為兩格的斜線上的數(shù)字分別替換為各自的補數(shù)，得到的方陣即是一個8階幻方。,43,.,（2）然后將兩條對角線及方陣內(nèi)與對角線平等間隔為兩格的斜線上的數(shù)字分別替換為各自的補數(shù)，得到的方陣即是一個8階幻方。,44,.,四、幻方的應用,1、幻方在藝術等方面的應用,建筑學家索力拉東發(fā)現(xiàn)幻方的對稱性相當豐富，他采用幻方組成許多美麗的圖案，把幻方中的那些陣內(nèi)的線條稱為“魔線”，并應用于輕工業(yè)。封面包裝設計中，加拿大滑鐵盧大學的一位專家發(fā)現(xiàn)了幻方與“拉丁方”的內(nèi)在聯(lián)系，由于“拉丁方”在實驗設計領域中有著無比的重要性，從而幻方原理成了正交試驗設計的新思路。,45,.,2、幻方與科學技術,幻方在計算機、圖論、實驗統(tǒng)計等方面都有出色的應用?；梅揭蚓哂幸环N自然的屬性，雖是數(shù)字關系，但往往抽象概括特別方便。當人們反復思考后，就可能對某個學科理論產(chǎn)生出靈感來，從而推動其發(fā)展。,在中國的傳統(tǒng)文化中，我們能看到洛書運用于軍事、中醫(yī)、天文、氣象等領域，大量的資料說明幻方與各種學科密切相關。如今，幻方在圖論、人工智能、博弈論、組合分析、實驗設計等方面有著廣泛運用?；梅揭隽穗娮臃匠淌健⒆詣涌刂普?，從而促進了電子計算機的誕生。,46,.,1977年，人類向太空送去尋求太空理性生物的使者宇宙飛船旅行者一號，為了使語言不通的太空理性生物知道人類已高度了解宇宙的某些奧秘，特別是數(shù)的奧秘，飛船上載有一塊永不生銹，極難變形的合金板，其上刻的就是一個4階