2011普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)文（廣東卷含答案）

2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)文試題（廣東卷，含答案）本試題共4頁，21小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘。注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。2選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。3非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。4作答選做題時(shí)，請(qǐng)先用2B鉛筆填涂選做題的題號(hào)對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn)，再作答。漏涂、錯(cuò)涂、多涂的，答案無效。5考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。參考公式：錐體體積公式，其中為錐體的底面積，為錐體的高線性回歸方程中系數(shù)計(jì)算公式，樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，其中，表示樣本均值是正整數(shù)，則一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1設(shè)復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則A B C D1（A）2已知集合為實(shí)數(shù)，且，為實(shí)數(shù)，且，則的元素個(gè)數(shù)為A4 B3 C2 D12（C）3已知向量若為實(shí)數(shù)，則A B C1 D23（B）4函數(shù)的定義域是A B C D4（C）5不等式的解集是A B C D5（D）6已知平面直角坐標(biāo)系上的區(qū)域由不等式組給定若為上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) 的坐標(biāo)為，則的最大值為A3 B4 C D6（B）7正五棱柱中，不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂點(diǎn)的連線稱為它的對(duì)角線，那么一個(gè)正五棱柱對(duì)角線的條數(shù)共有A20 B15 C12 D107（D）8設(shè)圓與圓外切，與直線相切，則的圓心軌跡為A拋物線 B雙曲線 C橢圓 D圓8（A）正視圖圖1側(cè)視圖圖22俯視圖圖39如圖1 3，某幾何體的正視圖（主視圖），側(cè)視圖（左視圖）和俯視圖分別是等邊三角形，等腰三角形和菱形，則該幾何體的體積為A BC D9（C）10設(shè)是上的任意實(shí)值函數(shù)，如下定義兩個(gè)函數(shù)和：對(duì)任意，；，則下列等式恒成立的是ABCD10（B）二、填空題：本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分（一）必做題（9 13題）11已知是遞增的等比數(shù)列，若，則此數(shù)列的公比 112 或是遞增的等比數(shù)列，12設(shè)函數(shù)若，則 12，即，則13為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時(shí)間之間的關(guān)系，下表記錄了小李某月1號(hào)到5號(hào)每天打籃球時(shí)間（單位：小時(shí)）與當(dāng)天投籃命中率之間的關(guān)系：時(shí)間12345命中率0.40.50.60.60.4小李這5天的平均投籃命中率為 ；用線性回歸分析的方法，預(yù)測小李該月6號(hào)打6小時(shí)籃球的投籃命中率為 13；小李這5天的平均投籃命中率，線性回歸方程，則當(dāng)時(shí)，預(yù)測小李該月6號(hào)打6小時(shí)籃球的投籃命中率為（二）選做題（14 15題，考生只能從中選做一題）14（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知兩曲線參數(shù)方程分別為和 ，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為_14表示橢圓，表示拋物線或（舍去），又因?yàn)?，所以它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為圖415（幾何證明選講選做題）如圖4，在梯形中，分別為上的點(diǎn)，且，則梯形與梯形的面積比為_15如圖，延長， ， ， 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟16（本小題滿分12分）已知函數(shù)，（1）求的值；（2）設(shè)，求的值16解：（1）（2），即，即，17（本小題滿分13分）在某次測驗(yàn)中，有6位同學(xué)的平均成績?yōu)?5分用表示編號(hào)為的同學(xué)所得成績，且前5位同學(xué)的成績?nèi)缦拢壕幪?hào)12345成績7076727072（1）求第6位同學(xué)的成績，及這6位同學(xué)成績的標(biāo)準(zhǔn)差；（2）從前5位同學(xué)中，隨機(jī)地選2位同學(xué)，求恰有1位同學(xué)成績?cè)趨^(qū)間（68，75）中的概率17解：（1），解得標(biāo)準(zhǔn)差（2）前5位同學(xué)中隨機(jī)選出的2位同學(xué)記為，且則基本事件有，共10種 這5位同學(xué)中，編號(hào)為1、3、4、5號(hào)的同學(xué)成績?cè)趨^(qū)間（68，75）中設(shè)A表示隨機(jī)事件“從前5位同學(xué)中隨機(jī)選出2位同學(xué)，恰有1位同學(xué)成績?cè)趨^(qū)間（68，75）中”則A中的基本事件有、共4種，則18（本小題滿分13分）圖5所示的幾何體是將高為2，底面半徑為1的直圓柱沿過軸的平面切開后，將其中一半沿切面向右水平平移后得到的分別為,的中點(diǎn)，分別為,的中點(diǎn)（1）證明：四點(diǎn)共面；（2）設(shè)為中點(diǎn)，延長到，使得證明：平面圖518證明：（1）連接依題意得是圓柱底面圓的圓心是圓柱底面圓的直徑分別為,的中點(diǎn)，四邊形是平行四邊形四點(diǎn)共面（2）延長到，使得，連接，四邊形是平行四邊形，面面，面易知四邊形是正方形，且邊長，易知，四邊形是平行四邊形，平面19（本小題滿分14分）設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性19解：函數(shù)的定義域?yàn)榱?當(dāng)時(shí)，令，解得則當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，則在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增 當(dāng)時(shí)，令，解得， 則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減20（本小題滿分14分）設(shè)，數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：對(duì)于一切正整數(shù)，20（1）解： 當(dāng)時(shí)，則是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，即 當(dāng)且時(shí)，當(dāng)時(shí)，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列綜上所述（2）證明： 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)且時(shí)，要證，只需證，即證即證即證即證，原不等式成立對(duì)于一切正整數(shù)，21（本小題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系上，直線：交軸于點(diǎn)設(shè)是上一點(diǎn)，是線段的垂直平分線上一點(diǎn)，且滿足（1）當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）已知，設(shè)是上動(dòng)點(diǎn)，求的最小值，并給出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）過點(diǎn)且不平行于軸的直線與軌跡有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求直線的斜率的取值范圍21解：（1）如圖所示，連接，則，動(dòng)點(diǎn)滿足或在的負(fù)半軸上，設(shè) 當(dāng)時(shí)，化簡得 當(dāng)在的負(fù)半軸上時(shí)，綜上所述，點(diǎn)的軌跡的方程為或（2）由（1）知的軌跡是頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為原點(diǎn)的拋物線和的負(fù)半軸 若是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過作于由于是拋物線的準(zhǔn)線，根據(jù)拋物線的定義有則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值 求得此時(shí)的坐標(biāo)為 若是的負(fù)半軸上的動(dòng)點(diǎn) 顯然有綜上所述，的最小值為3，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為（3）如圖，設(shè)拋物線頂點(diǎn)，則直線的斜率點(diǎn)在拋物線內(nèi)部，過點(diǎn)且不平