上海金山中學(xué)高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中

金山中學(xué)2015學(xué)年度第二學(xué)期高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科期中考試卷（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）一填空題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫(xiě)結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)得4分，否則一律得零分1已知復(fù)數(shù)滿足，則_.2.半徑為的球的表面積為_(kāi).3. 若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為_(kāi).4. 設(shè)是實(shí)數(shù),若方程表示的曲線是雙曲線,則的取值范圍為 5. 直線的傾斜角的取值范圍是_.6.設(shè)是方程的兩個(gè)虛根，且，則實(shí)數(shù)_.7. 圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，已知扇形弧長(zhǎng)為，半徑為，則該圓錐的體積等于_.8. 在直三棱柱中，則異面直線與所成角的余弦值是_9已知、是橢圓（0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且.若的面積為9，則=_. w.第12題圖10某由圓柱切割獲得的幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是中心角為的扇形，則該幾何體的側(cè)面積為_(kāi).第10題圖11. 某地球儀上北緯緯線長(zhǎng)度為cm，該地球儀的表面上北緯東經(jīng)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與北緯東經(jīng)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的球面距離為 cm（精確到0.01）12如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形中，為正方形邊上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將所在平面沿折起，使點(diǎn)在平面上的射影在直線上，當(dāng)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到，再?gòu)倪\(yùn)動(dòng)到，則點(diǎn)所形成軌跡的長(zhǎng)度為_(kāi).13拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又點(diǎn)，則的最小值為 .14.直線平面，垂足是，正四面體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)在平面上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是_.二選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且僅有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得5分，否則一律得零分15給出下列命題，其中正確的命題是 （ ）若，且，那么一定是純虛數(shù)若、且，則 若，則不成立 若，則方程只有一個(gè)根16一個(gè)水平放置的三角形的斜二測(cè)直觀圖是有一條邊水平的等邊三角形，則這個(gè)三角形一定是 （ ）銳角三角形 直角三角形 鈍角三角形 以上都有可能17已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，若，則稱橢圓為“黃金橢圓”則下列三個(gè)命題中正確命題的序號(hào)是 （ ）在黃金橢圓中，成等比數(shù)列；在黃金橢圓中，若上頂點(diǎn)、右頂點(diǎn)分別為，則；在黃金橢圓中，以為頂點(diǎn)的菱形的內(nèi)切圓過(guò)焦點(diǎn) 第18題圖18如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，為的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面記為。則下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ） 當(dāng)時(shí)，為四邊形；當(dāng)時(shí)，為等腰梯形；當(dāng)時(shí)，與的交點(diǎn)R滿足；當(dāng)時(shí)，為六邊形；當(dāng)時(shí)，的面積為.2 3 4 5三解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟19（本題滿分12分）已知復(fù)數(shù)，且，又，而的實(shí)部和虛部相等，求. 第20題圖20（本題滿分14分，第（1）小題6分，第（2）小題8分）某種“籠具”由內(nèi)，外兩層組成，無(wú)下底面，內(nèi)層和外層分別是一個(gè)圓錐和圓柱，其中圓柱與圓錐的底面周長(zhǎng)相等，圓柱有上底面，制作時(shí)需要將圓錐的頂端剪去，剪去部分和接頭忽略不計(jì)，已知圓柱的底面周長(zhǎng)為，高為，圓錐的母線長(zhǎng)為.（1）求這種“籠具”的體積（結(jié)果精確到0.1）；（2）現(xiàn)要使用一種紗網(wǎng)材料制作50個(gè)“籠具”，該材料的造價(jià)為每平方米8元，共需多少元？21（本題滿分14分，第（1）小題6分，第（2）小題8分）以橢圓：的中心為圓心，為半徑的圓稱為該橢圓的“準(zhǔn)圓”.設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，且滿足，.（1）求橢圓及其“準(zhǔn)圓”的方程；（2）若橢圓的“準(zhǔn)圓”的一條弦與橢圓交于、兩點(diǎn)，試證明：當(dāng)時(shí)，弦的長(zhǎng)為定值.22（本題滿分16分，第（1）題4分，第（2）題6分，第（3）題6分）DBACOE第22題圖如圖，已知四面體中，且兩兩互相垂直，點(diǎn)是的中心（1）求二面角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）；（2）過(guò)作，垂足為，求繞直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積；（3）將繞直線旋轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線與直線所成角記為，求的取值范圍23 （本題滿分18分，第（1）小題6分，第（2）小題4分，第（3）小題8分）（1）求證：橢圓中斜率為的平行弦的中點(diǎn)軌跡必過(guò)橢圓中心；（2）用作圖方法找出下面給定橢圓的中心；(3) 我們把由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”，其中，.如圖，設(shè)點(diǎn)，是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，和，是“果圓” 與,軸的交點(diǎn). 連結(jié)“果圓”上任意兩點(diǎn)的線段稱為“果圓”的弦。試研究：是否存在實(shí)數(shù)，使斜率為的“果圓”平行弦的中點(diǎn)軌跡總是落在某個(gè)橢圓上？若存在，求出所有可能的值，若不存在，說(shuō)明理由.第23（3）題圖(提示：第（1）題的結(jié)論可推廣為任意橢圓，第（2），第（3）題可直接應(yīng)用推廣的結(jié)論.)第23（2）題圖金山中學(xué)2015學(xué)年度第二學(xué)期高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科期中考試卷答案（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分命題人：魯 丹審核人：陳繁球）一填空題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫(xiě)結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)得4分，否則一律得零分1已知復(fù)數(shù)滿足，則_.2.半徑為的球的表面積為_(kāi).3. 若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為_(kāi).4. 設(shè)是實(shí)數(shù),若方程表示的曲線是雙曲線,則的取值范圍為 5. 直線的傾斜角的取值范圍是_.6.設(shè)是方程的兩個(gè)虛根，且，則實(shí)數(shù)_.7. 圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，已知扇形弧長(zhǎng)為，半徑為，則該圓錐的體積等于_.8. 在直三棱柱中，則異面直線與所成角的余弦值是_9已知、是橢圓（0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且.若的面積為9，則=_. w.第12題圖10某由圓柱切割獲得的幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是中心角為的扇形，則該幾何體的側(cè)面積為_(kāi).第10題圖11. 某地球儀上北緯緯線長(zhǎng)度為cm，該地球儀的表面上北緯東經(jīng)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與北緯東經(jīng)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的球面距離為 cm（精確到0.01）12如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形中，為正方形邊上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將所在平面沿折起，使點(diǎn)在平面上的射影在直線上，當(dāng)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到，再?gòu)倪\(yùn)動(dòng)到，則點(diǎn)所形成軌跡的長(zhǎng)度為_(kāi).13拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又點(diǎn)，則的最小值為 .14.直線平面，垂足是，正四面體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)在平面上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是_.二選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且僅有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得5分，否則一律得零分15給出下列命題，其中正確的命題是 （ A ）若，且，那么一定是純虛數(shù)若、且，則 若，則不成立 若，則方程只有一個(gè)根16一個(gè)水平放置的三角形的斜二測(cè)直觀圖是有一條邊水平的等邊三角形，則這個(gè)三角形一定是 （ C ）銳角三角形 直角三角形 鈍角三角形 以上都有可能17已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，若，則稱橢圓為“黃金橢圓” 則下列三個(gè)命題中正確命題的序號(hào)是 （ D ）在黃金橢圓中，成等比數(shù)列；在黃金橢圓中，若上頂點(diǎn)、右頂點(diǎn)分別為，則；在黃金橢圓中，以為頂點(diǎn)的菱形的內(nèi)切圓過(guò)焦點(diǎn) 18第18題圖如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，為的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面記為。則下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)為（ C ） 當(dāng)時(shí)，為四邊形；當(dāng)時(shí)，為等腰梯形；當(dāng)時(shí)，與的交點(diǎn)R滿足；當(dāng)時(shí)，為六邊形；當(dāng)時(shí)，的面積為.2 3 4 5三解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟19（本題滿分12分）已知復(fù)數(shù)，且，又，而的實(shí)部和虛部相等，求.解： 或或. 20（本題滿分14分，第（1）小題6分，第（2）小題8分）第20題圖某種“籠具”由內(nèi)，外兩層組成，無(wú)下底面，內(nèi)層和外層分別是一個(gè)圓錐和圓柱，其中圓柱與圓錐的底面周長(zhǎng)相等，圓柱有上底面，制作時(shí)需要將圓錐的頂端剪去，剪去部分和接頭忽略不計(jì)，已知圓柱的底面周長(zhǎng)為，高為，圓錐的母線長(zhǎng)為.（1）求這種“籠具”的體積（結(jié)果精確到0.1）；（2）現(xiàn)要使用一種紗網(wǎng)材料制作50個(gè)“籠具”，該材料的造價(jià)為每平方米8元，共需多少元？解：設(shè)圓柱的底面半徑為，高為；圓錐的母線長(zhǎng)為，高為，根據(jù)題意可知（1），cm，cm，所以“籠具”的體積cm.（2）圓柱的側(cè)面積cm，圓柱的底面積 cm，圓錐的側(cè)面積 cm，所以“籠具”的表面積為 cm，故造50個(gè)“籠具”的總造價(jià)：元.答：這種“籠具”的體積約為 cm，生產(chǎn)50個(gè)“籠具”的總造價(jià)為元.21（本題滿分14分，第（1）小題6分，第（2）小題8分）以橢圓：的中心為圓心，為半徑的圓稱為該橢圓的“準(zhǔn)圓”.設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，且滿足，.（1）求橢圓及其“準(zhǔn)圓”的方程；（2）若橢圓的“準(zhǔn)圓”的一條弦與橢圓交于、兩點(diǎn)，試證明：當(dāng)時(shí)，弦的長(zhǎng)為定值.解：（1）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)，由得，又，即且，所以，則所求的橢圓的方程為；橢圓的“準(zhǔn)圓”方程為.（2）證明：當(dāng)弦軸時(shí)，交點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，又則，可設(shè)，得，此時(shí)原點(diǎn)到弦的距離；當(dāng)弦不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線的方程為，且與橢圓的交點(diǎn)，聯(lián)列方程組 代入消元得： 由可得 由得即 ， 所以此時(shí)成立，則原點(diǎn)到弦的距離綜上得原點(diǎn)到弦的距離為，則，因此弦的長(zhǎng)為定值.22（本題滿分16分，第（1）題4分，第（2）題6分，第（3）題6分）DBACOE第22題圖如圖，已知四面體中，且兩兩互相垂直，點(diǎn)是的中心（1）求二面角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）；（2）過(guò)作，垂足為，求繞直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積；（3）將繞直線旋轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線與直線所成角記為，求的取值范圍解： （1）取中點(diǎn)，連接和，則即為二面角的平面角，所以，因此，所以二面角的大小為（2）過(guò)作，經(jīng)計(jì)算得，由此得，所以繞直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積（3）取中點(diǎn)，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，所以，在平面上，點(diǎn)的軌跡方程為，令，則，所以，于是23 （本題滿分18分，第（1）小題6分，第（2）小題4分，第（3）小題8分）（1）求證：橢圓中斜率為的平行弦的中點(diǎn)軌跡必過(guò)橢圓中心.（2）用作圖方法找出下面給定橢圓的中心.第23（2）題圖(3) 我們把由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”，其中，.如圖，設(shè)點(diǎn)，是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，和，是“果圓” 與,軸的交點(diǎn). 連結(jié)“果圓”上任意兩點(diǎn)的線段稱為“果圓”的弦。試研究：是否存在實(shí)數(shù)，使斜率為的“果圓”平行弦