四川高三數學下學期“聯測促改”活動文

四川省2019屆高三數學下學期（4月）“聯測促改”活動試題 文（含解析）一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，則集合（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】對集合中的不等式進行求解，得到解集后再與集合取交集.【詳解】因為集合，所以.故選C項【點睛】本小題考查集合的基本運算，不等式解法、交集等基礎知識：考查運算求解能力.2.在復平面內，復數對應的點是，則復數的共軛復數（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由題得z=-1+2i,再求復數的共軛復數-1-2i.【詳解】由題得z=-1+2i,所以復數的共軛復數-1-2i. 故選：B【點睛】本題主要考查復數的幾何意義，考查共軛復數的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.3.函數的最小正周期為，則的圖象的一條對稱軸方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據函數的最小正周期為求出，再令=,即得函數的對稱軸方程.【詳解】因為函數的最小正周期為，所以.所以，令=,所以，當k=0時，.故選：B【點睛】本題主要考查三角函數的周期性和對稱軸方程的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.4.下列說法中錯誤的是（ ）A. 從某社區(qū)65戶高收入家庭，28戶中等收入家庭，105戶低收入家庭中選出100戶調查社會購買力的某一項指標，應采用的最佳抽樣為分層抽樣.B. 線性回歸直線一定過樣本中心點C. 若兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數的值越接近于D. 若一組數據的眾數是，則這組數據的中位數是【答案】C【解析】【分析】分別對四個選項進行判斷，得到選項為正確，選項錯誤.【詳解】對于，由于各個家庭收入差距明顯適于用分層抽樣，正確；對于，線性回歸直線一定過樣本中心點，正確；對于，兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數的值越接近于，錯誤；對于，一組數據、的眾數是，；所以該組數據的中位數為，正確.故選D項.【點睛】本小題考查分層抽樣，線性回歸，線性相關，中位數與眾數等基礎知識，意在考查學生分析問題，及解決問題的能力和運算求解能力.5.若變量，滿足約束條件，則的最小值為（ ）A. B. -1C. 0D. 1【答案】A【解析】【分析】先作出不等式組對應的可行域，再利用斜率求的最小值得解.【詳解】由題得不等式組對應的可行域如圖所示，表示可行域內的點到定點（4,0）之間的線段的斜率，聯立得A(2,3),如圖所示，當點位于可行域內的點A(2,3)時，直線的斜率最小，所以的最小值為.故選：A【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃求最值，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和數形結合分析推理能力.6.設曲線在點處的切線方程為，則（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】由題得，再利用求a的值.【詳解】由題得.故選：C【點睛】本題主要考查導數的幾何意義，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.7.幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為（ ）A. 729B. 428C. 356D. 243【答案】D【解析】【分析】先找到三視圖對應的幾何體，再利用棱錐的體積公式得解.【詳解】由題得幾何體原圖是如圖所示的四棱錐P-ABCD，底面是邊長為9的正方形，高PA=9,所以幾何體的體積為.故選：D【點睛】本題主要考查根據三視圖找原圖，考查幾何體體積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為（ ）A. -1B. 0C. D. 1【答案】A【解析】【分析】直接模擬程序框圖運行得解.【詳解】由題得13，S=2,i=2;23，S=2+4,i=3;33，S=2+4+8,i=4;.故選:A【點睛】本題主要考查程序框圖，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.9.在數列中，已知，且對于任意的，都有，則數列的通項公式為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】令m=1得，再利用累加法求數列的通項公式.【詳解】令m=1,得，所以.故選：D【點睛】本題主要考查累加法求數列的通項，考查等差數列求和，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.10.已知四棱錐的底面四邊形的外接圓半徑為3，且此外接圓圓心到點距離為2，則此四棱錐體積的最大值為（ ）A. 12B. 6C. 32D. 24【答案】A【解析】【分析】先求出，再求出底面四邊形ABCD的面積的最大值，即得錐體體積的最大值.【詳解】由錐體的體積公式v=，可知，當s和h都最大時，體積最大.由題得頂點P到底面ABCD的距離h2.當點P在底面上的射影恰好為圓心O時，即PO底面ABCD時，PO最大=2，即 ,此時,即四邊形ABCD為圓內接正方形時，四邊形ABCD的面積最大，所以此時四邊形ABCD的面積的最大值=,所以.故選：A【點睛】本題主要考查錐體的體積的計算和最值的求法，考查三角形面積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.11.，是：上兩個動點，且，到直線：的距離分別為，則的最大值是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】分析】由題設,其中，先利用兩點間的距離公式求出，再利用三角恒等變換知識化簡，再利用三角函數的圖像和性質求最值得解.【詳解】由題設,其中.可以由題得 5，此時.故選：C【點睛】本題主要考查圓的方程，考查三角恒等變換和三角函數的圖像和性質，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計算能力.12.已知函數，對任意的，恒有成立，則的范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先利用導數求出，再解不等式即得解.【詳解】由題得在1，3上單調遞增，所以由題得，所以函數g（x）在1,3上單調遞減，所以，由題得所以.故選：A【點睛】本題主要考查利用導數求函數的最值，考查利用導數研究不等式的恒成立問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，且，則的值為_【答案】-1【解析】【分析】由，得到和的坐標關系，得到的方程，得到【詳解】因為，所以，解得.【點睛】本小題考查向量平行的定義，同角三角函數等基礎知識；考查運算求解能力.14.已知等比數列中，則_【答案】【解析】【分析】設數列的公比為，由，解得， ，可得數列的首項，公比，進而可求和得解.【詳解】設數列的公比為，則，所以， ，所以數列是首項為，公比的等比數列，所以 .【點睛】本小題考查等比數列通項公式，前項和的公式及其應用等基礎知識；考查推理論證能力，運算求解能力，應用意識.15.已知定義在上的奇函數滿足，且，則的值為_【答案】-2【解析】【分析】先分析得到函數f(x)的周期為4，再求f(5)和f(2)的值，即得解.【詳解】由題得-f(x), 所以，所以函數的周期為4，所以因為定義在上的奇函數滿足，所以所以=-2+0=-2.故答案為：-2【點睛】本題主要考查函數的周期和函數的奇偶性的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.16.中心在原點，對稱軸為坐標軸的雙曲線與圓有公共點，且圓在點處的切線與雙曲線的一條漸近線平行，則該雙曲線的實軸長為_【答案】【解析】【分析】由得，由題意可知雙曲線的漸近線斜率等于，從而可以設出雙曲線的方程，代入點得到雙曲線的方程，求出實軸長.【詳解】由的斜率為，則圓在點處的切線斜率為，所以雙曲線的一條漸近線方程為，所以設雙曲線方程為，因點在雙曲線上，所以，所以雙曲線方程為，即，即，所以實軸長.【點睛】本小題主要考查雙曲線的方程，漸近線方程，圓的切線，斜率等基礎知識；考查邏輯思維與推證能力、分析與解決問題的能力、運算求解能力.屬于簡單題.三、解答題 :共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生依據要求作答. （一）必考題：共60分17.檳榔原產于馬來西亞，中國主要分布在云南、海南及臺灣等熱帶地區(qū)，在亞洲熱帶地區(qū)廣泛栽培.檳榔是重要的中藥材，在南方一些少數民族還有將果實作為一種咀嚼嗜好品，但其被世界衛(wèi)生組織國際癌癥研究機構列為致癌物清單類致癌物.云南某民族中學為了解，兩個少數民族班學生咀嚼檳榔的情況，分別從這兩個班中隨機抽取5名同學進行調查，將他們平均每周咀嚼檳榔的顆數作為樣本繪制成莖葉圖如圖所示（圖中的莖表示十位數字，葉表示個位數字）.（1）你能否估計哪個班級學生平均每周咀嚼檳榔的顆數較多？（2）從班的樣本數據中隨機抽取一個不超過19的數據記為，從班的樣本數據中隨機抽取一個不超過21的數據記為，求的概率；【答案】（1）班學生（2）【解析】【分析】（1）班學生每周平均咀嚼檳榔的顆數為17顆，班學生每周平均咀嚼檳榔的顆數為19顆.故估計班學生平均每周咀嚼檳榔的顆數較多.（2）利用古典概型的概率計算的概率.【詳解】解：（1）班樣本數據的平均值為.由此估計班學生每周平均咀嚼檳榔的顆數為17顆；班樣本數據的平均值為，由此估計班學生每周平均咀嚼檳榔的顆數為19顆.故估計班學生平均每周咀嚼檳榔的顆數較多.（2）班樣本數據中不超過19的數據有3個，分別為9，11，14，班的樣本數據中不超過21的數據也有3個，分別為11，12，21.從班和班的樣本數據中各隨機抽取一個共有9種不同情況，分別為，.其中的情況有，三種，故的概率.【點睛】本題主要考查平均數的計算，考查古典概型的概率的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.18.如圖，在中，已知點在邊上，且，.（1）求的長；（2）求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)先計算得到 ，再利用余弦定理求出的長(2)先利用余弦定理求得, 即得.在中，易得.再求得的面積為.【詳解】（1）因為，所以，所以 .在中，由余弦定理得：，所以.（2）在中，由（1）知， ，所以.則.在中，易得. .所以的面積為.【點睛】本題主要考查余弦定理解三角形，考查三角形面積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計算能力.19.如圖，在三棱柱中，已知點在棱上，且，點在線段上，且，且，.求證：（1）平面平面；（2）平面.【答案】（1）見證明；（2）見證明【解析】分析】（1）先證明平面.因為平面，所以平面平面.（2）取中點，連結，先證明四邊形是平行四邊形，再證明和平面.【詳解】解:（1）因為，又，平面，平面，所以平面.因為平面，所以平面平面.（2）取中點，連結，因為，所以為線段的中點，為中點，所以，且.在三棱柱中，且.又，所以為線段的中點，故，且.所以，且，于是四邊形是平行四邊形，從而.又平面，平面，故平面.【點睛】本題主要考查空間幾何元素的位置關系的證明，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和空間想象轉化能力.20.橢圓：的長軸長為4，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）若直線：交橢圓于，兩點，點在橢圓上，且不與、兩點重合，直線，的斜率分別為，.求證：，之積為定值.【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）由題意，解方程即得橢圓方程為.（2）（2）把代入，有，設，則：，.再計算化簡得證.【詳解】解：（1）由題意，即橢圓方程為.（2）把代入，有，設，則：，.，.故，之積為定值.【點睛】本題主要考查橢圓標準方程的求法，考查直線和橢圓的位置關系和定值問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計算能力.21.已知函數.（1）討論的單調性；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是.（2）【解析】試題分析：（）函數求導，定義域為，由，可得或進而討論導函數的正負得函數單調性即可；（）若恒成立，只需即可，討論函數單調性求最值即可.試題解析：（）函數的定義域為，.由，可得或，當時，在上恒成立，所以的單調遞增區(qū)間是，沒有單調遞減區(qū)間；當時，的變化情況如下表：所以的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是.當時，的變化情況如下表：所以的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是. （）由（）知，當時，符合題意.當時，的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是，所以恒成立等價于，即，所以，所以.當時，的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是，所以恒成立等價于，即.所以，所以.綜上所述，實數的取值范圍是.點睛：導數問題經常會遇見恒成立的問題：（1）根據參變分離，轉化為不含參數的函數的最值問題；（2）若就可討論參數不同取值下的函數的單調性和極值以及最值，最終轉化為 ，若恒成立；（3）若 恒成立，可轉化為（需在同一處取得最值） .（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.在直角坐標系中，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線，過點的直線的參數方程為：（為參數），直線與曲線分別交于、兩點.（1）寫出曲線直角坐標方程和直線的普通方程；（2）求線段的長和的積.【答案】（1）曲線的直角坐標方程為：.直線的普通方程為.（2）8； 14【解析】【分析】（1）由，也即，即得曲線的直角坐標方程為.由消去參數得直線的普通方程為.（2）將直線的參數方程代入中得，再利用直線參數方程t的幾何意義求線段的長和的積.【詳解】（1）由，也即，曲線的直角坐標方程為：.由消去參數得直線的普通方程為.（2）將直線的參數方程代入中，得：，則有，.不妨設，兩點對應的參數分別為、，則， .【點睛】本題主要考查參數方程、普通方程和極坐標方