江蘇省南通市通州區(qū)屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期四月質(zhì)量調(diào)研檢測試題 (3)

江蘇省南通市通州區(qū)2019屆高三第二學(xué)期四月質(zhì)量調(diào)研檢測數(shù)學(xué)試題20194第I卷（必做題，共160分）一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請將答案填寫在答題卷相應(yīng)的位置上）1.已知集合，則_【答案】【解析】【分析】利用交集定義直接求解【詳解】由題意可知AB中的元素是2的整數(shù)倍，且在(-2,3)內(nèi)， AB0，2故答案為：0，2【點(diǎn)睛】本題考查交集的求法及交集的定義，是基礎(chǔ)題2.已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的實(shí)部為_【答案】3【解析】【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案【詳解】z11+2i，z21i，z1z2（1+2i）（1i）3+i，復(fù)數(shù)z1z2的實(shí)部為3，故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題3.如圖是一個算法的偽代碼，若輸入的值為3時，則輸出的的值為_【答案】15【解析】【分析】由于輸入的x的值是3，符合y2x2x，代入計(jì)算即可得解【詳解】由題意，本題是一個條件型的程序，若x0，y2x，否則y2x2x，由于輸入的x的值是3，由03，可得：y232315，則輸出y的值是15故答案為：15【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)是偽代碼，考查讀懂一些簡單程序的能力，對程序語句的了解是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題4.某同學(xué)近5次考試的數(shù)學(xué)附加題的得分分別為30，26，32，27，35，則這組數(shù)據(jù)的方差為_【答案】【解析】【分析】先求出某同學(xué)近5次考試的數(shù)學(xué)附加題的得分平均數(shù)，由此能求出這組數(shù)據(jù)的方差【詳解】某同學(xué)近5次考試的數(shù)學(xué)附加題的得分分別為30，26，32，27，35，某同學(xué)近5次考試的數(shù)學(xué)附加題的得分平均數(shù)為：（30+26+32+27+35）30，則這組數(shù)據(jù)的方差為：S2（3030）2+（2630）2+（3230）2+（2730）2+（3530）2故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查方差的求法，考查平均數(shù)、方差的公式，考查運(yùn)算能力，是基礎(chǔ)題5.設(shè)不等式的解集為，在區(qū)間上隨機(jī)取一個實(shí)數(shù)，則的概率為_【答案】【解析】【分析】求解對數(shù)不等式得x的范圍，再由測度比是長度比得答案【詳解】由log2x1，得0x2在區(qū)間3，5上隨機(jī)取一個實(shí)數(shù)x，則xD概率為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型概率的求法，考查對數(shù)不等式的解法，是基礎(chǔ)題6.已知圓錐的底面面積為，側(cè)面積為，則該圓錐的體積為_【答案】【解析】【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，由圓柱的側(cè)面積、圓面積公式列出方程組求解，代入柱體的體積公式求解【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則，解得r，l，所以高h(yuǎn)2，所以V故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查圓柱的側(cè)面積、體積公式，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題7.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值為_【答案】21【解析】【分析】由a20得a1d，代入S3+S4，可得d3，將所求用通項(xiàng)公式表示，計(jì)算即可得到結(jié)果【詳解】因?yàn)閿?shù)列an是等差數(shù)列，a20則a1d，所以S3+S47a1+9d2d6，即d3所以a5+a62a1+9d7d3721故答案為：21【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題8.已知，則的值為_【答案】-2【解析】【分析】通過正切的二倍角公式可求tan的值，再將分子分母同時除以cos，得到關(guān)于tan的式子，代入tan的值，即可計(jì)算出結(jié)果【詳解】tan或tan，又，tan且cos，故答案為：-2.【點(diǎn)睛】本題主要考查二倍角公式及同角基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查了弦化切的技巧，屬于基礎(chǔ)題9.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知雙曲線 (，)的右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，過點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)若，則雙曲線的離心率為_【答案】2【解析】【分析】令xc，代入雙曲線方程求得P，Q的坐標(biāo)，可得三角形APQ為等腰直角三角形，可得|AF2|PQ|，化簡整理，由離心率公式可得所求值【詳解】右焦點(diǎn)為F2（c，0），左頂點(diǎn)為A（a，0），令xc，代入雙曲線中，可得yb，可設(shè)P（c，），Q（c，），由APAQ，可得三角形APQ為等腰直角三角形，可得|AF2|PQ|，即a+c，化為caa，即c2a，e2故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是離心率的求法，考查等腰直角三角形的性質(zhì)，考查了化簡運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題10.已知函數(shù)滿足，且對任意實(shí)數(shù)都有，則的值為_【答案】0【解析】【分析】根據(jù)題意可得f（x）（x+a）3+1，進(jìn)而可得f（x）+f（2x）變形分析可得a的值，即可得函數(shù)的解析式，將x0代入計(jì)算可得答案【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)f（x）滿足f（xa）x3+1，則f（x）（x+a）3+1，則f（2x）（2x+a）3+1，若對任意實(shí)數(shù)x都有f（x）+f（2x）2，則有f（x）+f（2x）（x+a）3+1+（2x+a）3+12，變形可得（x+a）3+（2x+a）30，所以有：x+a=（2x+a），可得a1，則f（x）（x1）3+1，則f（0）（01）3+1（1）+10；故答案為：0【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)解析式的求解及函數(shù)值的計(jì)算，關(guān)鍵是求出a的值11.在梯形中，若，則的值為_【答案】7【解析】【分析】用表示出各向量，根據(jù)3，計(jì)算，再計(jì)算的值【詳解】ABCD，AB4，CD2，（）（）3，即93，4又，（）927故答案為：7【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的基本定理的應(yīng)用，考查了數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題12.若，且，則的最小值為_【答案】【解析】【分析】由a2+2ab3b21得（a+3b）（ab）1，再換元令xa+3b，yab，然后利用基本不等式可得【詳解】由a2+2ab3b21得（a+3b）（ab）1，令xa+3b，yab，則xy1且a，b，所以a2+b2（）2+（）2，當(dāng)且僅當(dāng)x2，y2時取等故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式及其應(yīng)用，考查了換元法的技巧，屬于中檔題13.在平面直角坐標(biāo)系中，的外接圓方程為，邊的中點(diǎn)關(guān)于直線y=x+2的對稱點(diǎn)為，則線段長度的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由圓心角定理分析可得AOB，進(jìn)而可得|OM|1，據(jù)此可得M的軌跡；進(jìn)而分析可得點(diǎn)N的軌跡，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系分析可得答案【詳解】由，知，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程為.則M在以O(shè)為圓心，半徑為1的圓上，設(shè)，因?yàn)?，關(guān)于直線的對稱，所以解得代入得，則點(diǎn)N的軌跡為以（2，2）為圓心，半徑為1的圓，設(shè)P（2，2），則|OP|2，則有21|ON|21， 所以線段長度的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的綜合應(yīng)用，涉及直線與圓的位置關(guān)系及對稱問題，屬于綜合題14.已知函數(shù)，若不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】將問題中的不等式進(jìn)行參數(shù)分離，得到構(gòu)造函數(shù)h(x),求導(dǎo)分析h(x)的單調(diào)性及極值，結(jié)合題意求得滿足條件的a的范圍.【詳解】由，可得，設(shè)，則.令 ，則，所以在上單調(diào)遞增.由于，所以，所以在單調(diào)遞減：在單調(diào)遞增.要使不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，即的解集中恰有兩個整數(shù)，必須解集中的兩個整數(shù)為2和3.所以，解得.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性與極值及其函數(shù)的性質(zhì)，考查了方程與不等式的解法及零點(diǎn)存在性定理，考查了構(gòu)造方法及推理能力與計(jì)算能力，屬于難題二、解答題（本大題共6小題，共計(jì)90分，請?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的值域；（2）在中，已知為銳角，求邊的長【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡f（x），利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求其值域（2）由（1）可知sin（C），由范圍C（，），可求C的值，根據(jù)正弦定理可得BC的值【詳解】（1）sin2xsin（2x）， x0，2x，sin（2x）1，即函數(shù)f（x）的值域是，1.（2）由（1）可知sin（C），C為銳角，C（，），C，可得：C在ABC中，AB3，A，由正弦定理可得：，即：， 解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)以及正弦定理的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題16.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面平面，點(diǎn)為上一點(diǎn)（1）若平面，求證：點(diǎn)為中點(diǎn)；（2）求證：平面平面【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】【分析】（1）連接AC交BD于O，連接OM，由PA平面MBD證明PAOM，利用平行四邊形證明M是PC的中點(diǎn)；（2）ABD中利用余弦定理求出BD的值，判斷ABD是Rt，得出ABBD，再由題意得出BDCD，證得BD平面PCD，平面MBD平面PCD【詳解】（1）連接AC交BD于O，連接OM，如圖所示；因?yàn)镻A平面MBD，PA平面PAC，平面PAC平面MBDOM，所以PAOM；因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以O(shè)是AC中點(diǎn)，所以M是PC的中點(diǎn)；（2）ABD中，AD2，AB1，BAD60，所以BD2AB2+AD22ABADcosBAD3，所以AD2AB2+BD2，所以ABBD；因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以ABCD，所以BDCD；又因?yàn)槠矫鍼CD平面ABCD，且平面PCD平面ABCDCD，BD平面ABCD，所以BD平面PCD；因?yàn)锽D平面MBD，所以平面MBD平面PCD【點(diǎn)睛】本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，考查了線面平行的性質(zhì)定理與面面垂直的判定定理，是中檔題17.某公司代理銷售某種品牌小商品，該產(chǎn)品進(jìn)價為5元/件，銷售時還需交納品牌使用費(fèi)3元/件，售價為元/件，其中，且根據(jù)市場調(diào)查，當(dāng)，且時，每月的銷售量（萬件）與成正比；當(dāng)，且時，每月的銷售量（萬件）與成反比已知售價為15元/件時，月銷售量為9萬件（1）求該公司的月利潤（萬件）與每件產(chǎn)品的售價（元）的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為多少元時，該公司的月利潤最大？并求出最大值【答案】（1）；（2）每件產(chǎn)品的售價為11元時，該公司的月利潤最大，且最大值為147萬元.【解析】【分析】（1）根據(jù)h（15）9分別求出h（x）在不同區(qū)間上的解析式，再得出f（x）的解析式；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷f（x）的單調(diào)性，結(jié)合換元法分別求出f（x）在不同區(qū)間上的最大值，比較得出f（x）的最大值及對應(yīng)的x的值【詳解】（1）（，）， ，因?yàn)楫?dāng)時，代入上述兩式可得，.所以.（2）當(dāng)，時，所以，令，得.列表如下：因?yàn)?，且，所以?dāng)時，取最大值147.當(dāng)，時，令，則，即（，）.因?yàn)?，所以在且上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取最大值99，此時.綜上，當(dāng)時，取最大值147.所以當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為11元時，該公司的月利潤最大，且最大值為147萬元.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)解析式的求解，分段函數(shù)最值的計(jì)算，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性并求解函數(shù)最值的方法，屬于中檔題18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓 ()的短軸長為2，橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最大值為過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)（，），是線段的中點(diǎn)，直線交橢圓于，兩點(diǎn)（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，求的值；（3）若存在直線，使得四邊形為平行四邊形，求的取值范圍【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由題意列出關(guān)于a，b，c的方程，解得a，b則可得橢圓的方程.（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理可得D的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線的方程，再與橢圓的方程聯(lián)立，可得M的的坐標(biāo)，代入已知的向量關(guān)系式中，解得k即可.（3）聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理及，得到關(guān)于m與k的不等關(guān)系式，再將四邊形為平行四邊形轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系，得到m與k的等量關(guān)系，代入不等式消去k可得m的范圍.詳解】（1）由條件，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)時，直線的方程為，設(shè) ，由消去得：.因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)，所以.所以，所以.所以，直線的方程為：.由消去得：，所以 .因?yàn)?，所以，因?yàn)?，解?（3）直線的方程為，由消去得：.所以，即（*），且，所以.因?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，由（2）易知，.由四邊形為平行四邊形，所以，可得，即.由于將代入（*）式恒成立，所以當(dāng)時，因?yàn)?，所?【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求法，考查了韋達(dá)定理、向量加法的平行四邊形法則的應(yīng)用，考查了運(yùn)算能力及轉(zhuǎn)化能力，屬于較難題19.已知函數(shù)，（1）若直線與函數(shù)的圖象相切，求實(shí)數(shù)的值；（2）若存在，使，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時，求證：【答案】（1）；（2）；（3）詳見解析.【解析】【分析】（1）由f（x0）可得切線方程為：y（）x+lnx0，與直線y2x完全相同，可得2，lnx00即可得出a（2）設(shè)t（x）exx，xRt（x）ex1，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得0是函數(shù)t（x）的極小值點(diǎn)，可得再由g（x2）0，解得x2，可得x1的范圍從而問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）lnxax+1在x（1，+）上有零點(diǎn)由f（x）a對a分類討論，研究其單調(diào)性即可得出（3）構(gòu)造函數(shù)F（x）x2+g（x）f（x），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出【詳解】（1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由，得，所以切線方程為：，即.因?yàn)橹本€與函數(shù)的圖象相切，所以，解得.（2）設(shè)，則，令，得，且當(dāng)時，：當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在時取得極小值為0，即.由，可得，所以即為，由題意可得：函數(shù)在上有零點(diǎn).因?yàn)?，?dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，函數(shù)在上無零點(diǎn)：當(dāng)時，令，得.若，即時，在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，函數(shù)在上無零點(diǎn)：若，即時，當(dāng)時，：當(dāng)時，.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，因?yàn)?，所以函?shù)在上無零點(diǎn)：又，令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，且在的圖象連續(xù)不斷，所以函數(shù)在上有且只有一個零點(diǎn)，即函數(shù)在上有零點(diǎn).綜上所述，.（3）當(dāng)時，令 ，則，令，則當(dāng)時，所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，又，所以函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)，且當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，故，由得：，兩邊取對數(shù)得：，故，所以，即.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、方程與不等式的解法，考查了分類討論方法、等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題20.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前項(xiàng)和為，首項(xiàng)為2若對任意的正整數(shù)，恒成立（1）求，；（2）求證：是等比數(shù)列；（3）設(shè)數(shù)列滿足，若數(shù)列，（，）為等差數(shù)列，求的最大值【答案】（1）,，；（2）詳見解析；（3）3.【解析】【分析】（1）由題意利用賦值法，對m，n進(jìn)行賦值，可得a2，a3，a4；（2）取m1，得，取m2，得兩式相除，得，（nN*）結(jié)合，可得Sn+2是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，求得進(jìn)一步求得利用定義證得an是等比數(shù)列；（3）由（2）知，設(shè)，成等差數(shù)列，則.得到，分tr+1和tr+2兩類分析得答案【詳解】（1）由，對任意的正整數(shù)，恒成立取，得，即，得.取，得，取，得，解得，.（2）取，得，取，得，兩式相除，得，即，即 .由于，所以對任意均成立，所以是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，所以，即.時，而也符合上式，所以 .因?yàn)椋ǔ?shù)），所以是等比數(shù)列.（3）由（2）知，.設(shè)，成等差數(shù)列，則.即，整理得，.若，則，因?yàn)?，所以只能?或4，所以只能為1或2.若，則.因?yàn)?，故矛?綜上，只能是，成等差數(shù)列或，成等差數(shù)列，其中為奇數(shù).所以的最大值為3.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列遞推式的應(yīng)用，考查了等比數(shù)列的證明及數(shù)列的函數(shù)特性，考查邏輯思維能力與推理運(yùn)算能力，屬于難題第II卷（附加題，共40分）【選做題】本題包括A，B，C三小題，請選定其中兩題作答，每小題10分共計(jì)20分，解答時應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟21.已知矩陣的兩個特征值為，求直線在矩陣對應(yīng)變換作用下的直線的方程【答案】【解析】【分析】本題先寫出矩陣M的特征多項(xiàng)式，然后將兩個特征值12，23代入特征多項(xiàng)式等于0，可得a、b的值然后根據(jù)題意設(shè)P（x，y）是直線l上任意一點(diǎn)，在矩陣M對應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)P（x，y），則P在直線l上根據(jù)變換可用x，y表示出x，y，然后代入到直線l：xy+20方程中可得到曲線l的方程【詳解】矩陣的特征多項(xiàng)式，由于矩陣的兩個特征值為，所以，解得，所以.設(shè)直線上任意一點(diǎn)，在矩陣對應(yīng)變換作用下點(diǎn)，則，即， 所以解得因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，即，所以變換后的直線的方程為.【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)特征值與特征多項(xiàng)式的相關(guān)概念得出矩陣中的參數(shù)，以及一條直線在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到的曲線問題，屬于中檔題22.在極坐標(biāo)系中，已知圓的方程為，直線的方程為若直線與圓相切，求實(shí)數(shù)的值【答案】或【解析】【分析】先把直線與圓極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程，再根據(jù)相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，列方程可解得【詳解】由，得，所以圓的直角坐標(biāo)方程為.由，得，所以直線的直角坐標(biāo)方程為.因?yàn)橹本€與圓相切，所以，解得或.【點(diǎn)睛】本題考查了簡單曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，考查了直線與圓的關(guān)系，屬于中檔題23.設(shè)函數(shù)（1）求函數(shù)的最大值；（2）若存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）利用分類討論法去掉絕對值，即可求出函數(shù)f（