大學(xué)物理復(fù)習(xí)提綱(趙近芳-數(shù)學(xué)學(xué)院)

第一章“運(yùn)動(dòng)學(xué)”題型一、分類(lèi)：1.一般的運(yùn)動(dòng)方程、速度、加速度之間的關(guān)系2.圓周運(yùn)動(dòng)二、計(jì)算內(nèi)容1. 一般的運(yùn)動(dòng)方程、速度、加速度之間的關(guān)系知識(shí)地圖如下：2.圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)地圖如右：三、解題步驟聲明：解題其實(shí)就是清清楚楚地把題目做出來(lái)。只要滿(mǎn)足這個(gè)條件就行，并非只能按照一種方式來(lái)做。下面給出的只是比較有條理和清晰的一種路子，如果你嚴(yán)格照著做了，結(jié)果應(yīng)該不會(huì)錯(cuò)得離譜（老師們還是見(jiàn)過(guò)步驟正確，但是簡(jiǎn)單如四則運(yùn)算依然要算錯(cuò)的神人，扼腕之余只能表示嘆服），而且閱卷老師要給你們分也有比較充足的理由（至少卷子上的文字表明你很清楚正確的步驟）。當(dāng)然，如果你覺(jué)得自己很清楚，而且也能夠在卷子上很清楚地表明“你自己很清楚”這件事情，那么只管走自己的路就是。但是切記：如果你心里很清楚，但是卷子上只寫(xiě)寥寥幾個(gè)字，閱卷老師是斷然不能從這幾個(gè)字中看出來(lái)“你很清楚”這件事情的（那個(gè)需要超能力，貌似老師都木有）。特別是如果你寫(xiě)的那幾個(gè)字還出了點(diǎn)錯(cuò)，那就是你自己要跟自己過(guò)不去了。閱卷是“以卷面為依據(jù)”，和“以卷面為準(zhǔn)繩”的。所以：能多寫(xiě)些就多寫(xiě)些，盡量寫(xiě)清楚。1. 一般的運(yùn)動(dòng)方程、速度、加速度之間的關(guān)系理解已知條件，知道自己在地圖上起點(diǎn)在哪兒；理解求解目標(biāo)，知道地圖上哪里是終點(diǎn)；然后在地圖中找路，從起點(diǎn)走到終點(diǎn)即可。如果按照地圖上從左至右的方向解題，那是灰常滴簡(jiǎn)單你再犯錯(cuò)，那就只能是“自作孽”了。如果方向是從右至左，則會(huì)涉及幾個(gè)問(wèn)題：（1）利用積分鏈?zhǔn)椒▌t的技巧（參見(jiàn)例題1）；（2）分離變量積分的技巧（這是你們這個(gè)學(xué)期常微里面最簡(jiǎn)單的內(nèi)容，必須會(huì)的）；（3）定積分和不定積分的選擇問(wèn)題（參見(jiàn)例題1）。2.圓周運(yùn)動(dòng)理解已知條件，知道自己在地圖上起點(diǎn)在哪兒；理解求解目標(biāo)，知道地圖上哪里是終點(diǎn)；然后在地圖中找路，從起點(diǎn)走到終點(diǎn)即可。四、典型例題和習(xí)題1. 一般的運(yùn)動(dòng)方程、速度、加速度之間的關(guān)系【例題1】（教材習(xí)題1-5）解：從地圖上看，從位置到速度顯然行不通（因?yàn)椴恢牢恢玫暮瘮?shù)表達(dá)式），那么就要考慮從加速度返回速度的路子。但是由于也不能直接對(duì)時(shí)間積分（速度表達(dá)式也未知），所以只有再尋他途?，F(xiàn)在起點(diǎn)是和，終點(diǎn)是。所以我們的路徑必須能夠從這兩點(diǎn)出發(fā)，連接到。從圖上看，很明顯，既要用到微分，又要用到積分。這個(gè)技巧就是第一步用鏈?zhǔn)椒▌t（引入中間變量）引入微分：，第二步再使用“分離變量積分”來(lái)引入積分（這一招請(qǐng)參見(jiàn)本學(xué)期你們的常微教材相關(guān)部分）。先分離變量得然后積分。教材上使用不定積分的招數(shù)，最后通過(guò)初始條件來(lái)確定積分常數(shù)，是可行方法之一。另一種方法是根據(jù)定積分的定義，上面的積分可以做成定積分，積分一下得到一個(gè)隱函數(shù)的形式，這就是結(jié)果。另外，如果有人想直接求解這個(gè)方程，那也很好這應(yīng)該是認(rèn)真學(xué)了常微課程之后看到問(wèn)題的本能反應(yīng)，我表示很贊賞?！镜湫土?xí)題】地圖左右例題1-4、習(xí)題1-3【典型習(xí)題】地圖右左例題1-7、習(xí)題1-5、習(xí)題1-6。2.圓周運(yùn)動(dòng)【例題2】（教材習(xí)題1-8）解：這里不給出詳細(xì)求解過(guò)程。你只要順著地圖，從弧長(zhǎng)出發(fā)，一路走下去，走到加速度的兩個(gè)分量就可以完成第（1）題。至于第（2）題，畫(huà)個(gè)圖就能算出來(lái)，我就不細(xì)說(shuō)了?！镜湫土?xí)題】起點(diǎn)有可能是從弧長(zhǎng)開(kāi)始，也有可能是從角度開(kāi)始，本質(zhì)上沒(méi)差別，照?qǐng)D走就是。例題1-5、例題1-6、習(xí)題1-7、習(xí)題1-8第二章“動(dòng)力學(xué)”題型一、分類(lèi)：運(yùn)用受力分析和各種守恒定理的綜合題。二、計(jì)算內(nèi)容綜合。三、解題步驟聲明：請(qǐng)參見(jiàn)第一章“聲明”部分。1.受力分析2.系統(tǒng)特性分析適用哪些守恒定理列出方程3.有可能要用到運(yùn)動(dòng)學(xué)分析（運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)通過(guò)牛二連接在一起）4.解上面得到的聯(lián)立方程。另外注意：（1）涉及能量的問(wèn)題，使用“動(dòng)能定理”或者“功能原理”之中的任何一種都可以把問(wèn)題求解出來(lái)，用哪種看你的心情而定。而能不能用“機(jī)械能守恒定理”則要看是否滿(mǎn)足守恒的條件。一旦題目中設(shè)計(jì)摩擦力的，那么顯然機(jī)械能就不會(huì)守恒了。（1.1）動(dòng)能定理解題菜單：1.明確研究對(duì)象，建立坐標(biāo)系；2.根據(jù)最基本概念和定義，得到所有力的功并求和；3.動(dòng)能增量；4.使用動(dòng)能定理。*由于不考慮勢(shì)能，所以不用設(shè)定各種零勢(shì)能點(diǎn)。（1.2）功能原理解題菜單：1.明確系統(tǒng)組成（有重力勢(shì)能的，要包含地球、物體；有彈力勢(shì)能的，要包含彈簧、物體）；2.分清內(nèi)力和外力，分清保守力和非保守力；3.所有外力的功；4.所有非保守內(nèi)力（我們目前只可能是摩擦力）的功；5.使用功能原理。（2）使用勢(shì)能解題時(shí)注意：1.設(shè)定坐標(biāo)系（包含坐標(biāo)原點(diǎn)、軸向）2.設(shè)定勢(shì)能零點(diǎn)（注意：坐標(biāo)原點(diǎn)和勢(shì)能零點(diǎn)是不同的，要分別設(shè)定。而且：有幾種勢(shì)能，就要設(shè)幾個(gè)勢(shì)能零點(diǎn)）。3.計(jì)算，使用我們的公式：四、典型例題和習(xí)題【例題1】質(zhì)量m = 100 g的小球被系在長(zhǎng)度l = 50.0 cm繩子的一端，繩子的另一端固定在點(diǎn)o，如圖所示。若將小球拉到p處，繩子正好呈水平狀，然后將小球釋放。求小球運(yùn)動(dòng)到繩子與水平方向成q = 60的點(diǎn)q時(shí)，小球的速率v、繩子的張力t和小球從p到q的過(guò)程中重力所作的功W。解：（1）求小球的速率（2）求繩子的張力（3）太簡(jiǎn)單，我就不講了?！玖?xí)題】動(dòng)量和沖量：例題2-4、例題2-5、例題2-7、習(xí)題2-6功和能：例題2-7、例題2-8、例題2-9、習(xí)題2-8、習(xí)題2-9角動(dòng)量：例題2-11第五章“靜電場(chǎng)”題型一、按照帶電體分類(lèi)：二、計(jì)算內(nèi)容三、解題步驟聲明：請(qǐng)參見(jiàn)第一章“聲明”部分。（一）求帶電體電場(chǎng)分布的解題步驟1.基本帶電體電場(chǎng)分布解題步驟（1）場(chǎng)強(qiáng)方向分析（微元法or記憶）和等E面分析（微元法or記憶），記得要表達(dá)清楚（要設(shè)坐標(biāo)系的話(huà)，也講一下怎么設(shè)定）；（2）充分使用等E面構(gòu)造一個(gè)閉合的高斯面（根據(jù)電荷分布情況，決定是否需要分區(qū)）（a）“點(diǎn)系”直接使用球面形高斯面；（b）“線系”、“面系”等E面不封閉的，用等E面加上和場(chǎng)強(qiáng)平行的簡(jiǎn)單平面來(lái)“封口”；（3）計(jì)算高斯定理公式的右邊（根據(jù)電荷分布情況，如果需要分區(qū)就分區(qū)計(jì)算）；（4）計(jì)算高斯定理公式的左邊（即高斯面上的電場(chǎng)通量），切記計(jì)算會(huì)非常簡(jiǎn)單（作為數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，你有義務(wù)理解結(jié)果是怎么來(lái)的）；（5）從高斯定理得到場(chǎng)強(qiáng)大?。ǜ鶕?jù)電荷分布情況，如果需要分區(qū)就要分區(qū)給出結(jié)果）。2.復(fù)合帶電體電場(chǎng)分布解題步驟方法一（推薦）：（1）先得到每個(gè)基本帶電體（總共7種）單獨(dú)存在時(shí)候的空間電場(chǎng)強(qiáng)度分布。這個(gè)可以直接給出來(lái)，或者想從頭求一遍都行，看你的心情而定。（2）指出：根據(jù)電場(chǎng)的疊加原理，總電場(chǎng)等于“每個(gè)帶電體單獨(dú)存在時(shí)候的電場(chǎng)強(qiáng)度”的矢量和（這是必需的）。（3）最后實(shí)際計(jì)算出矢量和來(lái)（建議畫(huà)圖，看著分一分區(qū)域，然后認(rèn)真算一下。雖然極為簡(jiǎn)單，但是每次都有一批人做錯(cuò)，讓廣大閱卷教師對(duì)這批神人敬佩不已）。方法二（這種路子算起來(lái)，容易失誤的地方相對(duì)多一點(diǎn)）：使用和1中所述一樣的方法來(lái)做即可。（二）求帶電體電勢(shì)分布的解題步驟（1）如果電場(chǎng)強(qiáng)度未知，則使用（一）中所述合適的方法算出任意P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度；如果已知，則直接使用；（2）選取合適的電勢(shì)零點(diǎn)：（a）如果帶電體只占據(jù)有限的空間，則選擇無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)；（b）如果帶電體占據(jù)無(wú)限的空間，則選擇一有限遠(yuǎn)點(diǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)；（3）選取合適的路徑，計(jì)算下列積分得到P點(diǎn)的電勢(shì)： 注意：（a）“捷徑”就是最容易計(jì)算積分的路徑，你可自行選擇； （b）如果電場(chǎng)強(qiáng)度有分區(qū)，那么電勢(shì)也要分段計(jì)算。（4）如果要求的是兩點(diǎn)之間的電勢(shì)差，可選兩種方法之一：（a）用（3）的方法先求分別出兩點(diǎn)的電勢(shì)，再求兩電勢(shì)之差；（b）使用兩點(diǎn)電勢(shì)差的計(jì)算公式：直接計(jì)算。從成本上說(shuō)，如果僅僅是計(jì)算電勢(shì)差的話(huà)，用方法（b）更劃算一些。四、典型例題和習(xí)題（一）基本帶電體1.求基本帶電體的電場(chǎng)分布（具體參見(jiàn)表1）。2.在1的基礎(chǔ)上，求空間任意點(diǎn)的電勢(shì)（或者求空間任意兩點(diǎn)的電勢(shì)差）?！纠}1】求均勻帶電球體（半徑R，帶電）的空間電場(chǎng)分布，電勢(shì)分布。解：下面是嚴(yán)格按照前面解題步驟來(lái)計(jì)算的過(guò)程。（1）空間電場(chǎng)分布：建立球坐標(biāo)系（原點(diǎn)在帶電球體球心處），則我們要求的是空間任意一點(diǎn)P處的電場(chǎng)強(qiáng)度，設(shè)P點(diǎn)距離原點(diǎn)為。場(chǎng)強(qiáng)方向沿球坐標(biāo)系的徑向向外。根據(jù)電荷分布，空間分為和。構(gòu)造一個(gè)過(guò)P點(diǎn)（半徑為）的同心球面作為高斯面（關(guān)于高斯面的構(gòu)造是關(guān)鍵點(diǎn)之一）。高斯面上處處電場(chǎng)強(qiáng)度大小相等，且處處場(chǎng)強(qiáng)方向和球面面元垂直。先討論高斯面內(nèi)所圍的電荷為高斯面上電場(chǎng)通量為根據(jù)高斯定理易得：。如果要寫(xiě)成矢量式也可以，為：下面討論，此地略去過(guò)程（諸位考場(chǎng)上可不能偷懶），僅寫(xiě)出結(jié)果：。矢量式為：。（2）空間電勢(shì)分布：即我們要求空間任意一點(diǎn)P處的電勢(shì)。電場(chǎng)分布已經(jīng)由（1）求得。電勢(shì)零點(diǎn)：設(shè)為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)（最基本要點(diǎn)，不能少）。選擇球坐標(biāo)系的徑向?yàn)槁窂?，?jì)算積分的值，即可得P點(diǎn)電勢(shì)。電場(chǎng)分布存在分區(qū)問(wèn)題，所以電勢(shì)也要分區(qū)計(jì)算。類(lèi)似過(guò)程，略去細(xì)節(jié)（你們自己補(bǔ)上）【習(xí)題】其它基本帶電體的電場(chǎng)分布（參見(jiàn)表1）（二）復(fù)合帶電體1.求復(fù)合帶電體的電場(chǎng)分布。2.在1的基礎(chǔ)上，求空間任意點(diǎn)的電勢(shì)（或者求空間任意兩點(diǎn)的電勢(shì)差，一般復(fù)合帶電體大多求電勢(shì)差）?！纠}2】求由一無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電薄圓筒（半徑，單位長(zhǎng)度帶電）和一同軸無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電薄圓筒（半徑，單位長(zhǎng)度帶電）形成的復(fù)合帶電體形成的空間電場(chǎng)分布和兩筒之間的電勢(shì)差。解：（1）求電場(chǎng)分布。使用方法一。建立柱坐標(biāo)系，z軸就是沿著筒的軸線。查表得下列結(jié)果：小筒的空間電場(chǎng)分布為：大筒的空間電場(chǎng)分布為：根據(jù)電場(chǎng)的疊加原理，總電場(chǎng)等于“每個(gè)帶電體單獨(dú)存在時(shí)候的電場(chǎng)強(qiáng)度”的矢量和（這話(huà)一定要說(shuō)）。那么復(fù)合帶電體的空間電場(chǎng)分布為（雖然很簡(jiǎn)單，依然請(qǐng)各位畫(huà)個(gè)圖，看清楚再寫(xiě)出來(lái)）：（2）求電勢(shì)差目標(biāo)是求小筒和大筒之間的電勢(shì)差。這個(gè)時(shí)候我們直接使用電勢(shì)差的公式來(lái)計(jì)算是最劃算的（因?yàn)椴挥迷偃ピO(shè)電勢(shì)零點(diǎn)，也不用再去求線和筒子的電勢(shì)分別是多少，省很多力）。當(dāng)然，你要明白的是：整個(gè)小筒上各處電勢(shì)是相同的，而整個(gè)大筒上的電勢(shì)也是相同的（不知道原因的人，回去面壁）。因此，要求電勢(shì)差的時(shí)候，可以在一個(gè)垂直于z軸的平面內(nèi)，沿徑向進(jìn)行如下的計(jì)算：這就是電勢(shì)差?！玖?xí)題】參見(jiàn)本章之“一、按帶電體分類(lèi)”中復(fù)合帶電體部分所列情形。表1：基本帶電體的電場(chǎng)分析目標(biāo)：求出任意給定點(diǎn)P處的電場(chǎng)強(qiáng)度E（矢量）。帶電體形狀 1任意點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)方向2等E面形狀3P點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)方向和該處等E面幾何關(guān)系高斯面4高斯面上電場(chǎng)通量5高斯面內(nèi)電荷代數(shù)和6（僅是大小）（矢量表達(dá)式，表示所選的單位矢量，請(qǐng)自行搞清楚其方向）點(diǎn)電荷（電量Q）（球坐標(biāo)系中的）徑向同心球面垂直同心球面，半徑均勻帶電薄球殼（電量Q）（球坐標(biāo)系中的）徑向同心球面垂直同心球面，半徑均勻帶電球體（電量Q）7（球坐標(biāo)系中的）徑向同心球面垂直同心球面，半徑無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電細(xì)線（線電荷密度）（柱坐標(biāo)系中的）徑向同軸柱面垂直同軸柱面（半徑，長(zhǎng)度）+頂+底=“罐頭筒”無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電薄圓筒（單位長(zhǎng)度帶電）7（柱坐標(biāo)系中的）徑向同軸柱面垂直同軸柱面（半徑，長(zhǎng)度）+頂+底=“罐頭筒”無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電圓柱（單位長(zhǎng)度帶電）7（柱坐標(biāo)系中的）徑向同軸柱面垂直同軸柱面（半徑，長(zhǎng)度）+頂+底=“罐頭筒”無(wú)限大均勻帶電薄平面（面電荷密度）垂直于帶電平面平行平面垂直“任意頂面形狀（頂/底面積）的盒子（頂+底+側(cè)面）”注：1對(duì)于“點(diǎn)系”，建立球坐標(biāo)系，原點(diǎn)就在那個(gè)“點(diǎn)”上；對(duì)于“線系”，建立柱坐標(biāo)系，Z軸就沿著那條“線”；“面系”，建立平面直角坐標(biāo)系，XY平面就在“面”上。2任意點(diǎn)處電場(chǎng)E的方向，在表中第二列描述之外，還要根據(jù)電荷的電性來(lái)決定最終的方向：如果是正電荷，則帶電體發(fā)出電場(chǎng)線，反之帶電體接收電場(chǎng)線。比如，帶正電的“點(diǎn)系”，則電場(chǎng)方向沿球坐標(biāo)系的徑向向外（反之，帶負(fù)電的則電場(chǎng)方向沿徑向向內(nèi)）。而最后兩列的公式中電量或者電荷密度是代數(shù)值，已經(jīng)包含了正負(fù)電性的信息。3這一欄的“同心”或者“同軸”指的是和設(shè)定的坐標(biāo)系同心或者同軸（Z軸）。4（1）充分利用等E面建立高斯面：如果等E面是封閉的，則直接用過(guò)P點(diǎn)的等E面作為高斯面即可；如果等E面不封閉，則使用過(guò)P點(diǎn)的等E面加上垂直于電場(chǎng)的平面形成封閉的高斯面。（2）切記：我們的目標(biāo)是求一個(gè)任意P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量，方向可以用疊加原理搞清楚，大小就用高斯定理來(lái)對(duì)付了。設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)是（請(qǐng)勿將這個(gè)和帶電體半徑參數(shù)混起來(lái)這是作業(yè)和考試中常見(jiàn)的錯(cuò)誤動(dòng)作），我們?cè)O(shè)定的高斯面就是一個(gè)通過(guò)P點(diǎn)的封閉曲面。5由于所設(shè)定高斯面的特殊幾何性質(zhì)，在高斯面上的通量非常容易計(jì)算。表中僅給出最后結(jié)果，但請(qǐng)自行弄清楚來(lái)龍去脈。6這一步需要考慮是否該分區(qū)關(guān)鍵是根據(jù)電荷分布來(lái)決定。7這些情況，如果已知條件換成電荷密度（比如體密度或者面密度），也要會(huì)做。第六章“穩(wěn)恒磁場(chǎng)”題型一、按照載流導(dǎo)體分類(lèi)：二、計(jì)算內(nèi)容三、解題步驟聲明：請(qǐng)參見(jiàn)第一章“聲明”部分。1.磁感應(yīng)強(qiáng)度方向分析（微元法or記憶）和等B線分析（微元法or記憶）。2.充分使用等B線構(gòu)造一個(gè)閉合的安培環(huán)路（必須指明繞行方向）：（1）“線系”-直接使用圓形安培環(huán)路；（2）長(zhǎng)直螺線管，螺繞環(huán)：參見(jiàn)教材（P166）；（3）無(wú)限大載流平面：參見(jiàn)后面例題2。3.計(jì)算安培環(huán)路定理公式的右邊（注意環(huán)路繞行方向和電流方向滿(mǎn)足“右手關(guān)系”的電流值是正的，反之的則是負(fù)的）。4.計(jì)算安培環(huán)路定理的左邊，切記計(jì)算會(huì)非常簡(jiǎn)單。5.從安培環(huán)路定理得到最后結(jié)果。四、典型例題和習(xí)題求導(dǎo)體中電流在空間激發(fā)的磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布（具體參見(jiàn)表2）。【例題1】求無(wú)限長(zhǎng)載流直導(dǎo)體圓筒在空間產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的空間分布（電流為I，半徑為R）。解：下面是嚴(yán)格按照求解步驟來(lái)計(jì)算的過(guò)程。磁感線在垂直于圓筒的平面上是與圓筒的截面同心的圓周，方向與電流成右手螺旋的關(guān)系，這些圓周也是等B線?？臻g任意一點(diǎn)P處的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向，就是過(guò)這一點(diǎn)的磁感線的切線方向（與電流成右手螺旋關(guān)系的那一邊）。直接以過(guò)P點(diǎn)的等B線（封閉圓周）為安培環(huán)路，繞行方向和電流I的方向成右手螺旋關(guān)系。根據(jù)電流分布可知，需要分區(qū)討論安培環(huán)路定理的兩邊：先討論安培環(huán)路內(nèi)所圍電流為零，所以安培環(huán)路定理公式右邊。沿著環(huán)路的積分為：根據(jù)安培環(huán)路定理易得。再討論安培環(huán)路內(nèi)所圍電流為I，所以安培環(huán)路定理公式右邊。沿著環(huán)路的積分為：根據(jù)安培環(huán)路定理易得?！纠}2】求無(wú)限大均勻?qū)w平面在空間產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的分布（平面上垂直于電流方向單位寬度中流過(guò)電流為）。解：類(lèi)上。無(wú)限大平面磁感線平行于導(dǎo)電平面，方向和電流成右手螺旋關(guān)系，如右圖所示（注意在左半邊和右半邊空間中的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向是相反的）。空間任意一點(diǎn)處的磁感強(qiáng)度的方向就是磁感線的方向。在和電流垂直的平面內(nèi)作如圖通過(guò)點(diǎn)的矩形，其中水平邊長(zhǎng)為，鉛直邊長(zhǎng)為。設(shè)定環(huán)路繞行方向?yàn)槟鏁r(shí)針向（此方向和電流方向成右手螺旋關(guān)系）?？臻g無(wú)需分區(qū)。P安培環(huán)路圈入的總電流為，安培環(huán)路定理右邊，安