多元函數(shù)的基本概念極限和連續(xù)性

,.,一、區(qū)域,1.鄰域,點集,稱為點P0的鄰域.,例如,在平面上,(圓鄰域),在空間中,(球鄰域),說明：若不需要強調(diào)鄰域半徑,也可寫成,點P0的去心鄰域記為,.,在討論實際問題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域為,。,因為方鄰域與圓,鄰域可以互相包含.,.,2.區(qū)域,(1)內(nèi)點、外點、邊界點,設(shè)有點集E及一點P:,若存在點P的某鄰域U(P)E,若存在點P的某鄰域U(P)E=,若對點P的任一鄰域U(P)既含E中的內(nèi)點也含E,則稱P為E的內(nèi)點；,則稱P為E的外點;,則稱P為E的邊界點.,的外點,顯然,E的內(nèi)點必屬于E,E的外點必不屬于E,E的,邊界點可能屬于E,也可能不屬于E.,P,E,.,(2)聚點,若對任意給定的,點P的去心,鄰域,內(nèi)總有E中的點,則,稱P是E的聚點.,聚點可以屬于E,也可以不屬于E,(因為聚點可以為,所有聚點所成的點集成為E的導(dǎo)集.,E的邊界點),內(nèi)點一定是聚點；,邊界點可能是聚點；（孤立點是邊界點，但不是聚點）,.,例如,邊界上的點都是聚點也都屬于集合,例如,(0,0)既是邊界點也是聚點但不屬于集合,.,(3)開區(qū)域及閉區(qū)域,若點集E的點都是內(nèi)點，則稱E為開集；,若點集EE,則稱E為閉集；,若集D中任意兩點都可用一完全屬于D的折線相連,開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.,則稱D是連通的;,連通的開集稱為開區(qū)域,簡稱區(qū)域;,E的邊界點的全體稱為E的邊界,記作E;,.,例如，在平面上,開區(qū)域,閉區(qū)域,.,整個平面,點集,是開集，,是最大的開域,也是最大的閉域;,但非區(qū)域.,對區(qū)域D,若存在正數(shù)K,使一切點PD與某定點,A的距離APK,則稱D為有界域,界域.,否則稱為無,.,（4）n維空間,n維空間的記號為,說明：,n維空間中兩點間距離公式,.,n維空間中鄰域、區(qū)域等概念,特殊地當(dāng)時，便為數(shù)軸、平面、空間兩點間的距離,內(nèi)點、邊界點、區(qū)域、聚點等概念也可定義,鄰域：,設(shè)兩點為,.,二、二元函數(shù)的定義,類似地可定義三元及三元以上函數(shù),.,例1求的定義域,解,所求定義域為,.,（6）二元函數(shù)的圖形,（如下頁圖）,.,二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.,.,.,例如,圖形如右圖.,例如,左圖球面.,單值分支:,.,三、多元函數(shù)的極限,.,說明：,（1）定義中的方式是任意的；,（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限,（3）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似,.,例2求證,證,當(dāng)時，,原結(jié)論成立,.,例3求極限,解,其中,.,例4證明不存在,證,取,其值隨k的不同而變化，,故極限不存在,.,確定極限不存在的方法：,.,利用點函數(shù)的形式有,.,四、多元函數(shù)的連續(xù)性,定義3,.,解,取,.,故函數(shù)在(0,0)處連續(xù).,當(dāng)時,.,例6討論函數(shù),在(0,0)的連續(xù)性,解,取,其值隨k的不同而變化，,極限不存在,故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù),.,閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,.,多元初等函數(shù)：由多元多項式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù),一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的,定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域,.,例,解,.,多元函數(shù)極限的概念,多元函數(shù)連續(xù)的概念,閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),（注意趨近方式的任意性）,五、小結(jié),多元函數(shù)的定義,.,思考題,.,思考題解答,不能.,例,取,但是不存在.,原因為若取,.,練習(xí),是否存在？,解:利用,所以極限不存在.,.,.,練習(xí)題,.,.,.,練習(xí)題答案,.,不存在.,觀察,.,觀察,不存在.,.,觀察,不存在.,.,觀察,不