矩陣的等價標準形的應用

矩陣的等價標準形的應用設矩陣的秩RANK，則存在M階可逆矩陣P和N階可逆陣Q，使MNAR，0REAQ我們把稱為A的等價標準形熟知兩個同形矩陣等價當且僅當它們具有相同的秩，即它們0RE具有相同的等價標準形矩陣的等價標準形能幫助我們解決許多問題例1每個方陣A均可寫成，其中B是可逆陣，C是冪等陣（即）2C證設A的秩RANK，則存在可逆陣P和Q，使記，R0REAQBP，顯然B是個可逆陣，是個冪等陣，并且10RECQ2例2設N階方陣A的秩RANK，證明存在可逆陣P，使的后行全是零R1ANR證存在可逆陣P和Q，使，從而的后行全10RE10REQPR是零例3設N階矩陣A的秩RANK，證明存在非零N階矩陣B，使RNA證由例1知存在可逆陣和冪等陣，使記，顯然，且12A1212E0B22210BAEE例4設N階矩陣A，B滿足，證明B證存在N階矩陣P，Q，使得，這里RANKA，我們斷言事實上，0RRRN從易知ABE，110REABPQB，1R由此顯然得到，此時，從而，進而RN1PAQBE11BPABQBAE例5設N階冪等陣A（即）的秩RANK，證明存在可逆陣P，使2AR10REPA證存在可逆陣R和T，使，記，其中為R階方陣，則10R12TR1T，1111120REAR從即知，從而2A211R，21111000TTR因此，且，注意到的秩等于R，知R階方陣的秩RANK21T11R11T，必須，隨之得到RRE110RERA現(xiàn)令可逆陣，可驗證10RNRRPE111111000RNRNRRRRNRNRERAARE例6設N階冪等陣A的秩等于R，證明（I）RANKRANK；E（II）TRRANKA；（III）任何實冪等陣均可分解為兩個實對稱矩陣的乘積證由例5知存在可逆陣P（當A為實陣時，P亦可取為實陣），使得10RE（I）此時，這樣10NRERANKRANKAERN（II）TRTRRANKA1PR（III）易知，顯然111000RRREEEAPPPP和都是實對稱陣，從而也是實對稱陣0REP1例7若N階陣A滿足RANKRANK，AEN則A是個冪等陣證由例2知存在可逆陣P和，其中是R階方陣，RANKA，使得1234Q1R,121213400REP又從條件知的秩RANK，的秩也等于，必ANR1210RNREQPANR須，即，這時10REQ1RE22210RRQPAPA是個冪等陣，進而A是個冪等陣例81設A是個N階對合陣（即），RANK，證明2EAR（I）存在可逆陣P，使1RNRPA（II）RANKRANKEAN（III）每個實對合陣均可表為兩個實對稱矩陣之積2若N階陣A滿足RANKRANK，則A是對合陣EN證注意到A是對合陣當且僅當是冪等陣，利用例57的結論即得12例9（I）設N階陣A的秩等于R，滿足，此處證明存在可逆陣P，使得2A01REPA（II）設A，B是如下的N階矩陣，1A0NB證明存在可逆陣P，使1B證（I）我們仿照例5的思路來進行存在可逆陣R，使，1210AR其中是R階方陣從知，即12A211RAA，121212000A于是，且注意到，的秩RANK，因此，21AA1212,AA11R1RAAE20RERA記，P顯然是可逆的，并且210RNREAPRA221100RRRNRNRAEEAR（II）顯然A的秩RANK，又容易驗證，故據（I）即知結論2例10設A是個矩陣，B是個矩陣，證明MMNEABEA證設A的秩RANK，存在M階可逆陣P和N階可逆陣Q，使，記分塊R0REPQ陣，其中為R階方陣，則有1234BQP1100RRMMMEEEAPQBPQBP123412100RRMMRRRBEEQBP，同理可得，1NRNEBAEB因此證明了進一步地，MNMEABMNMNAEBA例11設矩陣A的秩等于R，證明對任意矩陣B，0是AB的至少重特征值，R0是BA的至少重特征值NR證從例10的證明直接推出例12計算行列式11212212NNNNXYXY解根據例10可知112112222121212,NNNNNNNXYXYXEYXY12NXXY例13設A是個N階可逆陣，和是兩個N維列向量證明RANK當且僅當AN1證由例10得，注意到1111NAEAE，的秩RANK當且僅當當且僅當，即0A00A1例14設均不為0，計算行列式12,NA123123NAANN解因均不為0，故對角陣是可逆的，由例13可得12,NA12NAA11223111223,21,NNAAANNAN11NIIA例15設A是個矩陣，B是個矩陣，證明下面的SYLVESTER秩不等式MNNLRANKABRANKRANKAB證設A的秩等于R，B的秩等于S，存在M階可逆陣P，N階可逆陣Q和R，L階可逆陣S，使得，0REAPQ0SERS記，其中是矩陣，則1234TQR1TRS，1000RSETABPQRSPS注意到P、T、S都是可逆陣，RANK，故TNRANKRANKRANK，101T而是T中去掉后行、后列所得的矩陣，而在矩陣中去掉一行（列），矩陣的秩最多減少1NRS1，因此RANKRANKAB1TNRSRN例16設A、B、C是任意三個矩陣，乘積ABC有意義，證明下面的FROBENIUS秩不等式RANKABCRANKRANKRANKBABC證設A是矩陣，B是矩陣，C是矩陣，且設RANK，則存在M階可逆陣LMPRP和N階可逆陣Q，使現(xiàn)作分塊陣，是矩陣，0REPQ12,P12QPR是矩陣，則1R，1121200RREB于是根據例15得到RANKRANKRANKRANKABC1PQ1AP1QCRRANKRANKRRANKRANKRANKB例17設矩陣A的秩等于R，證明存在可逆陣、使PA的后行全為零，AQMNMNMR的后列為零R證存在可逆陣P和Q，使得，顯然的后行為零，0RE10REPAQR而且的后列為零10REAQNR例18設A、B是兩個等秩的矩陣，若存在N階矩陣U，使，則存在可逆陣V，MAB使V證設A、B的秩等于R，從例17知存在可逆陣P和Q，使，1,0A1,0B其中，都是秩為R的矩陣現(xiàn)作適當?shù)姆謮K，則有1N12,12，121,0PA，112,QBB從而，并且進一步可得1AP，111APBUQP注意到的秩等于R，故R階方陣的秩也等于R，即是可逆的，于是有1AVV11111,0,00,NRNRBQAAPEE顯然是可逆的，我們把它的逆記為V，則10NRVPEB例19試從等價標準形的角度給出齊次線性方程組的一種解法0MNAX解設A的秩等于R，存在M階可逆陣P和N階可逆陣Q，使，于是線性方0REP程組可化為0X，110REX記，則原方程組等價于121NYYQX，120RNYE即令，容易驗證都是120RYY121,RQQQ12,RNQ的解，從而它們構成的一基礎解系0AXAX下面是具體的操作過程首先構造矩陣，NMABE然后對矩陣B作如下的初等變換（I）對A（即B的前M行）作初等的行變換，（II）對B作初等的列變換，則經過有限次上述的初等變換后，B可變?yōu)椋?RNEABQ此時Q的后個列向量構成的一基礎解系NR0X例20試從等價標準形的角度給出非齊次線性方程組的一種解法MNAXB解下面僅給出具體的操作過程，至于其原理可按例19的方式得到首先構造矩陣，10NMNBBE然后對矩陣B作如下形式的初等變換（I）對B的前M行作行的初等變換，,AB（II）對B的前N列作列的初等變換，E則經過有限次上述變換后，B可變?yōu)椋?RNEABBBQ記，此時可得如下的結論有解當且僅當11RMBB121,RNQQQAXB；當時，是的一個120R120RMBB12RQBQB特解，是所對應的齊次線性方程組的一基礎解系,RNQAXAX例21試從等價標準形的角度給出可逆矩陣的逆矩陣的一種求法解設A是個N階可逆陣，A的秩等于N，存在可逆陣P和Q，使，進E1APQ而這給出了求逆矩陣的一種方法1QP首先構造矩陣，20NEB然后對B進行如下形式的初等變換（I）對B的前N行進行初等的行變換，,AE（II）對B的前N列進行初等的列變換，則經過有限次上述變換后，B可變?yōu)椋?AEPBQ由此求得1AQP例22設A是給定的矩陣，X是矩陣，求矩陣方程的所有解XMNNAX解設A的秩RANK，取定M階可逆陣P和N階可逆陣Q，使得R，0REA代入，得到X，00RRQPXQ，110RREE，110RRPXQ現(xiàn)記，其中是R階方陣，代入上式得到1234MNXPQ112123411242000RRXE，由此得到，因此我們解得了1X20，1340XPQ其中是R階對稱矩陣，是個任意的矩陣134,XMRN反過來，對任意矩陣，其中是對稱矩陣，我們容易驗證MN1340XPQ1X這樣我們就求出了的全部解AXA例23設，則矩陣方程,MNPQNQMPMBXMYAABC有解當且僅當和等價0AC證若X，Y滿足方程，則Y，0000MNPQEEXAAYBACB因此與等價0ABC反過來，如果與等價，那么它們具有相等的秩設RANK，RANK，0ABARBS存在可逆的，使得,MNPQPMQRMTA，0REA0SERT則有，00RSEPAQRBT，123400RSCCTE其中，為矩陣又記1234CPT1R