立體幾何典型習(xí)題匯編 立體幾何典型習(xí)題匯編(自己整理,非常實(shí)用,尤其是解答題適合程度中等的學(xué)生)

立體幾何典型習(xí)題匯編參考答案一、選擇題【考點(diǎn)分析】本題考查球面距的計(jì)算，基礎(chǔ)題。解析如圖，2,24SIN1EGFEGOF2，點(diǎn)E、F在該球面上的球面距離為3O31故選擇B。G解連OA、OB、OC、OD則VABEFDVOABDVOABEVOBEFDVAEFCVOADCVOAECVOEFC又VABEFDVAEFC而每個(gè)三棱錐的高都是原四面體的內(nèi)切球的半徑，故SABDSABESBEFDSADCSAECSEFC又面AEF公共，故選C二、解答題（20）如圖，在三棱錐PABC中，ABAC，D為BC的中點(diǎn)，PO平面ABC，垂足O落在線(xiàn)段AD上，已知BC8，PO4，AO3，OD2（）證明APBC；（）在線(xiàn)段AP上是否存在點(diǎn)M，使得二面角AMCB為直二面角若存在，求出AM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。17（本小題滿(mǎn)分13分）如圖，在三棱柱中，是正方形的中心，平1ABCH1AB12A1CH面，且1AB15CH（）求異面直線(xiàn)AC與A1B1所成角的余弦值；（）求二面角的正弦值；（）設(shè)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面內(nèi)，且平面，求線(xiàn)段的長(zhǎng)NM1ABMN1ABCM17方法一如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)依題意得2,0,2,5ABC1112,0,2,0,25ABC（I）解易得，1,于是所以異面直線(xiàn)AC與A1B1所成角的余弦值為114COS,3|2ACB3（II）解易知10,2,5C設(shè)平面AA1C1的法向量，MXYZ則即10A50,2不妨令可得，5,X,同樣地，設(shè)平面A1B1C1的法向量，,NXYZ則即不妨令，可得10,N250X50,52N于是從而所以二面角AA1C1B的正弦值為2COS,|7MN3SIN,7M357（III）解由N為棱B1C1的中點(diǎn)，得設(shè)M（A，B，0），則35,2N2,2NAB由平面A1B1C1，得即M10,MA2,3520AB解得故因此，所以線(xiàn)段BM的長(zhǎng)為2,4AB2,04M2,04B10|4BM方法二（I）解由于A(yíng)C/A1C1，故是異面直線(xiàn)AC與A1B1所成的角1A因?yàn)槠矫鍭A1B1B，又H為正方形AA1B1B的中心，可得1CH2,5,CH113ACB因此2211COS3A所以異面直線(xiàn)AC與A1B1所成角的余弦值為（II）解連接AC1，易知AC1B1C1，又由于A(yíng)A1B1A1，A1C1A1C1，所以，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)R，1連接B1R，于是，故為二面角AA1C1B1的平面角11B在中，連接AB1，在中，1TA21114SIN231ARB，從而111114,COARBBR7135SIN7所以二面角AA1C1B1的正弦值為357（III）解因?yàn)槠矫鍭1B1C1，所以取HB1中點(diǎn)D，連接ND，由于N是棱B1C1中點(diǎn)，MN1MNAB所以ND/C1H且又平面AA1B1B，所以平面AA1B1B，故152D1HN1DA又所以平面MND，連接MD并延長(zhǎng)交A1B1于點(diǎn)E，則,111,/ME故由得，延長(zhǎng)EM交AB于點(diǎn)F，可得連接NE1,4BEA12EB12在中，所以可得RTNM2,DNDM故254NE4連接BM，在中，TBF2104FB19（本小題滿(mǎn)分12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，ACB90，平面，EF，（）若是線(xiàn)段的中點(diǎn)，求證平面（）若,求二面角的大小19（I）證法一因?yàn)镋F/AB，F(xiàn)G/BC，EG/AC，所以90ACB90,EGFABCEFG由于A(yíng)B2EF，因此，BC2FC，連接AF，由于FG/BC，在中，M是線(xiàn)段AD的中點(diǎn)，1,2D則AM/BC，且因此FG/AM且FGAM，所以四邊形AFGM為平行四邊形，1,2AMBC因此GM/FA。又平面ABFE，平面ABFE，所以GM/平面AB。FG證法二因?yàn)镋F/AB，F(xiàn)G/BC，EG/AC，所以90ACB90,EGFABCEFG由于A(yíng)B2EF，因此，BC2FC，取BC的中點(diǎn)N，連接GN，因此四邊形BNGF為平行四邊形，所以GN/FB，在中，M是線(xiàn)段AD的中點(diǎn)，連接MN，則MN/AB，ABCD因?yàn)樗云矫鍳MN/平面ABFE。又平面GMN，所以GM/平面ABFE。,NGM（II）解法一因?yàn)?，又平面ABCD，所以AC，AD，AE兩兩垂直，90,B所以CADE分別以AC，AD，AE所在直線(xiàn)為X軸、Y軸和Z軸，建立如圖所法的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)則由題意得A（0，0，0，），B（2，2，0），C（2，0，0，），E（0，0，1），2,ACE所以又所以,0B1,2F,1,1F設(shè)平面BFC的法向量為則所以取所以1,MXYZ0,CM1,YXZ1,X得1,0M設(shè)平面ABF的法向量為，則2,NXYZ0,NABF所以則所以二面角ABFC的大小為222,1,0XYZ取得1,1COS,|2MN60解法二由題意知，平面平面ABCD，取AB的中點(diǎn)H，連接CH，ABFE因?yàn)锳CBC，所以，則平面ABFE，過(guò)H向BF引垂線(xiàn)交BF于R，CH連接CR，則所以為二面角ABFC的平面角。RR由題意，不妨設(shè)ACBC2AE2。在直角梯形ABFE中，連接FH，則，又所以因此在中，F(xiàn)AB2,1,2,FEBTBF63H由于所以在中，因此二面角ABFC的大小為1,CHRTCHTAN3,6RC018如圖，在中，P為AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，AB,2,2ABPD/BC交AC于點(diǎn)D，現(xiàn)將PDA沿PD翻折至PDA，使平面PDA平面PBCD。（1）當(dāng)棱錐的體積最大時(shí)，求PA的長(zhǎng)；APBCD（2）若點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，求證。AABDE18解（1）令02,2,XPX則因?yàn)?，且平面平面PBCD，故平面PBCD。所以，令3114366APBCDVSHX314,6FXX由，當(dāng)單調(diào)遞增240,3FXX得20,0,F時(shí)當(dāng)單調(diào)遞減，,FFX時(shí)所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，即當(dāng)最大時(shí)，3XAPBCDV2PA（2）設(shè)F為的中點(diǎn)，連接PF，F(xiàn)E，則有B1/,/2EF所以DE/PF，又所以，故APABD（18）如圖，四邊形ABCD為正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD12（I）證明平面PQC平面DCQ；（II）求二面角QBPC的余弦值18解如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線(xiàn)段DA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線(xiàn)DA為X軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系DXYZ（I）依題意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）則1,0,1,0DQCPQ所以即PQDQ，PQDC故PQ平面DCQ,P又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ6分（II）依題意有B（1，0，1），1,01,2B設(shè)是平面PBC的法向量，則,NXYZ0,NCXYZP即因此可取設(shè)M是平面PBQ的法向量，則可取0,12,0MBQ51,COS,MN所以故二面角QBPC的余弦值為12分120（本小題滿(mǎn)分14分）如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，四邊形ABCD中，ABAD，ABAD4，CD，245DA（I）求證平面PAB平面PAD；（II）設(shè)ABAP（I）若直線(xiàn)PB與平面PCD所成的角為，求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)；30（II）在線(xiàn)段AD上是否存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等說(shuō)明理由。20解法一（I）因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，又PAACPAB,ADP所以平面PAD。又平面PAB，所以平面平面PAD。BB（II）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)XYZ（如圖）在平面ABCD內(nèi)，作CE/AB交AD于點(diǎn)E，則D在中，DE，RTCDECOS451SIN451,設(shè)ABAPT，則B（T，0，0），P（0，0，T）由ABAD4，得AD4T，所以，,3,1,TD,0,4CPT（I）設(shè)平面PCD的法向量為，由，得,NXYZND0,XYT取，得平面PCD的一個(gè)法向量，又，故由直線(xiàn)PB與平面PCD所成的角為，XT,4T,0BT30得222|1COS60|,|NPBTTX即解得（舍去，因?yàn)锳D），所以45TT或4045A（II）假設(shè)在線(xiàn)段AD上存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等，設(shè)G（0，M，0）（其中）0MT則，1,3,0,GCDTMT由得，（2）|24T由（1）、（2）消去T，化簡(jiǎn)得（3）40由于方程（3）沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以在線(xiàn)段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，C，D的距離都相等。從而，在線(xiàn)段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等。解法二（I）同解法一。（II）（I）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)XYZ（如圖）在平面ABCD內(nèi)，作CE/AB交AD于E，則。在平面ABCD內(nèi)，作CE/AB交AD于點(diǎn)E，則CDAD在中，DE，RTECOS451SIN451,設(shè)ABAPT，則B（T，0，0），P（0，0，T）由ABAD4，得AD4T，所以，,3,1,CT,0,4PT設(shè)平面PCD的法向量為，由，得,NXYZNCD0XYT取，得平面PCD的一個(gè)法向量，又，故由直線(xiàn)PB與平面PCD所成的角為，XT,4T,BT30得解得（舍去，因?yàn)锳D），222|1COS60|,|NPBTTX即45TT或4T所以45A（II）假設(shè)在線(xiàn)段AD上存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等，由GCCD，得，從而，即45CD90,GA設(shè)，SIN451,GDC,AB則D4,3AGD在中，RTAB2223291,這與GBGD矛盾。所以在線(xiàn)段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)B，C，D的距離都相等，從而，在線(xiàn)段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等。16如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，PCDAA2,60A求證平面B（）若求與所成角的余弦值；,A（）當(dāng)平面與平面垂直時(shí)，求的長(zhǎng)PCPA（16）證明（）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以ACBD又因?yàn)镻A平面ABCD所以PABD所以BD平面PAC（）設(shè)ACBDO因?yàn)锽AD60，PAPB2,所以BO1，AOCO如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系OXYZ，則3P（0，2），A（0，0），B（1，0，0），C（0，0）3所以設(shè)PB與AC所成角為，則,2,1CB463|COSAP（）由（）知設(shè)P（0，T）（T0），則,13,31TBP設(shè)平面PBC的法向量,則所以ZYXM0,MBC0TZYX令則所以同理，平面PDC的法向量,3Y6,TZX6,3T6,3TN因?yàn)槠矫鍼CB平面PDC,所以0，即解得所以PAN02T6T（19）如圖，在長(zhǎng)方體中，、分別是棱,上的點(diǎn)，1ABCDEFBC1,2CFE24（1）求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值；F1（2）證明平面AD（3）求二面角的正弦值。1E（19）方法一如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè),依題意得,AB02,12F104A3,02E（1）解易得,于是1F1,24AD113COS,5EFAD所以異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為E135（2）證明已知,2AF1,42E1,02ED于是0，0因此，,又所以平面AF1ED1AF1AEAF1ED3解設(shè)平面的法向量，則,即,UXYZ0UED02YZX不妨令X1,可得。由（2）可知，為平面的一個(gè)法向量。1,）F1A于是，從而COS,3|AFU5SIN,3U所以二面角的正弦值為1ED5方法二（1）解設(shè)AB1，可得AD2,AA14,CF1CE鏈接B1C,BC1，設(shè)B1C與BC1交于點(diǎn)M,易知A1DB1C，由2,可知EFBC1故是異面直線(xiàn)EF與A1D所成的角，易知BMCM,所以1CFB4BMC152,所以異面直線(xiàn)FE與A1D所成角的余弦值為223COS5M3（2）證明連接AC，設(shè)AC與DE交點(diǎn)N因?yàn)椋?，從而?EBCRTCETBACDEBA又由于,所以，故ACDE,又因?yàn)镃C1DE且，所以90CDE90A1DE平面ACF，從而AFDE連接BF，同理可證B1C平面ABF,從而AFB1C,所以AFA1D因?yàn)?，?以AF平面A1ED3解連接A1NFN,由（2）可知DE平面ACF,又NF平面ACF,A1N平面ACF，所以DENF,DEA1N,故為二面角A1EDF的平面角易知，所以，又所以，在1NFRTCNETBCE55CN21305RTCFTA中，在中21430A連接A1C1,A1F在211114RTAFC中，。所以所以二面角A1DEF正弦值為2111COS3NTN在中，15SIN3ANF53（19）如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ADEF是正方形，F(xiàn)A平面ABCD，BCAD，CD1，AD2，BADCDA45（）求異面直線(xiàn)CE與AF所成角的余弦值；（）證明CD平面ABF；（）求二面角BEFA的正切值。19I解因?yàn)樗倪呅蜛DEF是正方形，所以FA/ED故為異面直線(xiàn)CE與AF所成的角CED因?yàn)镕A平面ABCD，所以FACD故EDCD在RTCDE中，CD1，ED，CE3,故COS22E23所以異面直線(xiàn)CE和AF所成角的余弦值為3證明過(guò)點(diǎn)B作BG/CD,交AD于點(diǎn)G，則由,可得BGAB,從而45BACD45BACDAB,又CDFA,FAABA,所以CD平面ABF解由（）及已知，可得AG，即G為AD的中點(diǎn)取EF的中點(diǎn)N，連接GN，則GNEF,因?yàn)锽C/AD,2所以BC/EF過(guò)點(diǎn)N作NMEF，交BC于M，則為二面角BEFA的平面角。N連接GM，可得AD平面GNM,故ADGM從而B(niǎo)CGM由已知，可得GM由NG/FA,FAGM,得NGGM2在RTNGM中，TAN,所以二面角BEFA的正切值為1G414（20）在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，平面，、分別為ABCDABCD/PMAEGF、的中點(diǎn)，且MBPC2PM（I）求證平面平面；EF（II）求三棱錐與四棱錐的體積之比（19）如圖，在五棱錐PABCDE中，PA平面ABCDE，ABCD，ACED，AEBC，ABC45，AB2，BC2AE4，三角形PAB是等腰三角形2（）求證平面PCD平面PAC；（）求直線(xiàn)PB與平面PCD所成角的大小；（）求四棱錐PACDE的體積【解析】（）證明因?yàn)锳BC45，AB2，BC4，所以在中，由余弦定理得2ABC，解得，22AC4COS458C所以，即，又PA平面ABCDE，所以PA，2B816BCA又PA，所以，又ABCD，所以，又因?yàn)槠矫鍼CD平面P，所以平面PCD平面PAC；DC平面P（）由（）知平面PCD平面PAC，所以在平面PAC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)A作于H，則，又ABCD，AB平面內(nèi)，所以AB平行于平面，所以點(diǎn)A到平面的距離等于點(diǎn)AH平面CPCPCDPB到平面的距離，過(guò)點(diǎn)B作BO平面于點(diǎn)O，則為所求角，且，又容易求得，所DBBOH2以，即，所以直線(xiàn)PB與平面PCD所成角的大小為；1SINPO2P3030（）由（）知，所以，又ACED，所以四邊形ACDE是直角梯形，又容易求得ACD平面，AC，所以四邊形ACDE的面積為，所以四棱錐PACDE的體積為E12（）。12319如圖，棱柱ABCA1B1C1的側(cè)面BCC1B1是鞭形，B1CA1B證明平面AB1C平面A1BC1（設(shè)D是A1C1上的點(diǎn)，且A1B平面B1CD，求A1DDC1的值（16）如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC,EFAC,AB，CEEF12（）求證AF平面BDE；（）求證CF平面BDE；（）求二面角ABED的大小。18、（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，在多面體中，四邊形是正方形，ABCDEFABCD，為的中點(diǎn)。EF290FHBCABCDEFH求證平面；求證平面；求二面角的大小。FHEAEDBBDEC（20）如圖，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形。分別為的中PACBAC,EFO,PABC點(diǎn)，。16,10（I）設(shè)是的中點(diǎn)，證明平面；WWWKS5UCOMO/OEXYZ（II）證明在內(nèi)存在一點(diǎn)，使平面，并求點(diǎn)到,的距離。ABOMFBOEMAOB20、證明（I）如圖，連結(jié)OP，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B、OC、OP所在直線(xiàn)為軸，軸，軸，建立空間直XYZ角坐標(biāo)系O，WWWKS5UCOM則，由題意得，XYZ0,80,0,8AC,60,43PE,0F因，因此平面BOE的法向量為，得，0,4G8,43ENG0NG又直線(xiàn)不在平面內(nèi)，因此有平面FB/FGBE（II）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則，因?yàn)槠矫鍮OE，所以有，因此有0,XY0,3MXYFM/M，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為，在平面直角坐標(biāo)系中，的內(nèi)部區(qū)域滿(mǎn)足不等式組094,XY94,XOYAOB，經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)滿(mǎn)足上述不等式組，所以在內(nèi)存在一點(diǎn)，8XY使平面，由點(diǎn)M的坐標(biāo)得點(diǎn)到，的距離為WWWKS5UCOMFBOEOAB94,19如圖，在四棱錐ACDP中，CD平面，且DB平分ADC，E為PC的中點(diǎn)，1CDA,2（）證明BE平面/（）證明P平面（）求直線(xiàn)BC與平面PBD所成的角的正切值【解析】證明設(shè)HDAC，連結(jié)EH，在A(yíng)DC中，因?yàn)锳DCD，且DB平分ADC，所以H為AC的中點(diǎn)，又有題設(shè)，E為PC的中點(diǎn)，故PE/,又BEPBE平面平面,所以BEP平面/（2）證明因?yàn)锽P平面，平面，所以A由（1）知，ACBD,D故DAC平面3解由平面可知，BH為BC在平面PBD內(nèi)的射影，所以CBH為直線(xiàn)與平面PBD所成的角。由A,23,2,1HB可得在BHCRT中，3TANHC,所以直線(xiàn)BC與平面PBD所成的角的正切值為31。（19）如圖，四棱錐SABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是地面邊長(zhǎng)的倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)。2（）求證ACSD；WWWKS5UCOM（）若SD平面PAC，求二面角PACD的大?。ǎ┰冢ǎ┑臈l件下，側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E,5UCOM使得BE平面PAC。若存在，求SEEC的值；若不存在，試說(shuō)明理由。（19）解法一（）連BD，設(shè)AC交BD于O，由題意。在正方形ABCD中，所以SACACBDONAPBCMDZXY,得ACSBD平面ACS設(shè)正方形邊長(zhǎng)，則。又，所以,A2A2ODA06SOD連，由（）知,所以,WWWKS5UCOMOPASB平面ACP且,所以是二面角的平面角。ACD由,知,所以,即二面角的大小為。S平面P03AC03（）在棱SC上存在一點(diǎn)E，使由（）可得，故可在上取一點(diǎn),使/BAC平面24PDASPN,過(guò)作的平行線(xiàn)與的交點(diǎn)即為。連BN。在中知，又由于,故平面PNDPCSEBN/O/EC，得,由于,故/BEA平面/平面21N1SE解法二（）；連,設(shè)交于于，由題意知以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分BADOAC平面BOS，別為軸、軸、軸正方向，建立坐標(biāo)系如圖。設(shè)底面邊長(zhǎng)為，則高。XYZXYZA62SA于是,WWWKS5UCOM,WWWKS5UCOM620,0SAD2,0CA20,C,0D0CSD故從而OCSASD由題設(shè)知，平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，P6,2AAC6,2OA設(shè)所求二面角為，則,所求二面角的大小為3COSS03（）在棱上存在一點(diǎn)使由（）知是平面的一個(gè)法向量，SCE/BPAC平面DSPAC且設(shè)WWWKS5UCOM2626,0,0,DASA（,ET則而,1,BECBTTAT103BCT即當(dāng)時(shí)，WWWKS5UCOM而不在平面內(nèi)，故21SEDSBPA/EA平面20如圖，在四棱錐PA中，底面AC是矩形，平面D，4，2B以D的中點(diǎn)O為球心、B為直徑的球面交于點(diǎn)M（1）求證平面M平面；（2）求直線(xiàn)PC與平面A所成的角；（3）求點(diǎn)O到平面ABM的距離解方法（一）（1）證依題設(shè)，在以為直徑的球面上，則因?yàn)槠矫?，則，又，所以平面，則，因此有平面，所以平面平面（）設(shè)平面與交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以平面，則，由（1）知，平面，則MN是PN在平面ABM上的射影，所以PNM就是C與平面AB所成的角，且PNMCDTANTAN2PDPNC（3）因?yàn)镺是BD的中點(diǎn)，則O點(diǎn)到平面ABM的距離等于D點(diǎn)到平面ABM距離的一半，由（1）知，平面于M，則|DM|就是D點(diǎn)到平面ABM距離因?yàn)樵赗TPAD中，4A，AM，所以為中點(diǎn)，2D，則O點(diǎn)到平面ABM的距離等于2。方法二（1）同方法一；（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則0,A，,04P，2,0B，,40C，,，0,2，設(shè)平面ABM的一個(gè)法向量,NXYZ，由,NABM可得20XYZ，令1，則Y，即0,1N設(shè)所求角為，則2SI3PC（3）設(shè)所求距離為H，由,2,20OA，得2AOH19如圖，平面平面，四邊形與都是直角梯形，ABEFCDABEFCD09,BADFBC/，分別為的中點(diǎn)12AD/12,GH,（）證明四邊形是平行四邊形；（）四點(diǎn)是否共面為什么,CFE（）設(shè)，證明平面平面；ABADEC解法一（）由題意知，,所以,FGAHDG/12A又，故,所以四邊形是平行四邊形。BC/12AD/BC（）四點(diǎn)共面。理由如下,FE由，是的中點(diǎn)知，所以/12GBE/GH/FB由（）知，所以，故共面。又點(diǎn)在直線(xiàn)上,所以四點(diǎn)共面。/BCH/F,CDH,CDFE（）連結(jié)，由，及知是正方形故。由題設(shè)知EAA09AEGBA兩兩垂直，故平面，因此是在平面內(nèi)的射影，根據(jù)三垂線(xiàn)定理，,FADDBEFBG又，所以平面由（）知，所以平面。EBGA/CHBADE由（）知平面，故平面，得平面平面CEHADE解法二由平面平面，得平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線(xiàn)為軸正半AFFABX軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系XYZ（）設(shè)，則由題設(shè)得,BABC,0,0,02,0,0,ACDBEACGHBC所以于是,HGHBC又點(diǎn)不在直線(xiàn)上,所以四邊形是平行四邊形。B（）四點(diǎn)共面。理由如下由題設(shè)知，所以,DFE0,2FC又，故四點(diǎn)共面。0,0ACCACEEHD,CEF（）由得，所以又，因此AB,HAA02AB0,HACD即,又，所以平面,HEDAC故由平面，得平面平面CFE（19）如圖，在四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD底面ABCD，側(cè)棱PAPD,底面ABCD為直角梯形，其中2BCAD,ABAD,AD2AB2BC2，O為AD中點(diǎn)求證PO平面ABCD；求異面直線(xiàn)PB與CD所成角的余弦值；求點(diǎn)A到平面PCD的距離解法一（）證明在PAD卡中PAPD，O為AD中點(diǎn)，所以POAD又側(cè)面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD（）連結(jié)BO，在直角梯形ABCD中，BCAD,AD2AB2BC，有ODBC且ODBC，所以四邊形OBCD是平行四邊形，所以O(shè)BDC由（）知POOB，PBO為銳角，所以PBO是異面直線(xiàn)PB與CD所成的角因?yàn)锳D2AB2BC2，在RTAOB中，AB1，AO1，所以O(shè)B，2在RTPOA中，因?yàn)锳P，AO1，所以O(shè)P1，在RTPBO中，PB,232OBPCOSPBO,所以異面直線(xiàn)PB與CD所成的角的余弦值為36PBO36由（）得CDOB，在RTPOC中，PC，所以PCCDDP，SPCD2222OPC432又S設(shè)點(diǎn)A到平面PCD的距離H，由VPACDVAPCD，,12AD得SACDOPSPCDH，即11H，解得H313312332解法二（）同解法一，（）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為X軸、Y軸、Z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系OXYZOPDC、則A（0，1，0），B（1，1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1）所以（1，1，0），（T，1，1），COS、，CDBC3621D所以異面直線(xiàn)PB與CD所成的角的余弦值為，36（）設(shè)平面PCD的法向量為N（X0,Y0,X0），由（）知（1，0，1），CP（1，1，0），CD則N0，所以X0X00,PN0，X0Y00，即X0Y0X0,取X01，得平面的一個(gè)法向量為N1,1,1又1,1,0從而點(diǎn)A到平面PCD的距離DAC32NAC（18）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，底面，OBCD14ABCOABCD，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)2OMN（I）證明直線(xiàn)平面（II）求異面直線(xiàn)與所成角的大小A（III）求點(diǎn)到平面的距離BC【解析】（I）取的中點(diǎn)，連接、，OEMNEABCD又，平面平面MENOCD平面（II），為異面直線(xiàn)與所成的角（或其補(bǔ)角）ADAB作于點(diǎn)，連接平面，PPP，4D22M，1COSM3C所以，異面直線(xiàn)與所成的角為AB（III）平面，所以點(diǎn)和點(diǎn)到平面的距離相等。ODBAOCD連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)PQP，平面，,ACCQ又，平面，線(xiàn)段的長(zhǎng)就是點(diǎn)到平面的距離相等AA，2223OPDODP2ADEPQ所以，點(diǎn)到平面的距離為23OAPQBOCD2319（2007陜西理19）如圖,在底面為直角梯形的四棱錐ABCD，,BC6求證求二面角的大小解法一平面,平面又,即又平面過(guò)作,垂足為,連接平面,是在平面上的射影,由三垂線(xiàn)定理知,為二面角的平面角又,又,由得在中,二面角的大小為如圖,建立坐標(biāo)系,則,又,平面設(shè)平面的法向量為,則,又,解得平面的法向量取為,二面角的大小為17已知三棱錐PABC中，E、F分別是AC、AB的中點(diǎn)，ABC，PEF都是正三角形，PFAB（）證明PC平面PAB；（）求二面角PABC的平面角的余弦值；（）若點(diǎn)P、A、B、C在一個(gè)表面積為12的球面上，求ABC的邊長(zhǎng)（）證明連結(jié)CF,21PCAB,PFF平面4分CAPC平面平面（）解法一,B為所求二面角的平面角設(shè)ABA，則ABA，則FACFEP23,8分32COSAPFC解法二設(shè)P在平面ABC內(nèi)的射影為OPAFPABE,C得PAPBPC于是O是A