2014電大高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)考試小抄

高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)歸類(lèi)復(fù)習(xí)一、單項(xiàng)選擇題11下列各函數(shù)對(duì)中，（C）中的兩個(gè)函數(shù)相等A2XF，XGB2XF，XGC3LN，LND1，121設(shè)函數(shù)F的定義域?yàn)?，則函數(shù)F的圖形關(guān)于（C）對(duì)稱(chēng)A坐標(biāo)原點(diǎn)BX軸CY軸DX設(shè)函數(shù)X的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)F的圖形關(guān)于（D）對(duì)稱(chēng)AYB軸C軸D坐標(biāo)原點(diǎn)函數(shù)2EX的圖形關(guān)于（A）對(duì)稱(chēng)A坐標(biāo)原點(diǎn)B軸CY軸DXY1下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（B）A1LN2XYBXYCOSC2XAD1LNX下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（A）A3BXEC1LNYDYSI下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（D）AXYSIN1BX2CXCOSD1LN2X21下列極限存計(jì)算不正確的是（D）A2LIMXB01LNIM0XC0SNDS22當(dāng)時(shí)，變量（C）是無(wú)窮小量AXIBX1CX1IND2LX當(dāng)0時(shí)，變量（C）是無(wú)窮小量ABSIC1ED2X當(dāng)時(shí)，變量（D）是無(wú)窮小量AXBCXDLN下列變量中，是無(wú)窮小量的為（B）A1SIN0XBLN10C1XED24X31設(shè)XF在點(diǎn)X1處可導(dǎo)，則HFFH12LIM0（D）A1B1CD12F設(shè)F在0可導(dǎo)，則XFXFHLI00（D）AXB2CD0XF設(shè)F在0可導(dǎo)，則FFHLI00（D）AFBXC2D0F設(shè)XFE，則FF1LIM0（A）AEB2CE1D432下列等式不成立的是（D）AXXDBCOSSINXDCXD2DLNXD下列等式中正確的是（B）AARTN12B21CXXLDXCOTTA41函數(shù)42XF的單調(diào)增加區(qū)間是（D）A,B,C,D,函數(shù)5Y在區(qū)間6內(nèi)滿(mǎn)足（A）A先單調(diào)下降再單調(diào)上升B單調(diào)下降C先單調(diào)上升再單調(diào)下降D單調(diào)上升函數(shù)62X在區(qū)間（5，5）內(nèi)滿(mǎn)足（A）A先單調(diào)下降再單調(diào)上升B單調(diào)下降C先單調(diào)上升再單調(diào)下降D單調(diào)上升函數(shù)Y在區(qū)間,2內(nèi)滿(mǎn)足（D）A先單調(diào)下降再單調(diào)上升B單調(diào)下降C先單調(diào)上升再單調(diào)下降D單調(diào)上升51若XF的一個(gè)原函數(shù)是X1，則F（D）AXLNB21CXD32若F是F的一個(gè)原函數(shù)，則下列等式成立的是（A）。AAFXDXABAFBFDXBACXFFDAFBDXFBA52若COS，則XFD（B）AINBCSCCSINDCXOS下列等式成立的是（D）ADFXFBXFFCDDXFXD32（B）A3XFB32XFC1XFD1FX2（D）A2XFBXFD1C2FDXFD23若CXFD，則（B）ABCX2CCXFDCXF1補(bǔ)充XEFXDE,無(wú)窮積分收斂的是D12函數(shù)X10的圖形關(guān)于Y軸對(duì)稱(chēng)。二、填空題函數(shù)LN392XF的定義域是（3，）函數(shù)XY4LN的定義域是（2，3）（3，4函數(shù)XF215的定義域是（5，2）若函數(shù)0,2XF，則F12若函數(shù),1KXF，在處連續(xù)，則KE函數(shù)02SINXKXF在處連續(xù)，則K2函數(shù),SIN1Y的間斷點(diǎn)是X0函數(shù)32X的間斷點(diǎn)是X3。函數(shù)EY1的間斷點(diǎn)是X03曲線(xiàn)F在2,1處的切線(xiàn)斜率是1/2曲線(xiàn)X在處的切線(xiàn)斜率是1/4曲線(xiàn)F在（0，2）處的切線(xiàn)斜率是1曲線(xiàn)3在,處的切線(xiàn)斜率是332曲線(xiàn)XFSIN在1處的切線(xiàn)方程是Y1切線(xiàn)斜率是0曲線(xiàn)YSINX在點(diǎn)0,0處的切線(xiàn)方程為YX切線(xiàn)斜率是14函數(shù)1L2的單調(diào)減少區(qū)間是（，0）函數(shù)EXF的單調(diào)增加區(qū)間是（0，）函數(shù)2的單調(diào)減少區(qū)間是（，1）函數(shù)F的單調(diào)增加區(qū)間是（0，）函數(shù)2XY的單調(diào)減少區(qū)間是（0，）51DEEX2XDSIN22SITANTANXC若CF3SI，則F9SIN3X5235D213123DX0EXDX1LN0下列積分計(jì)算正確的是（B）AD1EXB0D1XEXC0D12XD0D|1X三、計(jì)算題（一）、計(jì)算極限（1小題，11分）（1）利用極限的四則運(yùn)算法則，主要是因式分解，消去零因子。（2）利用連續(xù)函數(shù)性質(zhì)0XF有定義，則極限LIM00XFFX類(lèi)型1利用重要極限1SINLX，KSN，KXTANLI計(jì)算11求X5SIN6LM0解56SIL5SI6L00XX12求0TALI3X解X3TANLM031TANLI1013求解IX類(lèi)型2因式分解并利用重要極限1SLAX，1SINLAA化簡(jiǎn)計(jì)算。21求1SINLM21XX解SINLM21XX21I2221SLX解211SINLMSINL21XXX233SIN4MX解LI3SI3SI43323X類(lèi)型3因式分解并消去零因子，再計(jì)算極限314586LI24X解4586LI24XX12LIXX32LI4X3231X3335M17X334LIM2X解412LIM2LI4LI2XXXX其他0SIN21LMSIN1L020XXXX，21SINLMSINL00XX546LI2X1LI2X，54362LIX3LI2X（0807考題）計(jì)算XSIN8TAL0解XSIN8TAL048SITAL0X（0801考題）計(jì)算X2LIM0解X2LIM021LI0X（0707考題）1SIN31431SINL1X（二）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分（1小題，11分）（1）利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則VUVU（2）利用導(dǎo)數(shù)基本公式和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式XLN1AAXEUEUXX2CSOTANICSSIXEXEXXXXSINCOSCIN2OCOSISIIN22XXXEEEUOSSSINI22XXEEEUSINSINCO2I22類(lèi)型1加減法與乘法混合運(yùn)算的求導(dǎo)，先加減求導(dǎo)，后乘法求導(dǎo)；括號(hào)求導(dǎo)最后計(jì)算。11XY3解322XEE1322XXE132XE12XYLNCOT解XXXXXYLN2CSLNLCSLNCOT22213設(shè)EXA，求Y解XEXXEYXX1SCTA1TATLT2類(lèi)型2加減法與復(fù)合函數(shù)混合運(yùn)算的求導(dǎo)，先加減求導(dǎo)，后復(fù)合求導(dǎo)21LNSI2，求Y解OLNSI2222ECOXY，求解222CSESICOSSINSIXXEXXX23X5LN，求，解EY5455LNL類(lèi)型3乘積與復(fù)合函數(shù)混合運(yùn)算的求導(dǎo)，先乘積求導(dǎo)，后復(fù)合求導(dǎo)EYXCOS2，求Y。解XEXEXSICO2CS22其他X，求。解2CLNOXYX2CSINL2XX0807設(shè)SIE，求Y解2SININCOSXEYX0801設(shè)2X，求解222XXXEE0707設(shè)SIN，求解ECOSININSI0701設(shè)XYECOL，求解XXY1L（三）積分計(jì)算（2小題，共22分）湊微分類(lèi)型11D2XX計(jì)算XCOS2解CXD1SINCOSCOS20707計(jì)算XD1SIN2解CXX1OSDSIN1SI20701計(jì)算E2解ED121XE湊微分類(lèi)型2X計(jì)算XDCOS解CXDXXSIN2COSDCOS0807計(jì)算IN解OIN2IN0801計(jì)算XED解CEXDEXEX湊微分類(lèi)型3DLN1，LN1A計(jì)算XDLN解CXDUX|LLL計(jì)算E12解E1E1LN2DL2X5L1EX5定積分計(jì)算題，分部積分法類(lèi)型1CXAXDAXAXDAXDAAA12111LNLNLNLN計(jì)算E1解，24L241LNLN2LXD21EXXE0LLNE1E計(jì)算E12DLNX解2A，CXXDX1LN1LNL2E2NE1E1計(jì)算DXE1LN解2A，CXXDX4LN2LLDE1N44LLN21EXXDE0807EL94219LN32ND3233E1EX0707EE12XLLX33類(lèi)型2CEAXDAXA21XXEDE2101041042XX11EXXXDEDE21010241304222EXX（0801考題）E10X類(lèi)型3CAXADAXAXDSIN1COCOSCSSIN2XXSIN1IN1ICO20SINXD02SICOS20X20COSXD120COSINSI20XXCXDSIN421COIN20SXD402I1COSS20XX2200011COIN|IN|4D四、應(yīng)用題（1題，16分）類(lèi)型1圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為L(zhǎng)，問(wèn)當(dāng)?shù)装霃脚c高分別為多少時(shí)，圓柱體的體積最大解如圖所示，圓柱體高H與底半徑R滿(mǎn)足22RH圓柱體的體積公式為L(zhǎng)V2求導(dǎo)并令032L得，并由此解出LR6即當(dāng)?shù)装霃絃R36，高H時(shí)，圓柱體的體積最大類(lèi)型2已知體積或容積，求表面積最小時(shí)的尺寸。21（0801考題）某制罐廠要生產(chǎn)一種體積為V的有蓋圓柱形容器，問(wèn)容器的底半徑與高各為多少時(shí)用料最省解設(shè)容器的底半徑為R，高為H，則其容積22,RHR表面積為RS224RV，由0S得32V，此時(shí)34VRH。由實(shí)際問(wèn)題可知，當(dāng)?shù)装霃?與高R時(shí)可使用料最省。一體積為V的圓柱體，問(wèn)底半徑與高各為多少時(shí)表面積最小解本題的解法和結(jié)果與21完全相同。生產(chǎn)一種體積為V的無(wú)蓋圓柱形容器，問(wèn)容器的底半徑與高各為多少時(shí)用料最省解設(shè)容器的底半徑為R，高為H，則無(wú)蓋圓柱形容器表面積為L(zhǎng)RVRHS22，令02RVS，得VR,3，由實(shí)際問(wèn)題可知，當(dāng)?shù)装霃?R與高RH時(shí)可使用料最省。22欲做一個(gè)底為正方形，容積為32立方米的長(zhǎng)方體開(kāi)口容器，怎樣做法用料最?。?707考題）解設(shè)底邊的邊長(zhǎng)為X，高為H，用材料為Y，由已知322VHX，2XH，表面積XVY422，令042XV，得63，此時(shí),4X22由實(shí)際問(wèn)題可知，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以當(dāng)，H時(shí)用料最省。欲做一個(gè)底為正方形，容積為625立方米的長(zhǎng)方體開(kāi)口容器，怎樣做法用料最省解本題的解法與22同，只需把V625代入即可。類(lèi)型3求求曲線(xiàn)KXY2上的點(diǎn)，使其到點(diǎn)0,AA的距離最短曲線(xiàn)上的點(diǎn)到點(diǎn),的距離平方為AAXL20，KX231在拋物線(xiàn)XY42上求一點(diǎn)，使其與軸上的點(diǎn)0,3的距離最短解設(shè)所求點(diǎn)P（X，Y），則滿(mǎn)足Y4，點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離之平方為322令0L，解得1X是唯一駐點(diǎn)，易知1X是函數(shù)的極小值點(diǎn)，當(dāng)1時(shí)，或，所以滿(mǎn)足條件的有兩個(gè)點(diǎn)（1，2）和（1，2）32求曲線(xiàn)XY2上的點(diǎn)，使其到點(diǎn),A的距離最短解曲線(xiàn)上的點(diǎn)到點(diǎn)A（2，0）的距離之平方為X令L，得1，由此22XY，Y即曲線(xiàn)XY2上的點(diǎn)（1，）和（1，）到點(diǎn)A（2，0）的距離最短。08074求曲線(xiàn)上的點(diǎn)，使其到點(diǎn)A（0，2）的距離最短。解曲線(xiàn)2XY上的點(diǎn)到點(diǎn)A（0，2）的距離公式為222YYXD與在同一點(diǎn)取到最大值，為計(jì)算方便求2D的最大值點(diǎn)，31Y令02得23Y，并由此解出6X，即曲線(xiàn)X上的點(diǎn)（,6）和點(diǎn)（2,）到點(diǎn)A（0，2）的距離最短高等數(shù)學(xué)（1）學(xué)習(xí)輔導(dǎo)一第一章函數(shù)理解函數(shù)的概念；掌握函數(shù)XFY中符號(hào)F的含義；了解函數(shù)的兩要素；會(huì)求函數(shù)的定義域及函數(shù)值；會(huì)判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等。兩個(gè)函數(shù)相等的充分必要條件是定義域相等且對(duì)應(yīng)關(guān)系相同。了解函數(shù)的主要性質(zhì)，即單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性。若對(duì)任意X，有XFF，則F稱(chēng)為偶函數(shù)，偶函數(shù)的圖形關(guān)于Y軸對(duì)稱(chēng)。若對(duì)任意，有，則稱(chēng)為奇函數(shù)，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。掌握奇偶函數(shù)的判別方法。掌握單調(diào)函數(shù)、有界函數(shù)及周期函數(shù)的圖形特點(diǎn)。熟練掌握基本初等函數(shù)的解析表達(dá)式、定義域、主要性質(zhì)和圖形?；境醯群瘮?shù)是指以下幾種類(lèi)型常數(shù)函數(shù)CY冪函數(shù)為實(shí)數(shù)X指數(shù)函數(shù)1,0A對(duì)數(shù)函數(shù)LOGYA三角函數(shù)XCOT,TNCS,I反三角函數(shù)XRRR了解復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的概念，會(huì)把一個(gè)復(fù)合函數(shù)分解成較簡(jiǎn)單的函數(shù)。如函數(shù)1ARCTN2EXY可以分解U，2V，WARCTN，X1。分解后的函數(shù)前三個(gè)都是基本初等函數(shù)，而第四個(gè)函數(shù)是常數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的和。會(huì)列簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系式。例題選解一、填空題設(shè)012XXF，則FX。解設(shè)T，則T，得TTTF221故XF21。函數(shù)X5LN的定義域是。解對(duì)函數(shù)的第一項(xiàng)，要求02且02LN，即2X且3；對(duì)函數(shù)的第二項(xiàng)，要求05X，即。取公共部分，得函數(shù)定義域?yàn)?,。函數(shù)F的定義域?yàn)?,，則XF的定義域是。解要使LN有意義，必須使1L，由此得LNF定義域?yàn)镋,1。函數(shù)392XY的定義域?yàn)?。解要?有意義，必須滿(mǎn)足092X且3X，即3X成立，解不等式方程組，得出3X或，故得出函數(shù)的定義域?yàn)?。設(shè)2AXF，則函數(shù)的圖形關(guān)于對(duì)稱(chēng)。解的定義域?yàn)?，且有2XFAFXXXX即是偶函數(shù)，故圖形關(guān)于Y軸對(duì)稱(chēng)。二、單項(xiàng)選擇題下列各對(duì)函數(shù)中，（）是相同的。AXGXF,2；BFXGXLN,LN2；CLN,LN3；D11解A中兩函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同,X2，B,D三個(gè)選項(xiàng)中的每對(duì)函數(shù)的定義域都不同，所以AB,D都不是正確的選項(xiàng)；而選項(xiàng)C中的函數(shù)定義域相等，且對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，故選項(xiàng)C正確。設(shè)函數(shù)FX的定義域?yàn)?，則函數(shù)FX的圖形關(guān)于（）對(duì)稱(chēng)。AYX；BX軸；CY軸；D坐標(biāo)原點(diǎn)解設(shè)FF，則對(duì)任意X有XFFXFXFFXFF即是奇函數(shù)，故圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。選項(xiàng)D正確。3設(shè)函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)，則函數(shù)是（）A單調(diào)減函數(shù)；B有界函數(shù)；C偶函數(shù)；D周期函數(shù)解A,B,D三個(gè)選項(xiàng)都不一定滿(mǎn)足。設(shè)XFXF，則對(duì)任意X有XFFXFF即是偶函數(shù)，故選項(xiàng)C正確。函數(shù)1,0AXF（）A是奇函數(shù)；B是偶函數(shù)；C既奇函數(shù)又是偶函數(shù)；D是非奇非偶函數(shù)。解利用奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行驗(yàn)證。11XFAXAXXF所以B正確。若函數(shù)21XF，則F（）A2X；B；C；D1。解因?yàn)?2122XX所以XF則2，故選項(xiàng)B正確。第二章極限與連續(xù)知道數(shù)列極限的“N”定義；了解函數(shù)極限的描述性定義。理解無(wú)窮小量的概念；了解無(wú)窮小量的運(yùn)算性質(zhì)及其與無(wú)窮大量的關(guān)系；知道無(wú)窮小量的比較。無(wú)窮小量的運(yùn)算性質(zhì)主要有有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和是無(wú)窮小量；有限個(gè)無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量；無(wú)窮小量和有界變量的乘積是無(wú)窮小量。熟練掌握極限的計(jì)算方法包括極限的四則運(yùn)算法則，消去極限式中的不定因子，利用無(wú)窮小量的運(yùn)算性質(zhì)，有理化根式，兩個(gè)重要極限，函數(shù)的連續(xù)性等方法。求極限有幾種典型的類(lèi)型（1）AXAXAKKXKX21LIMLI22020（2）100102LILI00BXX（3）MNBAXBXBAAMMNNX0110LI熟練掌握兩個(gè)重要極限LISNX0X1E（或LIXX01E）重要極限的一般形式LIMSNX0FXFX1E（或LIMGXGX01E）利用兩個(gè)重要極限求極限，往往需要作適當(dāng)?shù)淖儞Q，將所求極限的函數(shù)變形為重要極限或重要極限的擴(kuò)展形式，再利用重要極限的結(jié)論和極限的四則運(yùn)算法則，如31SINL31SINLM3SINL000XXXX3122E1LIM12LI12LI2LIXXXXXX理解函數(shù)連續(xù)性的定義；會(huì)判斷函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性；會(huì)求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間；了解函數(shù)間斷點(diǎn)的概念；會(huì)對(duì)函數(shù)的間斷點(diǎn)進(jìn)行分類(lèi)。間斷點(diǎn)的分類(lèi)已知點(diǎn)0X是的間斷點(diǎn)，若F在點(diǎn)的左、右極限都存在，則0X稱(chēng)為F的第一類(lèi)間斷點(diǎn)；若在點(diǎn)0的左、右極限有一個(gè)不存在，則稱(chēng)為X的第二類(lèi)間斷點(diǎn)。理解連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為0）及復(fù)合仍是連續(xù)函數(shù)，初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)的結(jié)論，知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的幾個(gè)結(jié)論。典型例題解析一、填空題極限LIMSNX021。解01SINLM1ILSINLISINL00020XXXXXX注意1（無(wú)窮小量乘以有界變量等于無(wú)窮小量）1SILMSILSINLM000XXX，其中XSIL01是第一個(gè)重要極限。函數(shù)1IXF的間斷點(diǎn)是。解由是分段函數(shù)，0是XF的分段點(diǎn)，考慮函數(shù)在0X處的連續(xù)性。因?yàn)?LIMSINL0XX所以函數(shù)F在處是間斷的，又在,和,都是連續(xù)的，故函數(shù)XF的間斷點(diǎn)是0X。設(shè)232F，則F。解XF，故21842X函數(shù)1LN2XY的單調(diào)增加區(qū)間是。二、單項(xiàng)選擇題函數(shù)在點(diǎn)處（）A有定義且有極限；B無(wú)定義但有極限；C有定義但無(wú)極限；D無(wú)定義且無(wú)極限解XF在點(diǎn)處沒(méi)有定義，但01SINLM0（無(wú)窮小量有界變量無(wú)窮小量）故選項(xiàng)B正確。下列函數(shù)在指定的變化過(guò)程中，（）是無(wú)窮小量。AE1X,；BSIN,X；CLN,；D10,解無(wú)窮小量乘以有界變量仍為無(wú)窮小量，所以0SILMX而A,C,D三個(gè)選項(xiàng)中的極限都不為0，故選項(xiàng)B正確。三、計(jì)算應(yīng)用題計(jì)算下列極限1243LI2XXXX13LIM50MX（4）XSINL0解621432XLI2X81LIMX4313E1LIM31LI3LIM13LIXNXNXNXN題目所給極限式分子的最高次項(xiàng)為155102XX分母的最高次項(xiàng)為，由此得38LIM150X（4）當(dāng)時(shí)，分子、分母的極限均為0，所以不能用極限的除法法則。求解時(shí)先有理化根式在利用除法法則和第一個(gè)重要極限計(jì)算。13SINLM13SINLM3SINL000XXXXX62LILI11SILM000XXX2設(shè)函數(shù)0SINXABXF問(wèn)（1）BA,為何值時(shí)，F(xiàn)在處有極限存在（2）為何值時(shí)，X在處連續(xù)解（1）要F在0處有極限存在，即要LIMLI00XFFXX成立。因?yàn)锽XXX1SINLMLI0所以，當(dāng)1B時(shí)，有LILI00FFXX成立，即1B時(shí)，函數(shù)在0X處有極限存在，又因?yàn)楹瘮?shù)在某點(diǎn)處有極限與在該點(diǎn)處是否有定義無(wú)關(guān)，所以此時(shí)A可以取任意值。（2）依函數(shù)連續(xù)的定義知，函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)的充要條件是LIMLI000XFFXFXX于是有AB1，即1B時(shí)函數(shù)在0處連續(xù)。第三章導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分這一章是我們課程的學(xué)習(xí)重點(diǎn)之一。在學(xué)習(xí)的時(shí)候要側(cè)重以下幾點(diǎn)理解導(dǎo)數(shù)的概念；了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；會(huì)求曲線(xiàn)的切線(xiàn)和法線(xiàn)；會(huì)用定義計(jì)算簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；知道可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。XF在點(diǎn)0處可導(dǎo)是指極限XFLIM0存在，且該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是這個(gè)極限的值。導(dǎo)數(shù)的定義式還可寫(xiě)成極限0LI0XFX函數(shù)F在點(diǎn)0處的導(dǎo)數(shù)0XF的幾何意義是曲線(xiàn)XFY上點(diǎn),0XF處切線(xiàn)的斜率。曲線(xiàn)Y在點(diǎn),F處的切線(xiàn)方程為00XF函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，則在X點(diǎn)連續(xù)。反之則不然，函數(shù)XFY在0點(diǎn)連續(xù)，在0X點(diǎn)不一定可導(dǎo)。了解微分的概念；知道一階微分形式不變性。熟記導(dǎo)數(shù)基本公式，熟練掌握下列求導(dǎo)方法（1）導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則（2）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（3）隱函數(shù)求導(dǎo)方法（4）對(duì)數(shù)求導(dǎo)方法（5）參數(shù)表示的函數(shù)的求導(dǎo)法正確的采用求導(dǎo)方法有助于我們的導(dǎo)數(shù)計(jì)算，如一般當(dāng)函數(shù)表達(dá)式中有乘除關(guān)系或根式時(shí)，求導(dǎo)時(shí)采用取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，例如函數(shù)XY21，求Y。在求導(dǎo)時(shí)直接用導(dǎo)數(shù)的除法法則是可以的，但是計(jì)算時(shí)會(huì)麻煩一些，而且容易出錯(cuò)。如果我們把函數(shù)先進(jìn)行變形，即2123211XXXYLI0FX再用導(dǎo)數(shù)的加法法則計(jì)算其導(dǎo)數(shù)，于是有23213XXY這樣計(jì)算不但簡(jiǎn)單而且不易出錯(cuò)。又例如函數(shù)3X，求Y。顯然直接求導(dǎo)比較麻煩，可采用取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，將上式兩端取對(duì)數(shù)得2LN1L2LNY兩端求導(dǎo)得3X整理后便可得268213Y若函數(shù)由參數(shù)方程TYX的形式給出，則有導(dǎo)數(shù)公式DTX能夠熟練地利用導(dǎo)數(shù)基本公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能夠利用隱函數(shù)求導(dǎo)法，取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，參數(shù)表示的函數(shù)的求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。熟練掌握微分運(yùn)算法則微分四則運(yùn)算法則與導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則類(lèi)似VUDDV02一階微分形式的不變性UYXYUXDD微分的計(jì)算可以歸結(jié)為導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，但要注意它們之間的不同之處，即函數(shù)的微分等于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量微分的乘積。了解高階導(dǎo)數(shù)的概念；會(huì)求顯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。函數(shù)的高階高數(shù)即為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。由此要求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)就要先求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。要求函數(shù)的N階導(dǎo)數(shù)就要先求函數(shù)的1N階導(dǎo)數(shù)。第三章導(dǎo)數(shù)與微分典型例題選解一、填空題設(shè)函數(shù)XF在0鄰近有定義，且10,FF，則XFLIM0。解LIMLI0XF故應(yīng)填1。曲線(xiàn)Y在點(diǎn)（1，1）處切線(xiàn)的斜率是。解由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，曲線(xiàn)XF在0處切線(xiàn)的斜率是0XF，即為函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，于是21,2233XYY故應(yīng)填1。設(shè)FX245，則F。解，故37244XXF故應(yīng)填372二、單項(xiàng)選擇題設(shè)函數(shù)2XF，則2LIMXF（）。AX2；B2；C4；D不存在解因?yàn)長(zhǎng)I2F，且2F，所以4XF，即C正確。設(shè)1，則F（）。AX；BX；C21X；D21X解先要求出XF，再求XF。因?yàn)镕1，由此得F1，所以21XXF即選項(xiàng)D正確。3設(shè)函數(shù)2XXF，則0F（）A0；B1；C2；D解因?yàn)?212121XXXXXF，其中的三項(xiàng)當(dāng)0時(shí)為0，所以故選項(xiàng)C正確。4曲線(xiàn)YXE在點(diǎn)（）處的切線(xiàn)斜率等于0。A,01；B,1；C,1；D,10解，令0得X。而Y，故選項(xiàng)C正確。5YXSIN2，則Y（）。ACO；BCOS2；C2XCOS；D2XCOS解故選項(xiàng)C正確。三、計(jì)算應(yīng)用題設(shè)XYSIN2TA，求2DXY解由導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則LCOSSIN2X由此得XYXD2L2SCDIN22設(shè)EXF，其中F為可微函數(shù)，求Y。解EXFFXFXEFXEEXFFXXF求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，要先搞清函數(shù)的復(fù)合構(gòu)成，即復(fù)合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的，特別要分清復(fù)合函數(shù)的復(fù)合層次，然后由外層開(kāi)始，逐層使用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，一層一層求導(dǎo)，關(guān)鍵是不要遺漏，最后化簡(jiǎn)。3設(shè)函數(shù)YX由方程YXELN確定，求DY。解方法一等式兩端對(duì)求導(dǎo)得2EYY整理得XYXYE22方法二由一階微分形式不變性和微分法則，原式兩端求微分得左端YXYDEEDD右端2LNXY由此得2DDEYX整理得XYXED224設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程TY1確定，求DX。解由參數(shù)求導(dǎo)法TXYT12D5設(shè)XARCN，求Y。解1ARCTN21T2XYARCTARC2XX第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用典型例題一、填空題1函數(shù)1LN2XY的單調(diào)增加區(qū)間是解，當(dāng)0時(shí)Y故函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是0,2極限X1LIM解由洛必達(dá)法則1LILNILI111XX3函數(shù)E2XF的極小值點(diǎn)為。解，令0XF，解得駐點(diǎn)0X，又時(shí)，0XF；0X時(shí)，0XF，所以是函數(shù)E21F的極小值點(diǎn)。二、單選題1函數(shù)12Y在區(qū)間2,上是（）A）單調(diào)增加B）單調(diào)減少C）先單調(diào)增加再單調(diào)減少D）先單調(diào)減少再單調(diào)增加解選擇DXY2，當(dāng)0時(shí)，0XF；當(dāng)時(shí)，0XF；所以在區(qū)間2,上函數(shù)1先單調(diào)減少再單調(diào)增加。2若函數(shù)F滿(mǎn)足條件（），則在,BA內(nèi)至少存在一點(diǎn)BA，使得ABFF成立。A）在,內(nèi)連續(xù)；B）在,BA內(nèi)可導(dǎo)；C）在內(nèi)連續(xù)，在,B內(nèi)可導(dǎo)；D）在內(nèi)連續(xù)，在,內(nèi)可導(dǎo)。解選擇D。由拉格朗日定理?xiàng)l件，函數(shù)XF在,內(nèi)連續(xù)，在,內(nèi)可導(dǎo)，所以選擇D正確。3滿(mǎn)足方程0XF的點(diǎn)是函數(shù)FY的（）。A）極值點(diǎn)B）拐點(diǎn)C）駐點(diǎn)D）間斷點(diǎn)解選擇C。依駐點(diǎn)定義，函數(shù)的駐點(diǎn)是使函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)。4設(shè)函數(shù)XF在,BA內(nèi)連續(xù)，,0BAX，且00XFF，則函數(shù)在0X處（）。A）取得極大值B）取得極小值C）一定有拐點(diǎn),0FD）可能有極值，也可能有拐點(diǎn)解選擇D函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為零，說(shuō)明X可能是函數(shù)的極值點(diǎn)；函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為零，說(shuō)明0X可能是函數(shù)的拐點(diǎn)，所以選擇D。三、解答題1計(jì)算題求函數(shù)1LNXY的單調(diào)區(qū)間。解函數(shù)的定義區(qū)間為,1，由于XY令0Y，解得X，這樣可以將定義區(qū)間分成0,和,兩個(gè)區(qū)間來(lái)討論。當(dāng)1時(shí)，；當(dāng)X0是，Y。由此得出，函數(shù)1LN在,內(nèi)單調(diào)遞減，在,內(nèi)單調(diào)增加。2應(yīng)用題欲做一個(gè)底為正方形，容積為108立方米的長(zhǎng)方體開(kāi)口容器，怎樣做法所用材料最省解設(shè)底邊邊長(zhǎng)為X，高為H，所用材料為Y且22108,XXHY422243108XXY令0Y得602163X，且因?yàn)?，所以108,Y為最小值此時(shí)3H。于是以6米為底邊長(zhǎng)，3米為高做長(zhǎng)方體容器用料最省。3證明題當(dāng)時(shí)，證明不等式EX證設(shè)函數(shù)FLN，因?yàn)镕在,0上連續(xù)可導(dǎo)，所以XF在,1上滿(mǎn)足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，有公式可得11XCF其中XC1，即LN又由于C，有1故有1LNX兩邊同時(shí)取以E為底的指數(shù)，有E即所以當(dāng)1X時(shí)，有不等式EX成立第5章學(xué)習(xí)輔導(dǎo)（2）典型例題解析一、填空題曲線(xiàn)在任意一點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為2X，且曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn),25，則曲線(xiàn)方程為。解CX2D，即曲線(xiàn)方程為CY。將點(diǎn),代入得1C，所求曲線(xiàn)方程為12Y已知函數(shù)FX的一個(gè)原函數(shù)是2ARCTNX，則F。解421ARCTN2424168XXXF已知F是F的一個(gè)原函數(shù)，那么FABD。解用湊微分法D1DXFXBAFXBAFCBAF1二、單項(xiàng)選擇題設(shè)CXFLND，則XF（）。A1LNX；BLN；C；D解因1LLLXF故選項(xiàng)A正確設(shè)FX是F的一個(gè)原函數(shù)，則等式（）成立。ADX；BFXFCD；CX；DF解正確的等式關(guān)系是DXFFCFX故選項(xiàng)D正確設(shè)是FX的一個(gè)原函數(shù)，則XFD12（）。1021023DTXACXF12；BCXF12；C；D解由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得121222XFX122XFF故選項(xiàng)C正確三、計(jì)算題計(jì)算下列積分X12D12XD解利用第一換元法12222XXXCX1D利用第二換元法，設(shè)TSIN，TCOSTTTX1DSINDIICOD12222CXXAR1計(jì)算下列積分XDARCSINXDLN2解利用分部積分法XXD1ARCSINARCSIRIRI2D12N2XCARCSI利用分部積分法LND1L1DLNL2XXXXC1L2高等數(shù)學(xué)（1）第六章學(xué)習(xí)輔導(dǎo)綜合練習(xí)題（一）單項(xiàng)選擇題（1）下列式子中，正確的是（）。A02DXFBC1010D2下列式子中，正確的是（）AXTDXCOSS0BCCO0XTDXTDXCOSS03下列廣義積分收斂的是（）。A0DEXBXD1CCOSD124若XF是,A上的連續(xù)偶函數(shù)，則ADXF。A0DAFB0C2DAF5若XF與G是,BA上的兩條光滑曲線(xiàn)，則由這兩條曲線(xiàn)及直線(xiàn)BAABXFFTDCOSS/2024XBXA,所圍圖形的面積ABADGFBBADXGFCFDF答案（1）A；（2）D；（3）D；（4）C；（5）A。解（1）根據(jù)定積分定義及性質(zhì)可知A正確。而B(niǎo)AABDXFDXFB不正確。在（0，1）區(qū)間內(nèi)DX101022C不正確。根據(jù)定積分定義可知，定積分值與函數(shù)及定積分的上、下限有關(guān)，而與積分變量的選取無(wú)關(guān)。故D不正確。2由變上限的定積分的概念知XTXTXXCOSDCS,COSDS00A、C不正確。由定積分定義知B不正確。D正確。3ELIMELIE000BBXXA不正確。1LNLILNI1LI11DXDXBBBB。不正確。不存在。0SILICOSLICOS00BBC。不正確。DD正確（4）由課本344頁(yè)（642）和345頁(yè)（643）知C。正確。（5）所圍圖形的面積始終是在上面的函數(shù)減去在下面的函數(shù)A正確。（二）填空題1_COSLIM0XTDX2_,DE12FTXF則設(shè)3在區(qū)間,0上，曲線(xiàn)YSIN和軸所圍圖形的面積為_(kāi)。4_425發(fā)散無(wú)窮積分DXPAP1_,A0P0答案解（1）10COS1LIMDCOSLI00XXTXX（2）222211,XXXTTEEDFEF（2）所圍圖形的面積S40COSCOSSIN00D（3）由定積分的幾何意義知定積分的值等于（4）Y所圍圖形的面積220214DX（5）P1時(shí)無(wú)窮積分發(fā)散。（三）計(jì)算下列定積分1）402DX2）1（3）E1LNX（4）（5）20SID答案1）42120422040XXDXX1LIM_1LILIM1212BXDXDXBBX212）67213100XDX（3）23LN1LLNLN111EEEXD（4）542SIN412COS12COS12SIN000XXDXXD（四）定積分應(yīng)用求由曲線(xiàn)Y,及直線(xiàn),Y所圍平面圖形的面積解畫(huà)草圖求交點(diǎn)由YX,XY1得X1Y12Y2YX0XY1第七章綜合練習(xí)題（一）單項(xiàng)選擇題1、若（）成立，則級(jí)數(shù)1NA發(fā)散，其中NS表示此級(jí)數(shù)的部分和。A、0LIMNS；B、單調(diào)上升；C、AD、NLIM不存在2、當(dāng)條件（）成立時(shí)，級(jí)數(shù)1NBA一定發(fā)散。A、1NA發(fā)散且1NB收斂；B、1NA發(fā)散；C、發(fā)散；D、和B都發(fā)散。3、若正項(xiàng)級(jí)數(shù)1NA收斂，則（）收斂。A、1NAB、12NAC、2CD、C4、若兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)1NA、1NB滿(mǎn)足，,21NBA則結(jié)論（），是正確的。A、1N發(fā)散則發(fā)散；B、1N收斂則1NB收斂；C、A發(fā)散則1NB收斂；D、收斂則發(fā)散。5、若FXX0,則NA。A、FBXFN、C0NFD、1答案1、D2、A