微積分3期中考試答案.doc

清華大學本科生考試試題專用紙微積分期中考試2006年11月11日姓名學號班級一、填空題（每小題分，共6分）1設0,00,sin)(2222222yxyxyxbyxaxxf在原點)0,0(可微，則a1，b0222003ecos2lim2yxxyyx13設)(tf可導，xyyxfz)(2，則yzyxzx2xy4xyyxz32，則)1,1(dzdx)-dy45（5設yxuarctan，則yxu222222)(yxyx6設)(32xyyxz，其中)(t有連續(xù)的二階偏導數(shù)若2)3(，1)3(則)3,1(2yxz17)1ln(),(yxyxf在點)0,0(帶有佩亞諾余項的二階泰勒公式為)(22222yxoxyyxyx8設)(tf連續(xù)，),(yxzz由方程1d)(0xyzttf確定xz2)(xyzxyzf9曲面223:yxzS平行于平面04zyx的切平面為：)31()61()21(zyx10設sin0,0|),(xyxyxD，則Dyxxdd11交換積分順序：22221d),(dxxxyyxfx211210d),(dyyxyxfy12設10,10|),(yxyxD，則Dyxyxdd,max.3213曲線2cos22r)44(圍成的面積等于114設L是平面上不包含原點的圓周，)4,3(0P是L上距離原點最近的一點，則L在該點的切線方程為.5243yx15D是曲線22222tbyax圍成的區(qū)域)0(dd)(2tyxytFtD則)(tF33tab二、解答題（共40分）16假設函數(shù))(tf有二階連續(xù)導數(shù)，)(22yxfyz求yxz2)10.(.)()(8)()(4)(28.()()(22)()(2)()()(2)4.(.)3.(.)()(2.322222222222222222232222222222222222222分分）分分解yxfyxfxyyxfyxfxyyxfxyyxfyxfxyyxfyyxfxyyxfyxfyxfxyyxyzyxzyxfyxfxyxz17計算Dyxyxadd4222.其中)0(0,)(|),(222ayayaxyxD解.區(qū)域D在極坐標下可表示為.cos20,20ar（3分）于是重積分可以化為累次積分：Dyxyxadd4222cos20220d4d2arrra(6分)10.(.91634dsin138)8.(.)4(31(d33033cos202202232分分aaaraa18計算積分Dyxyxdd)(其中22|),(22yxyxyxD解.令1,1vyux則分）（3.1),(),(vuyx變成：下，而在新坐標Dvu),(分）（5.2|),(22vuvu所以分）8(.dd)(4dd)(dd2dd)2(dd)(vuvuvuvuvuvuvuyxyxD的奇函數(shù)，所以是軸對稱關于由vvvuhu),(,.0ddvuv同理.0ddvuu最終有分）10(.4dd)(Dyxyx19設)0(|),(222aayxyxD),(yxf在D上連續(xù)，在D的內部處處有連續(xù)偏導數(shù)，并且滿足方程)0(),(kyxkfyfxf若在D的邊界上0),(yxf，求證在D的內部0),(yxf反證：假設),(yxf在D內部不恒等于零。則存在點Dyx),(11，使得0),(11yxf不妨設0),(11yxf(2分)這時),(yxf在D內部某點),(00yx達到D上的正的最大值由于該點在D內部，所以),(00yx為極值點于是在點),(00yx有0,0