湖南省長沙一中屆高三下學(xué)期第二周周考數(shù)學(xué)試卷(理)

1、長沙市第一中學(xué)高2010屆周考試卷（二）理科數(shù)學(xué)時量：120分鐘 滿分：150分、選擇題（本大題共 8個小題，每小題 5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只 有一個是符合題目要求的）1. 已知z= i（1+ i） （i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（6 .A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限B= y I y=則 a ab=(12. 若集合 A= y | y= x3 , 11b . 1, 1C.3. 一個空間幾何體的三視圖及其尺寸如右圖所示, 則該空間幾何體的體積是正視圖C. 14)4.設(shè)隨機變量E服從正態(tài)分布 N(2, 9)，若 P(Ec+ 1) = P(

2、Ev c 1)，貝U c =(C. 35.給定下列四個命題： -|x R, x2= 1 ; 在 ABC中，“ A B”是“ sinA sinB”成立的充要條件； 在120個零件中，一級品24個，二級品36個，三級品60個.用系統(tǒng)抽樣法從中抽取容量為20的樣本，則每個個體被抽取到的概率是丄;6TT函數(shù)y = 2sin（4 x + -）的圖象的兩條相鄰對稱軸間的距離為其中，正確命題的個數(shù)是（C. 23x x _1 ,ABDB . 1x0v 07在約束條件下，當(dāng)30W5時，目標(biāo)函數(shù)z= 3x+ 2y的最大值的變化范圍是() y+xsy 2x 0.設(shè)函數(shù)f(x)= m n,且函數(shù)f(x)的周期為 n(

3、I )求3的值；B AF(n )在厶ABC中，a, b, c分別是角 A, B, C的對邊，且a, b, c成等差數(shù)列，當(dāng)f(B)= 1 時，判斷 ABC的形狀.17. (本題滿分12分)如右圖，已知 AB丄平面 ACD , DE丄平面 ACD , ACD為等邊三角形， AD = DE = 2AB, F為CD的中點.(I )求證：AF /平面BCE ;(n )求證：平面 BCE丄平面 CDE (川)求直線BF和平面BCE所成角的正弦值.18. (本題滿分12分)某國由于可耕地面積少，計劃從今年起的五年每年填湖改造一部分為生產(chǎn)和生活用地.若填湖費、購置排水設(shè)備費等所需經(jīng)費與當(dāng)年所填湖造地面積x(

4、畝)的平方成正比，其比例系數(shù)為a，設(shè)每畝水面的年平均經(jīng)濟效益為b元，填湖造地后的每畝土地的年平均收益為 c元(其中a, b, c均為常數(shù)，且c b).(I )若按計劃填湖造地，且使得今年的收益不小于支出，試求所填面積x的最大值；(n)如果填湖造地面積按每年 I %的速度減少，為保證水面的蓄洪能力和環(huán)保要求，填湖造 地的總面積不能超過現(xiàn)有水面面積的25%，求今年填湖造地的面積最多只能占現(xiàn)有水面的百分之幾.(參考數(shù)據(jù)：0.992 0.98, 0.993 0.97, 0.994 0.96, 0.995 0.95, 0.996 0.94, 0.997 0.93)19. (本題滿分13分)口袋里裝有大小

5、相同的 4個紅球和8個白球.(I )若甲在口袋中任意取球，取后不放回，每次只取一球，直到取得白球為止.求甲取球次 數(shù)E的分布列和數(shù)學(xué)期望；(n)若甲、乙兩人依次從口袋中有放回地摸球，每次摸出一個球，規(guī)則如下：若一方摸出一 個紅球，則此人繼續(xù)下一次摸球；若一方摸出白球，則由對方接替下一次摸球，且每次摸球 彼此相互獨立，并由甲進行第一次摸球.設(shè)第n次由甲摸球的概率為 an，試建立an-1與an的遞推關(guān)系，并求數(shù)列a.的通項公式.20. (本題滿分13分)已知雙曲線2x2 _2y2 T的兩個焦點為Fi, F2, P為動點，若尸卩卄|PF2|= 4.(I )求動點P的軌跡E的方程；(n )求COSF1

6、PF2的最小值；(川)過點N -2,0作直線I交軌跡E于A, B兩點，點M為軌跡E與x軸負(fù)半軸的交點， 判I 7丿斷/ AMB的大小是否為定值？并證明你的結(jié)論.43221. (本題滿分 13 分)設(shè)定義在 R 上的函數(shù) f(x)= aox + aix + a?x + a3x+ a4 (a。，ai, a?, 2a3, a4 R),函數(shù) g(x) = %3f(x)+3x，當(dāng) x=- 1 時，f(x)取得極大值-，且函數(shù) y= f(x+ 1)3的圖象關(guān)于點(一1, 0)對稱.(I )求函數(shù)f(x)的表達式；g( x)1(n )求證：當(dāng)x0時，1v e (e為自然對數(shù)的底數(shù))；IL g(x)1(川)若

7、bn=g(n)gZ (n N *),數(shù)列 g中是否存在bn=bm( n豐m)?若存在，求出所有相等的兩項；若不存在，請說明理由.12分則2分yDFa,0 , BE = (a, x/3a, a ), BC = (2a,0,方法二：如右圖，補成直棱柱 ACD-BC1D1，貝U D1為DE中點，取C1D1中點M，可證M也4分AF 二平面 BCE, AF /平面 BCE.為CE的中點，得平行四邊形AFMB，貝U AF / BM，可得 AF / 平面 BCE .B(n)證明：t ATa,土(2 2a,0 ,CD =(a,73a,0 ), ED =(0,0, 2a ),1. B 2. D 3. A 4.

8、B 5. D 6. C 7. D 8. A9. 82 ； 10. 7, 9; 11.; 12. 6; 13. 2ae = Sacd ； 14.；15. 7; (2, 3).97EB S暫cd16.【解析】：(I ) m= (cos灼x+sin曲,屆coscjx) , n= (cosxsin(ox,2sin)( o 0),22f二 f(x)= m n = cos x si n x 亠 2.3cos xs in，x二 f (x) =2sin 2 xcos2;.-,x3sin2;.-;x .I 6丿函數(shù)f(x)的周期為 n二丁 = 2江=兀二=1. 5分2ii1(n )在 ABC 中 f(B)=1,

9、. 2sin(2B )=1. / sin(2B ). 6 分662又 Ov Bv n, 2Lv 2B + - 0又c b.- 0乞x時，此時所填面積的最大值為畝 7分aa(n )設(shè)該地現(xiàn)在水面 m畝.今年填湖造地 y畝，則 y (1 1%)y (1 -1%)2y (1 _1%)3y (1 1%)4y 乞 0.25m, 9 分m205即y(1 -.99人m，所以12分1-0.994因此今年填湖造地面積最多只能占現(xiàn)有水面的2019. 【解析】(I )E的可能值為1, 2, 3, 4, 5.P(E= 1) = -= 2 ；P(E= 2)=蘭X-8=衛(wèi);P(片 3)=二x-3 X-8=蘭;12 312

10、113312111055_43288、432181P( E= 4) =XXX-=;P(片 5) =x XXx_=; 2分121110949512111098495E的分布列如下表：E12345P2848133355495495甲取球次數(shù) E的數(shù)學(xué)期望為EE= 1X2 + 2X 8+ 3X 4 +4X 8+ 5X 1= 13.6分333554954959(n)記 甲摸球一次摸出紅球”為事件A，記 乙摸球一次摸出紅球”為事件B,則 P(A)= P(B)=丄4+8根據(jù)摸球規(guī)則可知，第B相互獨立,1 , P(A)= P(B ) = 2，且 A、33第n 1次由甲摸球,且摸出紅球，其發(fā)生的概率為1an

11、1 X3第n 1次由乙摸球,且摸出白球，其發(fā)生的概率為(1 an-1)x212上述兩個事件互斥，c3n = an - 1+ X(1 an- 1),331 = - (an 1 -2 3_ 1an 一 an 132+ (n 2),3由 an= 1 an1+ (n 2 得 an 332) (n2,210分甲進行第一次摸球，1數(shù)列 an -是首項為1，公比為一1的等比數(shù)列，即231an 2n次由甲摸球包括如下兩個事件：13分- an= +22 220. 【解析：(I )依題意雙曲線為曰，則F1F2 =2 ,2 2 PR| ：|PF2 =4 需2 =2 , 2點P的軌跡是以F1, F2為焦點的橢圓，其方

12、程可設(shè)為務(wù)篤=1 (ab0).a b2 2由 2a = 4, 2c= 2,得 a = 2, c= 1, b2 = 4 1= 3,則所求橢圓方程為11,432 2 故動點P的軌跡E的方程為x y =1 .43 (n )設(shè) PF1 =m0,PF2 =n0, Z F1PF2=二，則由 m+ n = 4, F1F2 =2，可知在 F1PF2 中,2 22cosH _m +n _4_(m+ n) -2mn_4_12_2mn_ 62mn2mn2mn mn 1 1 6 1 又：m0, n0, 4 = m n _2 mn,mn _4，即，二 cos 1,當(dāng)且僅當(dāng) mmn 442=n = 2時等號成立.故cos

13、 F1 pf2的最小值為(川)M ( 2, 0).當(dāng)I與x軸重合時，構(gòu)不成/當(dāng)I丄x軸時，直線I的方程為x=-272 AMB，不合題意.2 2，代入-1，解得 A、B的坐標(biāo)分別為432 12 2 1212!,、一，一.而 MN ，Z AMB = 90 .7 7.7 77猜測Z AMB = 90為定值，證明如下：證明：設(shè)直線l方程為my = x+?，由0時，不等式1gIL g(x)(x)v e即為1-rv xln 1 - xv 1 in 1 - x構(gòu)造函數(shù) h(x)= ln(1 + x) x (x 0),貝U h (x) = 1 = _x1 +x函數(shù)h(x)在(0, +8)上是減函數(shù). x 0 時，h(x) v h(0) = 0，即 x 0 時，ln(1 + x)v x 成立, 因為bi= 1，且n豐1時，bn= nn 1工1,用丄換x得，x 0時，in 1 -xv丄成立當(dāng)x 0時,x x1 g；x)g(x)v e.(川)bn=啟，由(n )