概率論及其在工程技術(shù)中的應(yīng)用

1、班 級 學(xué) 號 題 目 概率論及其在工程技術(shù)中的應(yīng)用 學(xué) 院 專 業(yè) 學(xué)生姓名 導(dǎo)師姓名 畢業(yè)設(shè)計（論文）誠信聲明書本人聲明：本人所提交的畢業(yè)論文概率論及其在工程技術(shù)中的應(yīng)用是本人在指導(dǎo)教師指導(dǎo)下獨立研究、寫作的成果，論文中所引用他人的無論以何種方式發(fā)布的文字、研究成果，均在論文中加以說明；有關(guān)教師、同學(xué)和其他人員對本文的寫作、修訂提出過并為我在論文中加以采納的意見、建議，均已在我的致謝辭中加以說明并深致謝意。本論文和資料若有不實之處，本人承擔一切相關(guān)責任。論文作者： （簽字） 時間：2012年05月18日指導(dǎo)教師已閱： （簽字） 時間：2012年05月18日畢業(yè)設(shè)計（論文）任務(wù)書學(xué)生姓名 學(xué)

2、號 指導(dǎo)教師 職稱 學(xué)院 專業(yè) 題目名稱 概率論及其在工程技術(shù)中的應(yīng)用 任務(wù)與要求本課題主要現(xiàn)場總線適配器的設(shè)計，完成RS232到RS485、RS232到CAN、RS485到CAN等之間的通信適配。要求：1、 了解各種通信協(xié)議，設(shè)計現(xiàn)場總線適配器方案；2、 根據(jù)系統(tǒng)方案，設(shè)計電路原理圖和pcb；3、 調(diào)試電路，確定電路參數(shù)；4、 設(shè)計相應(yīng)軟件，并進行調(diào)試。開始日期 2012年1月15日 完成日期 2012年5月20日 院長（簽字） 2012年 月 日注：本任務(wù)書一式兩份，一份交學(xué)院，一份學(xué)生自己保存。畢業(yè)設(shè)計（論文）工作計劃學(xué)生姓名 學(xué) 號 指導(dǎo)教師 職 稱 學(xué) 院 專 業(yè) 題目名稱 概率論及

3、其在工程技術(shù)中的應(yīng)用 一、畢業(yè)設(shè)計（論文）進度起 止 時 間 工 作 內(nèi) 容1.15 3.5 確定指導(dǎo)教師，選定畢業(yè)論文題目3.5 3.18 檢索、閱讀相關(guān)技術(shù)資料，方案研究3.18 4.1 提交開題報告和寫作提綱4.1 4.15 收集資料，數(shù)據(jù)分析4.15 4.25 撰寫畢業(yè)論文，提交初稿、修改稿、定稿4.25 5.20 畢業(yè)論文答辯二、主要參考書目（資料）1魏宗舒等. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程M. 高等教育出版社，1983(10):1501512薛留根. 概率論解題方法與技巧M. 北京：國防工業(yè)出版社，1996: 5153龍永紅. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計M.高等教育出版社，2003: 1304Gua

4、ngming Pan, Baiqi Miao, Baisuo Jinb.Central limit theorem of random quadratics forms involving random matrices J. Statistics & Probability Letters, 2008, (78):8048095 Rafa Kapica, Janusz Morawiec. Probability distribution functions of the Grincevicjus series J. J. Math. Anal. Appl, 2008( 3421):38013

5、876陳雪松. 構(gòu)造概率模型,巧解數(shù)學(xué)問題J.中學(xué)數(shù)學(xué)，2007，9：20447王志林，田麗娜. 概率思想在某些數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用J. 高等數(shù)學(xué)研究，2007，10(16)：24278馮克永. 用“概率眼光”看問題J.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2006，(249)：53549喬希民. 幾個代數(shù)問題的概率模型J.數(shù)學(xué)通訊，2005，(1)：171810余宏旺. 概率論思想方法在代數(shù)中的應(yīng)用J. 安徽農(nóng)業(yè)技術(shù)師范學(xué)院學(xué)報，2001 ，15(1)：545611荀玉德 尚桂安. 巧構(gòu)概率統(tǒng)計模型解題J. 高中數(shù)理化，2007，(5)：111212徐傳勝. 概率模型的構(gòu)造及應(yīng)用探微J. 數(shù)學(xué)通訊，2003，(5)：1

6、516三、教師的指導(dǎo)安排情況（場地安排、指導(dǎo)方式等）檢索、閱讀資料期間，可以在圖書館、自習(xí)教室進行；設(shè)計、實驗階段場地在實驗室每周老師和每個畢業(yè)設(shè)計同學(xué)至少討論一次四、對計劃的說明注：本計劃一式兩份，一份交學(xué)院，一份學(xué)生自己保存（計劃書雙面打?。┊厴I(yè)設(shè)計（論文）中期檢查表學(xué) 院專 業(yè)學(xué)生姓名學(xué) 號班 級導(dǎo)師姓名職 稱單 位題目名稱概率論及其在工程技術(shù)中的應(yīng)用檢 查 內(nèi) 容檢 查 結(jié) 果題目是否更換及更換原因否學(xué)生出勤情況出勤正常進 度 評 價（完成總工作量的百分比）60%質(zhì)量評價、進度描述初步完成硬件及軟件調(diào)試總 體 評 價（按優(yōu)、良、中、及格、不及格五擋評價）良存在的問題與建議抓緊時間完成后

7、續(xù)問題，寫好畢業(yè)論文學(xué) 院 審 核（蓋章）注：此表由指導(dǎo)教師填寫，中期檢查成績將作為畢業(yè)設(shè)計總成績的一部分；此表裝訂入畢業(yè)設(shè)計（論文）中。畢業(yè)設(shè)計（論文）成績登記表學(xué) 院專 業(yè)姓 名學(xué) 號成 績題目名稱概率論及其在工程技術(shù)中的應(yīng)用指導(dǎo)教師職 稱指導(dǎo)教師評語及對成績的評定意見簽名 年 月 日評閱人評語及成績評定意見簽名 年 月 日答辯小組意見簽名 年 月 日學(xué)院答辯委員會意見答辯委員會主任簽名 （學(xué)院蓋章） 年 月 日注：學(xué)院、專業(yè)名均寫全稱；成績登記表雙面打印摘 要概率論是大學(xué)數(shù)學(xué)的重要必修基礎(chǔ)課程，蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，同時給我們提供了應(yīng)用廣泛而又有效的數(shù)學(xué)軟件?；诂F(xiàn)代教育體系注重對學(xué)

8、生應(yīng)用能力和動手能力的培養(yǎng)，概率方法在眾多學(xué)科的應(yīng)用已越來越受到重視。本文主要探究巧構(gòu)概率模型的一些應(yīng)用，并綜合考慮這類方法，發(fā)現(xiàn)和總結(jié)概率方法在應(yīng)用上的一些規(guī)律。學(xué)好概率論，并應(yīng)用概率知識解決現(xiàn)實工程技術(shù)問題已是我們必要的一種生活素養(yǎng)。關(guān)鍵詞：概率論；概率模型；工程技術(shù)；現(xiàn)實問題ABSTRACTProbability Statistics is an important fundamental knowledge of significant basic compulsory subject in college mathematics.The abundant mathematical t

9、hinking it contained providing us a broad and effective application of mathematical software. Base on the importance of cultivating students ability and the practical capacity in contemporary educational system, probability methods applied in many disciplines are concerned greatly. Some applications

10、 of probability model and the probability distribution in the elementary mathematics are investigated in this article. Moreover, comprehensive consideration and summary are given for the common law of application of this method. Learn probability, and applied probability knowledge solving realistic

11、problem is already a life we necessary accomplishment.Keywords: Probability theory probabilistic model Engineering question of reality目 錄第一章 緒論11.1 概率論的發(fā)展簡史1 1.1.1 概率論的起源1 1.1.2 概率論在實踐中曲折發(fā)展1 1.1.3 概率論理論基礎(chǔ)的建立1.2 概率論公理化體系的建立1.3 現(xiàn)代概率論 1.3.1 現(xiàn)代概率論內(nèi)容 1.3.2 現(xiàn)代概率論的應(yīng)用第二章 概率模型12.1 概率模型的定義12.2 概率模型的應(yīng)用1 2.2.1

12、巧構(gòu)概率模型，解方程組 2.2.2 巧構(gòu)概率模型，求最值 2.2.3 巧構(gòu)概率模型，求變量取值范圍 2.2.4 巧構(gòu)概率模型，求和 2.2.5 巧構(gòu)概率模型，分析現(xiàn)實問題第三章 概率模型在工程技術(shù)中的應(yīng)用113.1 傳送系統(tǒng)的效率113.2 軋鋼中的浪費第四章 結(jié)論14.1 本文的總結(jié)14.2 進一步的工作致謝參考文獻第一章 緒 論1.1 概率論的發(fā)展簡史17、18世紀，數(shù)學(xué)獲得了巨大的進步。 數(shù)學(xué)家們沖破了古希臘的演繹框架，向自然界和社會生活的多方面汲取靈感，數(shù)學(xué)領(lǐng)域出現(xiàn)了眾多嶄新的生長點，而后都發(fā)展成完整的數(shù)學(xué)分支。除了分析學(xué)這一大系統(tǒng)之外，概率論就是這一時期使歐幾里得幾何相形見絀的若干重

13、大成就之一。1.1.1 概率論的起源 概率論是一門研究隨機現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律學(xué)科。它起源于對賭博問題的研究。早在16世紀，意大利學(xué)者卡丹與塔塔里亞等人就已從數(shù)學(xué)角度研究過賭博問題。他們的研究除了賭博外還與當時的人口、保險業(yè)等有關(guān)，但由于卡丹等人的思想未引起重視，概率概念的要旨也不明確，于是很快被人淡忘了。 概率概念的要旨只是在17世紀中葉法國數(shù)學(xué)家帕斯卡與費馬的討論中才比較明確。他們在往來的信函中討論合理分配賭注問題。該問題可以簡化為：甲、乙兩人同擲一枚硬幣。規(guī)定：正面朝上，甲得一點；若反面朝上，乙得一點，先積滿3點者贏取全部賭注。假定在甲得2點、乙得1點時，賭局由于某種原因中止了，問應(yīng)該怎樣分配

14、賭注才算公平合理。帕斯卡：若在擲一次，甲勝，甲獲全部賭注， 兩種情況可能性相同，所以這兩種情況平均一下，乙勝，甲、乙平分賭注甲應(yīng)得賭金的3/4，乙得賭金的1/4。費馬：結(jié)束賭局至多還要2局，結(jié)果為四種等可能情況： 情況 勝者 甲甲 甲乙 乙甲 乙乙 前3種情況，甲獲全部賭金，僅第四種情況，乙獲全部賭注。所以甲分得賭金的3/4，乙得賭金的1/4。帕斯卡與費馬用各自不同的方法解決了這個問題。雖然他們在解答中沒有明確定義概念，但是，他們定義了使某賭徒取勝的機遇，也就是贏得情況數(shù)與所有可能情況數(shù)的比，這實際上就是概率，所以概率的發(fā)展被認為是從帕斯卡與費馬開始的。1.1.2 概率論在實踐中曲折發(fā)展 在概

15、率問題早期的研究中，逐步建立了事件、概率和隨機變量等重要概念以及它們的基本性質(zhì)。后來由于許多社會問題和工程技術(shù)問題，如：人口統(tǒng)計、保險理論、天文觀測、誤差理論、產(chǎn)品檢驗和質(zhì)量控制等。這些問題的提法，均促進了概率論的發(fā)展，從17世紀到19世紀，貝努利、隸莫弗、拉普拉斯、高斯、普阿松、切貝謝夫、馬爾可夫等著名數(shù)學(xué)家都對概率論的發(fā)展做出了杰出的貢獻。在這段時間里，概率論的發(fā)展簡直到了使人著迷的程度。但是，隨著概率論中各個領(lǐng)域獲得大量成果，以及概率論在其他基礎(chǔ)學(xué)科和工程技術(shù)上的應(yīng)用，由拉普拉斯給出的概率定義的局限性很快便暴露了出來，甚至無法適用于一般的隨機現(xiàn)象。因此可以說，到20世紀初，概率論的一些基

16、本概念，諸如概率等尚沒有確切的定義，概率論作為一個數(shù)學(xué)分支，缺乏嚴格的理論基礎(chǔ)。 1.1.3 概率論理論基礎(chǔ)的建立 概率論的第一本專著是1713年問世的雅各貝努利的推測術(shù)。經(jīng)過二十多年的艱難研究，貝努利在該樹種，表述并證明了著名的大數(shù)定律。所謂大數(shù)定律，簡單地說就是，當實驗次數(shù)很大時，事件出現(xiàn)的頻率與概率有較大偏差的可能性很小。這一定理第一次在單一的概率值與眾多現(xiàn)象的統(tǒng)計度量之間建立了演繹關(guān)系，構(gòu)成了從概率論通向更廣泛應(yīng)用領(lǐng)域的橋梁。因此，貝努利被稱為概率論的奠基人。 為概率論確定嚴密的理論基礎(chǔ)的是數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫。1933年，他發(fā)表了著名的概率論的基本概念，用公理化結(jié)構(gòu)，這個結(jié)構(gòu)明確定義了

17、概率論發(fā)展史上的一個里程碑，為以后的概率論的迅速發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。1.2概率論公理化體系的建立早在拉普拉斯給出概率的古典定義之前，人們就提出了幾何概率的概念，這是研究有無窮多個可能結(jié)果的隨機現(xiàn)象問題的，著名的布豐（曾譯蒲豐）投針問題 （1777）就是幾何概率的一個早期例子。19世紀，幾何概率逐步發(fā)展起來。但到19世紀末，出現(xiàn)了一些自相矛盾的結(jié)果。以著名的貝特朗悖論為例：在圓內(nèi)任作一弦，求其長超過圓內(nèi)接正三角形邊長的概率。此問題可以有三種不同的解答：由于對稱性，可預(yù)先指定弦的方向。作垂直于此方向的直徑，只有交直徑于 1/4點與3/4點間的弦，其長才大于內(nèi)接正三角形邊長。設(shè)所有交點是等可能的，則所求

18、概率為 1/2。 由于對稱性，可預(yù)先固定弦的一端。僅當弦與過此端點的切線的交角在60120之間，其長才合乎要求。設(shè)所有方向是等可能的，則所求概率為1/3。弦被其中點位置惟一確定。只有當弦的中點落在半徑縮小了一半的同心圓內(nèi)，其長才合乎要求。設(shè)中點位置都是等可能的，則所求概率為1/4。這個問題之所以有不同解答，是因為當一隨機試驗有無窮多個可能結(jié)果時，有時很難客觀地規(guī)定“等可能”這一概念。這反映了幾何概率的邏輯基礎(chǔ)是不夠嚴密的。幾何概率這類問題說明了拉普拉斯關(guān)于概率的古典定義帶有很大的局限性。當嚴密的概率公理化系統(tǒng)建立后，幾何概率才能健康地發(fā)展且有廣泛的應(yīng)用。雖然到了19世紀下半葉，概率論在統(tǒng)計物理

19、學(xué)中的應(yīng)用及概率論的自身發(fā)展已突破了概率的古典定義，但關(guān)于概率的一般定義則始終未能明確化和嚴格化。這種情況既嚴重阻礙了概率論的進一步發(fā)展和應(yīng)用，又落后于當時數(shù)學(xué)的其他分支的公理化潮流。1900年，D。希爾伯特在世界數(shù)學(xué)家大會上公開提出了建立概率論公理化體系的問題，最先從事這方面研究的是（J。-）H。龐加萊、（F。-。-J。-） 。波萊爾及。伯恩斯坦。關(guān)于概率論與測度論有聯(lián)系這一重要思想就出自波萊爾。伯恩斯坦于1917年構(gòu)造了概率論的第一個公理化體系。20年代以后，相繼出現(xiàn)了 J。M。凱恩斯及R。von米澤斯等人的工作。凱恩斯主張把任何命題都看作是事件。例如，“明天將下雨”，“土星上有生命”，“

20、某出土文物是某年代的產(chǎn)品”，等等。他把一事件的概率看作是人們根據(jù)經(jīng)驗對該事件的可信程度，而與隨機試驗沒有直接聯(lián)系，因此，通常稱為主觀概率。從凱恩斯起，對主觀概率提出了幾種公理體系，但沒有一種堪稱權(quán)威。也許，主觀概率的最大影響不在概率論領(lǐng)域自身，而在數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中近年來出現(xiàn)的貝葉斯統(tǒng)計學(xué)派。和主觀概率學(xué)派相對立的是以米澤斯為代表的概率的頻率理論學(xué)派。米澤斯把一事件的概率定義為該事件在獨立重復(fù)隨機試驗中出現(xiàn)的頻率的極限，并把此極限的存在性作為他的第一條公理。他的第二條公理是，對隨機選取的子試驗序列，事件出現(xiàn)的頻率的極限也存在并且極限值相等。嚴格說來，這第二條公理沒有確切的數(shù)學(xué)含義。因此，這種所謂公理

21、化在數(shù)學(xué)上是不可取的。此外，象某個事件在一獨立重復(fù)試驗序列中出現(xiàn)無窮多次這一事件的概率，在米澤斯理論中是無法定義的。這種頻率法的理論依據(jù)是強大數(shù)律，它具有較強的直觀性，易為實際工作者和物理學(xué)家所接受。但隨著科學(xué)的進步，它又已逐漸被絕大多數(shù)物理學(xué)家所拋棄。20世紀初完成的勒貝格測度（見測度論）和勒貝格積分理論以及隨后發(fā)展起來的抽象測度和積分理論，為概率論公理體系的確立奠定了理論基礎(chǔ)。人們通過對概率論的兩個最基本的概念即事件與概率的長期研究，發(fā)現(xiàn)事件的運算與集合的運算完全類似，概率與測度有相同的性質(zhì)。到了30年代，隨著大數(shù)律研究的深入，概率論與測度論的聯(lián)系愈來愈明顯。例如強、弱大數(shù)律中的收斂性（見

22、概率論中的收斂） 與測度論中的幾乎處處收斂及依測度收斂完全類似。在這種背景下，柯爾莫哥洛夫于1933年在他的概率論基礎(chǔ)一書中第一次給出了概率的測度論式的定義和一套嚴密的公理體系。這一公理體系著眼于規(guī)定事件及事件概率的最基本的性質(zhì)和關(guān)系，并用這些規(guī)定來表明概率的運算法則。它們是從客觀實際中抽象出來的，既概括了概率的古典定義、幾何定義及頻率定義的基本特性，又避免了各自的局限性和含混之處。這一公理體系一經(jīng)提出，便迅速獲得舉世的公認。它的出現(xiàn)，是概率論發(fā)展史上的一個里程碑，為現(xiàn)代概率論的蓬勃發(fā)展打下了堅實的基礎(chǔ)。1.3現(xiàn)代概率論由于科學(xué)技術(shù)中許多實際問題的推動以及概率論邏輯基礎(chǔ)的建立，概率論從20世紀

23、30年代以來得到了迅速的發(fā)展。1.3.1 現(xiàn)代概率論內(nèi)容 目前其主要研究內(nèi)容大致可分為極限理論，獨立增量過程，馬爾可夫過程，平穩(wěn)過程和時間序列，鞅和隨機微分方程，點過程等。此外，包括組合概率（用組合數(shù)學(xué)方法解決只涉及有限個基本事件的概率問題）、幾何概率等在內(nèi)的一些屬于古典范疇的問題，至今仍有人在繼續(xù)研究，并有新的發(fā)展。 極限理論是研究與隨機變量序列或隨機過程序列的收斂性有關(guān)的問題的理論。20世紀30年代以后，有關(guān)隨機變量序列的極限理論（主要是中心極限定理）的研究，是將獨立序列情形的結(jié)果推廣到鞅差序列和更一般的弱相依序列等情形，以及研究收斂速度問題。近年來，由于統(tǒng)計力學(xué)的需要，人們開始研究強相依

24、隨機變量序列的非中心極限定理。自1951年M。唐斯克提出不變原理（見隨機過程的極限定理）后，有關(guān)隨機過程序列的弱收斂的研究成了極限理論的一個中心課題。普羅霍洛夫及A。B。斯科羅霍德在這方面作出了最主要的貢獻。1964年V。斯特拉森的工作出現(xiàn)后，引起了有關(guān)隨機過程序列的強收斂的研究，這就是強不變原理。近年來，鞅論方法已滲透到這一領(lǐng)域，使許多經(jīng)典結(jié)果的證明得到簡化和統(tǒng)一處理，并且還導(dǎo)致一些新的結(jié)果。人們最早知道的獨立增量過程是在物理現(xiàn)象中觀察到的布朗運動和泊松過程，一般的獨立增量過程的研究，歸功于萊維，它在20世紀40年代已臻成熟。在這些研究中，包含了許多重要的方法和概念，概率論的許多近代研究課題

25、都直接或間接地受其啟發(fā)與影響。在實際中遇到的很多隨機現(xiàn)象有如下的共同特性：它的未來的演變，在已知它目前狀態(tài)的條件下與以往的狀況無關(guān)。描述這種隨時間推進的隨機現(xiàn)象的演變模型就是馬爾可夫過程。20世紀50年代以前，研究馬爾可夫過程的主要工具是微分方程和半群理論（即分析方法）；1936年前后就開始探討馬爾可夫過程的軌道性質(zhì)，直到把微分方程和半群理論的分析方法同研究軌道性質(zhì)的概率方法結(jié)合運用，才使這方面的研究工作進一步深化，并形成了對軌道分析必不可少的強馬爾可夫性概念。1942 年，伊藤清用他創(chuàng)立的隨機積分和隨機微分方程理論來研究一類特殊而重要的馬爾可夫過程擴散過程，開辟了研究馬爾可夫過程的又一重要途

26、徑。近年來，鞅論方法也已滲透到馬爾可夫過程的研究中，它與隨機微分方程結(jié)合在一起，已成為目前處理多維擴散過程的工具。此外，馬爾可夫過程與分析學(xué)中的位勢論有密切的聯(lián)系。對馬爾可夫過程的研究，推動了位勢理論的發(fā)展，并為研究偏微分方程提供了概率論的方法。最近十多年發(fā)展起來的吉布斯隨機場和無窮粒子隨機系統(tǒng)，是由于統(tǒng)計物理的需要而提出的。許多自然的和生產(chǎn)過程中的隨機現(xiàn)象表現(xiàn)出某種平穩(wěn)性。一種平穩(wěn)性是過程在任意一些時刻上的聯(lián)合概率分布隨時間推移不變，這種平穩(wěn)性稱為嚴平穩(wěn)性。嚴平穩(wěn)過程的研究與遍歷理論有密切的聯(lián)系。如果上述對概率分布的要求放寬為僅對二階相關(guān)矩的要求，即過程在任意兩時刻上的協(xié)方差隨時間推移不變，

27、則稱這種平穩(wěn)性為寬平穩(wěn)性。關(guān)于寬平穩(wěn)過程的研究，辛欽、柯爾莫哥洛夫和維納等人運用傅里葉分析和泛函分析的工具，在40年代已經(jīng)找出了過程的相關(guān)函數(shù)及過程本身的譜分解式，并且較完滿地解決了有應(yīng)用意義的預(yù)測問題。許多應(yīng)用問題還要求根據(jù)觀測數(shù)據(jù)去建立這些數(shù)據(jù)所來自的隨機過程的模型。為此產(chǎn)生了時間序列分析這一課題，提出了寬平穩(wěn)序列的自回歸滑動平均（ARMA）模型以及一些非線性模型。鞅是另一類重要的隨機過程。從20世紀30年代起，萊維等人就開始研究鞅序列，把它作為獨立隨機變量序列的部分和的推廣。40年代到50年代初，杜布對鞅進行了系統(tǒng)的研究，得到有名的鞅不等式、停止定理和收斂定理等重要結(jié)果。1962年，P。

28、A。邁耶解決了杜布提出的連續(xù)時間的上鞅分解為鞅及增過程之差的問題。在解決這個問題的過程中，出現(xiàn)了很多新鮮而深刻的概念，使鞅和隨機過程一般理論的內(nèi)容大大豐富起來。鞅的研究豐富了概率論的內(nèi)容，并引起人們用它所提供的新方法新概念對概率論中許多經(jīng)典的內(nèi)容重新審議，把以往認為是復(fù)雜的東西納入鞅論的框架而加以簡化。此外，利用上鞅的分解定理，可以把伊藤清的對布朗運動的隨機積分推廣到對一般鞅乃至半鞅的隨機積分；因而，更一般的隨機微分方程的研究也隨之發(fā)展。隨機微分方程理論不僅可以用來研究馬爾可夫過程，它還是解決濾波問題的必要工具。最近出現(xiàn)的流形上的隨機微分方程又和微分幾何及分析力學(xué)的研究發(fā)生了密切的聯(lián)系。鞅論還

29、對本學(xué)科以外的位勢理論、調(diào)和分析及復(fù)變函數(shù)論等提供了有用的工具。點過程是從所謂計數(shù)過程發(fā)展出來的，它們的特點是，可用落在不相重疊的集合上的隨機點數(shù)目的聯(lián)合概率分布來刻畫整個過程的概率規(guī)律。最基本的計數(shù)過程是泊松過程，1943年，C。帕爾姆將它作為最簡單的輸入流應(yīng)用于研究電話業(yè)務(wù)問題；1955年，辛欽又以嚴密的數(shù)學(xué)觀點作了整理和發(fā)展。在60年代以前，點過程的研究主要限于泊松過程及其推廣的過程。以后，由于大量實際問題的需要以及隨機測度論和現(xiàn)代鞅論的推動，進一步把實軸上的點過程（即計數(shù)過程）推廣到一般的可分完備度量空間上，在內(nèi)容和方法上都有根本性的進展。1.3.2 現(xiàn)代概率論的應(yīng)用 概率論的發(fā)展史說

30、明了理論與實際之間的密切關(guān)系。許多研究方向的提出，歸根到底是有其實際背景的。反過來，當這些方向被深入研究后，又可指導(dǎo)實踐，進一步擴大和深化應(yīng)用范圍。概率論作為數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的理論基礎(chǔ)是盡人皆知的。下面簡略介紹一下概率論本身在各方面的應(yīng)用情況。在物理學(xué)方面，高能電子或核子穿過吸收體時，產(chǎn)生級聯(lián)（或倍增）現(xiàn)象，在研究電了-光子級聯(lián)過程的起伏問題時，要用到隨機過程，常以泊松過程、弗瑞過程或波伊亞過程作為實際級聯(lián)的近似，有時還要用到更新過程（見點過程）的概念。當核子穿到吸收體的某一深度時，則可用擴散方程來計算核子的概率分布。物理學(xué)中的放射性衰變，粒子計數(shù)器，原子核照相乳膠中的徑跡理論和原子核反應(yīng)堆中的問題

31、等的研究，都要用到泊松過程和更新理論。湍流理論以及天文學(xué)中的星云密度起伏、輻射傳遞等研究要用到隨機場的理論。探討太陽黑子的規(guī)律及其預(yù)測時，時間序列方法非常有用。化學(xué)反應(yīng)動力學(xué)中，研究化學(xué)反應(yīng)的時變率及影響這些時變率的因素問題，自動催化反應(yīng)，單分子反應(yīng)，雙分子反應(yīng)及一些連鎖反應(yīng)的動力學(xué)模型等，都要以生滅過程（見馬爾可夫過程）來描述。隨機過程理論所提供的方法對于生物數(shù)學(xué)具有很大的重要性，許多研究工作者以此來構(gòu)造生物現(xiàn)象的模型。研究群體的增長問題時，提出了生滅型隨機模型，兩性增長模型，群體間競爭與生克模型，群體遷移模型，增長過程的擴散模型等等。有些生物現(xiàn)象還可以利用時間序列模型來進行預(yù)報。傳染病流行

32、問題要用到具有有限個狀態(tài)的多變量非線性生滅過程。在遺傳問題中，著重研究群體經(jīng)過多少代遺傳后，進入某一固定類和首次進入此固定類的時間，以及最大基因頻率的分布等。許多服務(wù)系統(tǒng)，如電話通信，船舶裝卸，機器損修，病人候診，紅綠燈交換，存貨控制，水庫調(diào)度，購貨排隊，等等，都可用一類概率模型來描述。這類概率模型涉及的過程叫排隊過程，它是點過程的特例。排隊過程一般不是馬爾可夫型的。當把顧客到達和服務(wù)所需時間的統(tǒng)計規(guī)律研究清楚后，就可以合理安排服務(wù)點。在通信、雷達探測、地震探測等領(lǐng)域中，都有傳遞信號與接收信號的問題。傳遞信號時會受到噪聲的干擾，為了準確地傳遞和接收信號，就要把干擾的性質(zhì)分析清楚，然后采取辦法消

33、除干擾。這是信息論的主要目的。噪聲本身是隨機的，所以概率論是信息論研究中必不可少的工具。信息論中的濾波問題就是研究在接收信號時如何最大限度地消除噪聲的干擾，而編碼問題則是研究采取什么樣的手段發(fā)射信號，能最大限度地抵抗干擾。在空間科學(xué)和工業(yè)生產(chǎn)的自動化技術(shù)中需要用到信息論和控制理論，而研究帶隨機干擾的控制問題，也要用到概率論方法。概率論進入其他科學(xué)領(lǐng)域的趨勢還在不斷發(fā)展。值得指出的是，在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)用概率論方法研究數(shù)論問題已經(jīng)有很好的結(jié)果。在社會科學(xué)領(lǐng)域，特別是經(jīng)濟學(xué)中研究最優(yōu)決策和經(jīng)濟的穩(wěn)定增長等問題，也大量采用概率論方法。正如拉普拉斯所說：“生活中最重要的問題，其中絕大多數(shù)在實質(zhì)上只是概率的

34、問題?！钡诙?概率模型2.1 概率模型的定義現(xiàn)實世界的變化受著眾多因素的影響，包括確定的和隨機的。如果從建模的背景、目的和手段看，主要因素是確定的，隨機因素可以忽略，或者隨機因素的影響可以簡單地以平均值的作用出現(xiàn)，那么就能夠建立確定性模型。如果隨機因素對研究對象的影響必須考慮，就應(yīng)建立隨機模型。用隨即變量和概率分布描述隨機因素的影響，建立的隨機模型-即概率模型。2.2 概率模型的應(yīng)用2.2.1 巧構(gòu)概率模型，解方程組解方程組、求和的問題是高中知識的重點，其應(yīng)用非常廣泛。高考試題中對于解方程組、求和的問題要求較高，往往與函數(shù)概念相聯(lián)系，下面我們通過幾個具體例子來挖掘此類問題中巧構(gòu)概率模型的一般

35、規(guī)律。例1 解方程組.分析：通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，兩個等式三個未知數(shù)，如果是一般方程所求的解其解是不定的。一般方法是先考慮定義域，再通過不斷的將符合的數(shù)據(jù)代入，最終得到滿足該方程組的某一解。本文將介紹一種新方法解此方程組。解: 視為一組數(shù)據(jù)，則其均值為，其方差為 故,有解得經(jīng)檢驗知所得結(jié)果為原方程組的解。總結(jié)公式：解方程組，其中.視為一組數(shù)據(jù)，則其均值為,其方差為.故,有,解得.例2 設(shè),解方程組.解: 兩式相加并配方得，三個數(shù)據(jù)的方差所以這三個數(shù)相等，即,解得. 2.2.2 巧構(gòu)概率模型，求最值 例3 已知，且，求的最大值？解：構(gòu)造離散型隨機變量，設(shè)其分布列為則有由知，即，當且僅當時取等號。例4

36、 當和取遍所有實數(shù)時，求所能達到的最小值。解： 設(shè)為一組樣本數(shù)據(jù)，考慮其方差，有 即 .（其中），顯然當（此時可取任意實數(shù)）時，原式可取到最小值2. 2.2.3 巧構(gòu)概率模型，求變量取值范圍例5 求變量取值范圍為實數(shù)，且，試確定的取值范圍。解： ，由這個數(shù)據(jù)的方差非負知解不等式得.即為的取值范圍。2.2.4 巧構(gòu)概率模型，求和例6 求和 .用去乘和式，并將結(jié)果寫成.構(gòu)造模型：考慮由兩個人參加的競賽。要求拋擲枚硬幣，并且最多只算他拋了個正面，要求拋擲個硬幣，以正面多者取勝。但若二人正面數(shù)目相同，則判勝。通過研究上述模型知：.另外，上面的競賽方式等價于下面的方式：先命和各拋擲枚硬幣，以正面多者為勝

37、。如果兩人的正面數(shù)目相等，但不全是正面，則令拋擲第個硬幣，如果為正面，則獲勝。如果為背面，則敗北，至此和擁有同樣的獲勝機會?，F(xiàn)在還剩有一種可能，就是一開始和拋出的全面都是正面。在這種情況下，無論最后一枚拋出什么結(jié)果，都是勝，所以恰好比多2次獲勝的機會。這說明在總共種拋擲場合中，除可以贏得這兩種場合外，還可以贏得其余場合的半數(shù)（即）。即,由此可得.例7 求和：.解：構(gòu)造隨機試驗：有兩個口袋，其中一個口袋中裝有兩個紅球，另一個口袋中裝有一個紅球和兩個白球。又放回地從兩個口袋中各取一球，若取到的兩個球均為紅球，則停止取球，否則在兩個口袋中各加進一個白球，然后按以上規(guī)則取球，直到取到的兩個球均為紅球為

38、止。令 停止取球， 取了次球后停止取球，則 一般地，,由于每個兩兩互不相容，且，所以.另一方面，A的對立事件=取球不止，易見所以，.2.2.5 巧構(gòu)概率模型，分析現(xiàn)實問題概率既是高中數(shù)學(xué)新課程的一大亮點、熱點，同時也為我們解決其他問題提供了有力的武器。養(yǎng)成用“概率眼光”看問題，體會概率模型的作用及運用概率思考問題的特點，形成用隨機觀念觀察，分析問題的意識。例8 “人挪活，樹挪死”嗎?進入21世紀，人們對選擇職業(yè)的自由度大多了。為了求得較好的待遇，或者為了更多地發(fā)揮自己的才能，人們(特別是年輕人) 往往改變自己的工作單位，即“跳槽”。俗話也說：“人挪活，樹挪死?！钡?，直覺經(jīng)驗告訴我們，這種做法

39、未必有利。因為對于要進入的工作單位的情況，你不可能了解得非常清楚，也就是說，調(diào)動單位是有一定風(fēng)險的。假定你目前所在單位對你的綜合有利程度(包括待遇、工作環(huán)境、對工作的適合程度、自我價值的實現(xiàn)程度等)是, 如果換一個單位，綜合有利程度可能上升為，發(fā)生的概率是，也可能下降為，發(fā)生的概率為，要保證“跳槽”對你有利，必須有 .如果我們假定“跳槽”總是對你有利，一旦你換了一個單位，綜合有利程度上升為，如果再要“跳槽”，就還要有.依此類推，當有.這樣，所有可能接收你的單位對你的平均綜合有利程度就是 .這顯然是不可能的，否則你真是“天之驕子”了。合理的總結(jié)的是，在上述模型中，老是“跳槽”不會讓你總“得益”，

40、但是在一個單位呆上一輩子不動，在一棵樹上吊死，也不會有多大發(fā)展， 除非你是“天之驕子”，即所有可能接受你的單位對你的平均綜合有利程度也是無窮大。這同我們的直覺經(jīng)驗相當吻合。我們只有樹立終身學(xué)習(xí)的理念，不斷充電，適時抓住機遇，才能使自我的社會價值達到遞增的效果。例9 “三個臭皮匠能頂一個諸葛亮”嗎？劉備帳下以諸葛亮為首的智囊團共有9名謀士(不包括諸葛亮)，假定對某事進行決策時，每名謀士貢獻正確意見的概率為0.7，諸葛亮貢獻正確意見的概率為0.85. 現(xiàn)為此事可行與否而征求每名謀士的意見，并按多數(shù)人的意見作出決策，求作出正確決策的概率。分析：已知諸葛亮貢獻正確意見的概率為0.85，九位謀士貢獻正確

41、意見的概率都為0.7， 每個人必須單獨征求意見，符合9重伯努利模型由二項分布可求出謀士團體多數(shù)貢獻正確意見的人數(shù)的概率之和。解： 由二項分布可知：，謀士團體只須5，6，7，8，9人貢獻正確意見即可所以，謀士團體力量把握就大過諸葛亮。問題延伸：謀士概率為0.3，諸葛亮概率為0.5，結(jié)論如何？同理可設(shè)劉備帳下以諸葛亮為首的智囊團共有9名謀士(不包括諸葛亮)，假定對某事進行決策時，每名謀士貢獻正確意見的概率為0.3，諸葛亮貢獻正確意見的概率為0.5. 現(xiàn)為此事可行與否而征求每名謀士的意見,并按多數(shù)人的意見作出決策，求作出正確決策的概率。分析：已知諸葛亮貢獻正確意見的概率為0.5，九位謀士貢獻正確意見

42、的概率都為0.3, 每個人必須單獨征求意見，符合9重伯努利模型。由二項分布可求出謀士團體多數(shù)貢獻正確意見的人數(shù)的概率之和。由二項分布可知：,謀士團體只須5，6，7，8，9人貢獻正確意見即可,真理不總是掌握在多數(shù)人手里?？偨Y(jié)以上兩種情況，可知判斷團體力量是否大于一個“諸葛亮”，這取決于團體成員以及這位“諸葛亮”的智力水平，所以“三個臭皮匠能頂一個諸葛亮”并不是絕對的。第三章 概率模型在工程技術(shù)中的應(yīng)用3.1 傳送系統(tǒng)的效率在機械化生產(chǎn)車間里，排列整齊的工作臺旁工人們緊張的生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，工作臺上放一條傳送帶在運轉(zhuǎn)，帶上設(shè)置若干鉤子，工人將產(chǎn)品掛在經(jīng)過他上方的鉤子上帶走，如圖。當生產(chǎn)進入穩(wěn)定狀態(tài)后

43、，每個工人生產(chǎn)一件產(chǎn)品所需時間是不變的，而他掛產(chǎn)品的時刻是隨機的。衡量這種傳送系統(tǒng)的效率可以看他能否及時把工人的產(chǎn)品帶走。在工人數(shù)目不變的情況下傳送帶速度越快，帶上鉤子越多，效率越高。要求構(gòu)造衡量傳送系統(tǒng)效率的指標，并在簡化假設(shè)下建立模型描述這個指標與工人數(shù)目、鉤子數(shù)量等參數(shù)的關(guān)系。如圖3.1圖3.11.模型分析為了用傳送帶及時帶走的產(chǎn)品數(shù)量來表示傳送系統(tǒng)的效率，在工人生產(chǎn)周（即生產(chǎn)一件產(chǎn)品的時間）相同的情況下，需要假設(shè)工人生產(chǎn)出一件產(chǎn)品后， 要 么恰好有空鉤子經(jīng)過工作臺，他可以將產(chǎn)品掛上帶走，要么沒有空鉤子經(jīng)過， 他將產(chǎn)品放下并立即投入下一件產(chǎn)品的生產(chǎn)，以保證整個系統(tǒng)周期性的運轉(zhuǎn)。 工人生產(chǎn)

44、周期相同，但由于各種因素的影響，經(jīng)過相當長的時間后，他們生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時刻會不一致，認為是隨機的，并在一個生產(chǎn)周期內(nèi)任一時刻的可能性一樣。 由上分析，傳送系統(tǒng)長期運轉(zhuǎn)的效率等價于一周期的效率，而一周期的效率可以用它在一周期內(nèi)能帶走的產(chǎn)品數(shù)與一周期內(nèi)生產(chǎn)的全部產(chǎn)品數(shù)之比來描述。2.模型假設(shè) （1）有n個工人，其生產(chǎn)是獨立的，生產(chǎn)周期是常數(shù)，n個工作臺均勻排列。 （2）生產(chǎn)已進入穩(wěn)態(tài)，即每個工人生產(chǎn)出一件產(chǎn)品的時刻在一個周期內(nèi)是等可能性的。 （3）在一周期內(nèi)有m個鉤子通過每一工作臺上方，鉤子均勻排列，到達第一個工作臺上方的鉤子都是空的。 （4）每個工人在任何時刻都能觸到一只鉤子，且之能觸到一只，

45、在他生產(chǎn)出一件產(chǎn)品的瞬間，如果他能觸到的鉤子是空的，則可將產(chǎn)品掛上帶走；如果非空，則他只能將產(chǎn)品放下。放下的產(chǎn)品就永遠退出這個傳送系統(tǒng)。3.模型建立將傳送系統(tǒng)效率定義為一周期內(nèi)帶走的產(chǎn)品數(shù)與生產(chǎn)的全部產(chǎn)品數(shù)之比，記作D，設(shè)帶走的產(chǎn)品數(shù)為s,生產(chǎn)的全部產(chǎn)品數(shù)為n，則D=s/n。需求出s。如果從工人的角度考慮，分析每個工人能將自己的產(chǎn)品掛上鉤子的概率，這與工人所在的位置有關(guān)（如第1個工人一定可掛上），這樣使問題復(fù)雜化。我們從鉤子角度考慮，在穩(wěn)定狀態(tài)下鉤子沒有次序，處于同等地位。若能對一周期內(nèi)的m只鉤子求出每只鉤子非空的概率p，則s=mp。得到p的步驟如下：（均對一周期而言）1)任一只鉤子被一名工人

46、觸到的概率是1/m；2)任一只鉤子不被一名工人觸到的概率是1-1/m；3)由工人生產(chǎn)的獨立性，任一只鉤子不被所有n個工人掛上產(chǎn)品的概率，即任一只鉤子為空鉤的概率是(1-1/m)n；4)任一只鉤子非空的概率是p=1-(1-1/m)n。傳送系統(tǒng)的效率指標為為了得到比較簡單的結(jié)果，在鉤子數(shù)m相對于工人數(shù)n較大，即n/m較小的情況下，將多項式(1-1/m)n展開后只取前3項，則有如果將一周期內(nèi)未帶走的產(chǎn)品數(shù)與全部產(chǎn)品數(shù)之比記作E, 再假定n1,則當n=10，m=40時，上式給出的結(jié)果為用D的精確表達式計算得4.模型評價這個模型是在理想情況下得到的，其中一些假設(shè)，如生產(chǎn)周期不變，掛不上鉤子的產(chǎn)品退出系統(tǒng)

47、等是不現(xiàn)實的，但模型的意義在于，一方面利用基本合理的假設(shè)將問題簡化到能夠建模的程度，并用簡單的方法得到結(jié)果；另一方面所得到的簡化結(jié)果具有非常簡單的意義：指標E=1-D與n成正比，與m成反比。通常工人數(shù)目n是固定的，一周期內(nèi)通過的鉤子數(shù)m增加一倍，可使“效率”E降低一倍?？紤]通過增加鉤子數(shù)來使效率降低的方法：在原來放置一只鉤子處放置的兩只鉤子成為一個鉤對。一周期內(nèi)通過m個鉤對，任一鉤對被任意工人觸到的概率p=1/m，不被觸到的概率q=1-p，于是任一鉤對為空的概率是qn，鉤對上只掛一件產(chǎn)品的概率是npqn-1，一周期內(nèi)通過的2m的鉤子中，空鉤的平均數(shù)是m（2qn+ npqn-1）,帶走產(chǎn)品的平均

48、數(shù)是2m- m（2qn+ npqn-1）,未帶走產(chǎn)品的平均數(shù)是n-2m- m（2qn+ npqn-1）, 按照上一模型的定義，有利用 和 的近似展開，可得注意： 展開取4項， 展開取3項。而上一模型中的方法有 ，有 ， ，當 時，所以該模型提供的方法比上一個模型好。3.2 軋鋼中的浪費鋼鐵產(chǎn)業(yè)在現(xiàn)代經(jīng)濟社會中起著尤其重要的作用，在我國尤其突出。我國粗鋼產(chǎn)量位居世界第一。國內(nèi)十大鋼鐵企業(yè)年產(chǎn)粗鋼均在1000萬噸以上。近年來，鋼鐵重組進入快車道，比如寶鋼控股的廣東鋼鐵集團，山東濟鋼、萊鋼為主組建的山東鋼鐵集團，還有河北鋼鐵集團等。但是，從我國實際情況出發(fā)，我國鋼鐵業(yè)要振興，必須走精細化道路，高端路

49、線。而要軋鋼行業(yè)真正做大做強，必須不斷對鋼坯質(zhì)量、加工工藝等環(huán)節(jié)進行加強。而建立一個一個合理的，節(jié)約的軋鋼工藝，不僅必要，而且具有很重要的實用價值。在這里，我們來簡單介紹一下軋鋼系統(tǒng)中的節(jié)約問題。1.軋鋼系統(tǒng)的分析，抽象 在軋鋼流程中，首先將鋼胚粗軋為鋼雛，粗軋是得到鋼材的雛形，且粗軋得到的鋼材的長度服從正態(tài)分布，均值可以調(diào)整，方差由設(shè)備精度控制，并且粗軋的長度要大于規(guī)定的長度。在這個過程中，鋼雛的長度未必合乎規(guī)定長度，一些鋼雛因長度不夠規(guī)定長度，而另一些則長出一些。精軋是得到規(guī)定長度的鋼材，所以在精軋中，對于長度大于規(guī)定的粗軋鋼材，要切掉多余的部分，對于長度小于規(guī)定的鋼材，則整根報廢。那么，

50、那么我們需要確定合理粗軋的均值，使精軋中的浪費最小。2.模型的假設(shè)，建立 軋鋼分粗軋精軋兩道工序：初軋形成鋼的雛，精軋得到鋼材規(guī)定的長度。 在這里，我們作出一些合理化假設(shè)：一：鋼雛的長度呈正態(tài)分布，二，鋼雛長度的均值可由軋鋼機來調(diào)整，三，鋼雛的均方差由軋鋼機的精度確定，不可隨意改動，在粗軋過程中，其他因素不影響粗軋鋼材的長度分布；其他因素不影響精軋過程中鋼材整根報廢的標準。目的：應(yīng)如何調(diào)整粗軋鋼機均值，才能使效益最大（浪費最?。?。粗軋鋼材長度大于規(guī)定（切掉多余部分），經(jīng)過精軋后，若粗軋鋼材長度小于規(guī)定，則整根報廢。設(shè)已知精軋后鋼材的規(guī)定長度為 l， 粗軋后鋼材長度的均方差為 s，記粗軋時可以調(diào)整的均值為 m，則粗軋得到的鋼材長度為正態(tài)隨機變量，記做xN(m, s 2)，則有-切掉多余部分的概率，-整根報廢的概率。分析： （如圖3.2），總存在最合適的m使得總浪費最小