復(fù)習(xí)方案北師大版2019中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)課件第39課時(shí)二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問(wèn)題共31張

1、第39課時(shí)二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問(wèn)題 第39課時(shí) 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問(wèn)題 二次函數(shù)與三角形、四邊形、圓和相似三角形常常綜合 在一起考查，解決這類問(wèn)題需要用到數(shù)形結(jié)合思想，把“數(shù)” 與“形”結(jié)合起來(lái)，互相滲透存在探索型問(wèn)題是指在給定 條件下，判斷某種數(shù)學(xué)現(xiàn)象是否存在、某個(gè)結(jié)論是否出現(xiàn)的 問(wèn)題，解決這類問(wèn)題的一般思路是先假設(shè)結(jié)論存在，然后在 這個(gè)假設(shè)下進(jìn)行演繹推理，若推出矛盾，即可否定假設(shè)；若 推出合理，則可肯定假設(shè) 考向互動(dòng)探究 探究一二次函數(shù)與三角形的結(jié)合 例 1 2014內(nèi)江 內(nèi)江 如圖391，拋物線 yax 2 bxc經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(3，0) ，C(0，4)，點(diǎn) B在拋物線上，

2、CBx 軸，且 AB平分 CAO . 圖 39 1 第39課時(shí) 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問(wèn)題 考向互動(dòng)探究 (1) 求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式 (2) 線段 AB上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，交拋物 線于點(diǎn) Q，求線段PQ的最大值 (3) 拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn) M，使ABM是以AB為 直角邊的直角三角形？如果存在， 求出點(diǎn) M的坐標(biāo)； 如果不存在， 說(shuō)明理由 第39課時(shí) 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問(wèn)題 考向互動(dòng)探究 (1)根據(jù)CBx軸，且AB平分CAO等幾何條件，能求出點(diǎn) B的坐標(biāo)嗎？ (2)為了求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式已具備了哪些條件？ (3)點(diǎn)P在哪兒，如何用x表示點(diǎn)P

3、的坐標(biāo)？事實(shí)上只要求出 AB 所在直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式就可以了 (4)線段PQ的兩個(gè)端點(diǎn)在哪兩個(gè)函數(shù)圖象上，怎樣表示它 們的坐標(biāo)，如何表示PQ的長(zhǎng)？ (5)ABM是以AB為直角邊的直角三角形存在以 MAB 為 直角和以MBA為直角兩種情況 【例題分層分析】 第39課時(shí) 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問(wèn)題 考向互動(dòng)探究 以二次函數(shù)、三角形為背景的有關(guān)點(diǎn)的存在性的問(wèn)題是 以二次函數(shù)的圖象和表達(dá)式為背景，判斷三角形滿足某些關(guān)于 點(diǎn)的條件時(shí)，是否存在的問(wèn)題，這類問(wèn)題有關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)、 線段、三角形等類型之分這類試題集代數(shù)、幾何知識(shí)于一體， 數(shù)形結(jié)合，靈活多變 【解題方法點(diǎn)析】 第39課時(shí) 二次函數(shù)與幾

4、何綜合類 存在性問(wèn)題 考向互動(dòng)探究 解：(1)點(diǎn) A的坐標(biāo)為(3，0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，4)，AC 5. AB平分CAO，CABBAO. CBx軸，CBABAO， CABCBA，ACBC5， 點(diǎn) B的坐標(biāo)為(5，4) 將 A(3，0)，C(0 ，4)，B(5，4)代入 yax 2 bxc，得 ? ? ? ? ?09a3bc， 4c， 425 a5bc， 解得 ? ? ? ? ? ? ?a 1 6 ， b 5 6 ， c4， 拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為 y 1 6 x2 5 6 x4. 第39課時(shí) 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問(wèn)題 考向互動(dòng)探究 (2) 設(shè)直線 AB所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為ykxn

5、，把A(3 ， 0) ，B(5，4)代入，得 ? ? ? ? ?0 3 kn， 45 kn， 解得 ? ? ? ? ?k 1 2 ， n3 2 ， 直線AB所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y1 2 x3 2 . 設(shè)點(diǎn) P的坐標(biāo)為(x，1 2 x3 2 )，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，1 6 x 2 5 6 x 4)，PQ1 6 x25 6 x4( 1 2 x3 2 )1 6 (x1) 2 8 3 ， 故當(dāng) x1時(shí)，線段PQ的值最大，最大值為 8 3 . 第39課時(shí) 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問(wèn)題 考向互動(dòng)探究 (3) 拋物線 y1 6 x25 6 x4的對(duì)稱軸是直線x5 2 . 要使ABM是以 AB為直角邊的直

6、角三角形， 有兩種情況： 當(dāng)點(diǎn) B為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖所示 設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與 BC交于點(diǎn)D，與AB交于點(diǎn)G，與x 軸交于點(diǎn) H.由點(diǎn)G在直線AB和拋物線的對(duì)稱軸上可知，點(diǎn)G 的坐標(biāo)為( 5 2 ，11 4) 第39課時(shí) 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問(wèn)題 考向互動(dòng)探究 BDG90，BD55 2 5 2 ，DG411 4 5 4 ， BG BD 2 DG 2 （5 2 ）2（ 5 4 ）25 5 4 . 同理 AG11 5 4 . AGHMGB，AHGMBG90， AGHMGB， AG MG GH GB，即 11 5 4 MG 11 4 5 5 4 ，解得 MG25 4， MHMGGH25 4 1

7、1 49 ， 故點(diǎn) M的坐標(biāo)為( 5 2 ，9) 第39課時(shí) 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問(wèn)題 考向互動(dòng)探究 當(dāng)點(diǎn) A為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖所示設(shè)拋物線的對(duì)稱軸 與 AB交于點(diǎn)G，與x軸交于點(diǎn)H. 由知 GH11 4.GHA BAM90，MAH 90 GAHAGM . AHG MHA，AGH MAH，AGHMAH，GH AH AH MH ，即 11 4 35 2 35 2 MH ， 解得 MH11 ，點(diǎn) M的坐標(biāo)為( 5 2 ，11) 綜上所述，存在點(diǎn) M，點(diǎn)M的坐標(biāo)為( 5 2 ，9)或( 5 2 ，11) 第39課時(shí) 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問(wèn)題 考向互動(dòng)探究 探究二二次函數(shù)與四邊形的結(jié)合

8、 例例 2 2013棗莊 棗莊 如圖 39 2，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函 數(shù) yx2bxC的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3 ， 0)，與y軸交于點(diǎn)C(0 ，3)，點(diǎn) P是直線BC下方拋物線上的動(dòng) 點(diǎn) 圖 39 2 第39課時(shí) 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問(wèn)題 考向互動(dòng)探究 (1) 求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式 (2) 連接 PO，PC， 并將POC沿y軸對(duì)折， 得到四邊形POP C， 那么是否存在點(diǎn) P，使得四邊形POP C 為菱形？若存在，求出此 時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 (3) 當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形 ABPC的面積最大？求 出此時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo)和四邊形ABP

9、C的最大面積 第39課時(shí) 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問(wèn)題 考向互動(dòng)探究 【例題分層分析】 求四邊形面積的函數(shù)表達(dá)式，一般是利用割補(bǔ)法把四邊形 的面積轉(zhuǎn)化為三角形面積的和或差 【解題方法點(diǎn)析】 (1)圖中已知拋物線上幾個(gè)點(diǎn)？將點(diǎn)B，C的坐標(biāo)代入二次 函數(shù)的表達(dá)式 (2)畫出四邊形POP C，若四邊形POP C為菱形，那么點(diǎn)P 必在OC的垂直平分線上，由此能求出點(diǎn)P的坐標(biāo)嗎？ (3)由于ABC的面積為定值，求四邊形ABPC的最大面 積，即求BPC的最大面積 第39課時(shí) 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問(wèn)題 考向互動(dòng)探究 解：(1)將 B，C 兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入 yx2bxc，得 ? ? ? ? ?9 3

10、bc0， c3， 解得 ? ? ? ? ?b2 ， c3， 這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為 yx22x3. 第39課時(shí) 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問(wèn)題 考向互動(dòng)探究 (2) 如圖，假設(shè)拋物線上存在點(diǎn) P(x，x22 x3)，使得 四邊形 POP C為菱形 連接PP交CO于點(diǎn)E.四邊形POP C 為菱形，PCPO，PECO，OEEC3 2 ， 點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)為 3 2 ，即 x22 x3 3 2 ，解得 x1 210 2 ，x22 10 2 (不合題意，舍去)，存在點(diǎn)P( 210 2 ， 3 2 )，使得四邊形POP C為菱形 第39課時(shí) 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問(wèn)題 考向互動(dòng)探究 (3) 如圖

11、，過(guò)點(diǎn) P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)Q，交OB 于點(diǎn) F，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，x 2 2 x3)由 x22 x30， 得點(diǎn) A的坐標(biāo)為(1，0) 點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，0)，點(diǎn)C的坐 標(biāo)為(0，3)，直線 BC的表達(dá)式為yx3，點(diǎn)Q的坐 標(biāo)為(x，x3)，AB4，CO3，BO3，PQx 2 3 x， S四邊形 ABPCSABCSBPQSCPQ1 2 ABCO1 2 PQBF 1 2 PQFO1 2 ABCO1 2 PQ(BFFO)1 2 ABCO1 2 PQBO 1 2 43 1 2 (x23 x)3 3 2 x2 9 2 x6 3 2? ? ? ? ? ? x3 2 2 75 8， 第39課時(shí) 二

12、次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問(wèn)題 考向互動(dòng)探究 當(dāng) x3 2 時(shí)，四邊形 ABPC的面積最大此時(shí)點(diǎn)P的坐 標(biāo)為? ? ? ? ? ? 3 2 ，15 4 ，四邊形 ABPC的最大面積為 75 8. 第39課時(shí) 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問(wèn)題 考向互動(dòng)探究 例例 3 2014廈門 廈門 如圖 39 3，已知 C0，拋物線yx2bx c與 x軸交于A(x1，0) ，B(x2，0)兩點(diǎn)(x2x1)，與y軸交于點(diǎn)C. (1) 若 x21，BC5，求函數(shù)yx 2 bxc的最小值； (2) 過(guò)點(diǎn) A作APBC，垂足為P(點(diǎn)P 在線段BC上)， AP交y軸于點(diǎn)M.若 OA OM 2， 求拋物線 yx 2 b

13、xc頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)隨橫 坐標(biāo)變化的函數(shù)表達(dá)式， 并直接寫出自變量 的取值范圍 圖 39 3 探究三二次函數(shù)與相似三角形的結(jié)合 第39課時(shí) 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問(wèn)題 考向互動(dòng)探究 【例題分層分析】 (1) A(x1，0)，B(x2，0)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)軸上的線段是什么？能 求出點(diǎn) C的坐標(biāo)嗎？ (2) 先根據(jù)點(diǎn) B，C的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出二次函數(shù) yx2bxC的表達(dá)式 (3) RtOAMRt OCB嗎？如何證明？ (4) 由三角形相似，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例，得 OC OB OA OM 2， 即 OC2 OB，所以C2 x2，利用x 2 2bx2C0，求得 C 2 b4.將此關(guān)系式代入拋物線的頂點(diǎn)

14、坐標(biāo)，即可求得所求 函數(shù)表達(dá)式 第39課時(shí) 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問(wèn)題 考向互動(dòng)探究 此類問(wèn)題常涉及運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù) 的表達(dá)式，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角 形、等腰三角形的判定要注意的是當(dāng)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊和 對(duì)應(yīng)角不明確時(shí)，要分類討論，以免漏解 【解題方法點(diǎn)析】 第39課時(shí) 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問(wèn)題 考向互動(dòng)探究 解：(1)x21，OB1. BC 5，OC2.c0，c2. 將 B(1 ，0)代入 yx 2 bxc， 得 1b20，解得b1， 故二次函數(shù)的表達(dá)式為 yx2x2(x1 2 ) 2 9 4 ， 二次函數(shù) yx 2 x2的最小值是 9

15、 4 . 第39課時(shí) 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問(wèn)題 考向互動(dòng)探究 (2) APBC， PMCPCM90. OAMOMA90，OMAPMC， OAMPCM， RtOAMRtOCB， OA OM OC OB 2，即 OC2 OB. x10，x20， c2 x2. 第39課時(shí) 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問(wèn)題 考向互動(dòng)探究 由 x2 2bx2 c0，得 c2 b4， 二次函數(shù) yx2bxcx2bx2 b4. 它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(b 2 ，b 2 8 b16 4 ) b 2 8 b16 4 (b 2 )24 (b 2 )4， 頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)隨橫坐標(biāo)變化的函數(shù)表達(dá)式是 yx 2 4 x4( x 3 4 )

16、 第39課時(shí) 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問(wèn)題 考向互動(dòng)探究 例例 4 2014長(zhǎng)沙 長(zhǎng)沙 如圖 39 4，拋物線yax 2 bxc(a，b，c 是常數(shù)，a0)的對(duì)稱軸為 y軸，且經(jīng)過(guò)(0 ，0)和( a， 1 16 )兩點(diǎn)， 點(diǎn) P在該拋物線上運(yùn)動(dòng)， 以點(diǎn)P為圓心的P總經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(0 ， 2) 圖 39 4 探究四二次函數(shù)與圓的結(jié)合 第39課時(shí) 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問(wèn)題 考向互動(dòng)探究 (1) 求a，b，c的值； (2) 求證：在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中， P始終與x軸相交； (3) 設(shè)P與x 軸相交于M(x 1，0) ，N(x2 ，0)( x 1 x 2 )兩點(diǎn)，當(dāng) AMN 為等腰三角形時(shí)，

17、求圓心 P的縱坐標(biāo) 第39課時(shí) 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問(wèn)題 考向互動(dòng)探究 【例題分層分析】 (1) 拋物線拋物線 y ax 2 bxc(a，b，c是常數(shù)，是常數(shù)，a0)的對(duì)稱軸為的對(duì)稱軸為 y軸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn) 軸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，0)說(shuō)明說(shuō)明 b， ，c是多少呢？由是多少呢？由( a， 1 16 )你能求出 a的值嗎？ (2) 要判斷要判斷P與與 x軸的位置關(guān)系， 軸的位置關(guān)系，即要比較點(diǎn) P到 到 x軸的距 離與圓的半徑的大??；離與圓的半徑的大??； (3) AMN為等腰三角形，分三種情況討論：當(dāng)為等腰三角形，分三種情況討論：當(dāng) AN MN 4時(shí)；當(dāng)當(dāng) AM MN4時(shí)；當(dāng)當(dāng) AM AN時(shí)時(shí)針對(duì)

18、這三種情針對(duì)這三種情 況分別求出點(diǎn)況分別求出點(diǎn) P的縱坐標(biāo) 第39課時(shí) 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問(wèn)題 考向互動(dòng)探究 用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的表達(dá)式，勾股定 理及勾股定理的逆定理，解二元一次方程組，二次函數(shù)的最值， 切線的判定等知識(shí)點(diǎn)的連接和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行 推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵 【解題方法點(diǎn)析】 第39課時(shí) 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問(wèn)題 考向互動(dòng)探究 解：(1) a1 4 ，b0，c0. (2) 設(shè) P(m，1 4 m 2 )，如圖，過(guò)點(diǎn)P作PH 1x 軸于點(diǎn) H1，PH 2 y軸于點(diǎn) H2，則AH 22 OH221 4 m 2 ，PH2m，PA 2 m 2 (21 4 m 2 )2 1 16 m 4 4. 又PH 2 1( 1 4 m 2 )2 1 16 m 4 ， 1 16 m 4 4 1 16 m 4 ，即 PA PH 1， P始終與 x軸相交 第39課時(shí) 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問(wèn)題 考向互動(dòng)探究 (3) 由(2)知 PN 2 1 16 m 4 4，PH 2 1 1 1