第五章李雅普諾夫穩(wěn)定性分析講訴

1、第六章李雅普諾夫穩(wěn)定性分析在反饋控制系統(tǒng)的分析設(shè)計中，系統(tǒng)的穩(wěn)定性是首先需要考慮的問題之一。因為它關(guān)系到系統(tǒng)是 否能正常工作。經(jīng)典控制理論中已經(jīng)建立了勞斯判據(jù)、Huiwitz穩(wěn)定判據(jù)、Nquist判據(jù)、對數(shù)判據(jù)、根軌跡判據(jù)等來判斷線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但不適用于非線性和時變系統(tǒng)。分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性及自振的描述 函數(shù)法，則要求系統(tǒng)的線性部分具有良好的濾除諧波的性能；而相平面法則只適合于一階、二階非線 性系統(tǒng)。1892年俄國學(xué)者李雅普諾夫(Lyapunov)提出的穩(wěn)定性理論是確定系統(tǒng)穩(wěn)定性的更一般的理論， 它采用狀態(tài)向量來描述，不僅適用于單變量、線性、定常系統(tǒng)，還適用于多變量、非線性、時變系統(tǒng)。

2、 6-1外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有輸入輸出描述(即外部描述)和狀態(tài)空間描述(即內(nèi)部描述)，相應(yīng)的穩(wěn)定性便分為外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性。一、外部穩(wěn)定性1、定義(外部穩(wěn)定性)：若系統(tǒng)對所有有界輸入引起的零狀態(tài)響應(yīng)的輸出是有界的，則稱該系統(tǒng)是外部穩(wěn)定的。(外部穩(wěn)定性也稱為 BIBO( Boun ded In put Bou nded Output )穩(wěn)定性) 說明：(1) 所謂有界是指如果一個函數(shù)h(t)，在時間區(qū)間0,：中，它的幅值不會增至無窮，即存在一個實常數(shù)k ,使得對于所有的t e 0,恒有|h(t)蘭k 成立。(2) 所謂零狀態(tài)響應(yīng)，是指零初始狀態(tài)時非零輸入引起的響應(yīng)。2、系統(tǒng)外

3、部穩(wěn)定性判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)、(A,B,C)的傳遞函數(shù)矩陣為x 二 Ax Buy =CxsX =AX BUY =CX(si -A)X =BUX =(sl -A)BUG(s)二 C(sl - A)當(dāng)且僅當(dāng)G(s)極點都在s的左半平面內(nèi)時，系統(tǒng)才是外部穩(wěn)定(或BIBO穩(wěn)定)的?！纠?.1.1】已知受控系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為0 6 - 2 x=| x+| u v=【0 1】xJ -L 一試分析系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性。-6 J -2s 11解：系統(tǒng)為SISO系統(tǒng)，傳遞函數(shù)為G（s）二 C（sl 一 A）B = 0 11ss2（s-2）（s 3）1一 s+3由于傳遞函數(shù)的極點位于s左平面，故系統(tǒng)是外部穩(wěn)定的。、

4、內(nèi)部穩(wěn)定性對于線性定常系統(tǒng)x（t。）= X。x = Ax Bu，y 二 Cx如果外部輸入u（t）二0，初始條件X。為任意，且由X。引起的零輸入響應(yīng)為X（t） = *（t,to）xo滿足lim （t,to）x。二 0 t- 則稱系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定的，或稱為系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。說明：線性定常系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定與經(jīng)典控制理論中的穩(wěn)定性一致。【例6.1. 2】已知受控系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為_06 -21 hx=| x+| u, y=01x1 T一 I 1試分析系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性。解：該系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)，其特征方程為：糾一A =入（九 +1） 6=（九一2）（九 +3） = 0于是系統(tǒng)的特征值為 1 =2 , -

5、-3，故系統(tǒng)不是內(nèi)部穩(wěn)定（漸近穩(wěn)定）的。三、內(nèi)部穩(wěn)定性與外部穩(wěn)定性的關(guān)系1、若系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定（漸近穩(wěn)定）的，則一定是外部穩(wěn)定（BIB O穩(wěn)定）的。2、若系統(tǒng)是外部穩(wěn)定(BIB 0穩(wěn)定)的，且又是可控可觀測的，則系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定(漸近穩(wěn)定)的。此 時內(nèi)部穩(wěn)定和外部穩(wěn)定是等價的。 6-2李雅普諾夫穩(wěn)定性的基本概念、自治系統(tǒng)沒有外界輸入作用的系統(tǒng)叫自治系統(tǒng)。自治系統(tǒng)可用如下的顯含時間t的狀態(tài)方程來描述x 二 f (X,t) ,x(to) = X。，t _to (6-1)其中X為n維狀態(tài)向量。 f (x,t)為線性或非線性、定?；驎r變的n維向量函數(shù)。假定方程的解為X(t； Xo ,to),式中Xo和to

6、分別為初始狀態(tài)向量和初始時刻，那么初始條件Xo必滿足X(to；Xo,to)= X。如果系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，則(6-1)方程中的f(x,t)為X的線性向量函數(shù)，或按習(xí)慣表示為：X 二 A(t)x , x(to) = Xo , t _to (6-2)二、平衡狀態(tài)設(shè)控制系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為：x 二 f (x,t) ,x(to) = Xo , t to對于所有t，如果存在某個狀態(tài)Xe，滿足：Xe = f (Xe，t) 7則稱Xe為系統(tǒng)的一個平衡點或平衡狀態(tài)。平衡狀態(tài)的各分量相對時間不再發(fā)生變化。若已知系統(tǒng)狀態(tài)方程，令x = o所求得的解X，便是平衡狀態(tài)。在大多數(shù)情況下，Xe =o (狀態(tài)空間原點)為系統(tǒng)的

7、一個平衡狀態(tài)。當(dāng)然，系統(tǒng)也可以有非零平衡狀態(tài)。如果系統(tǒng)的平衡狀態(tài)在狀態(tài)空間中表現(xiàn)為彼此分隔的孤立點，則稱其為孤立平衡狀態(tài)。對于孤立平衡狀態(tài)，總是可以通過移動坐標(biāo)系而將其轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間的原點，所以在下面的討論中，假定原點即Xe =0為平衡狀態(tài)。所謂系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性，就是研究其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，也即偏離平衡狀態(tài)的受擾運動，能否只依靠系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)因素而返回到平衡狀態(tài)，或者限制在平衡狀態(tài)的附近。線性定常系統(tǒng)X = AX，其平衡狀態(tài)滿足 Axe =O，只要A非奇異，系統(tǒng)只有唯一的零解，即存在一個位于狀態(tài)空間原點的平衡狀態(tài)；當(dāng)A為奇異矩陣時，=O有無數(shù)解，也就是系統(tǒng)有無數(shù)個平衡狀態(tài)。對于非線性系統(tǒng)，f（

8、Xe,t） =0的解可能有多個，由系統(tǒng)狀態(tài)方程決定。三、李雅普諾夫意義下穩(wěn)定設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài) X）位于以平衡狀態(tài)Xe為球心、半徑為：的閉球域S（、J內(nèi)，即區(qū)Xe| 蘭 6（&to）t =t若能使系統(tǒng)方程的解 x（t；x0,t0）在t：的過程中，都位于以xe為球心、任意規(guī)定的半徑為；的閉球 域S（；）內(nèi)，即X（t；Xo,to） - Xe t to則稱該Xe是穩(wěn)定的，通常稱 Xe為李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。以二維系統(tǒng)為例，上述定義的平 面幾何表示如圖6-1所示。X2XiXo -初始狀態(tài)Xe-平衡狀態(tài)圖6-1二維空間李雅普諾夫意義下穩(wěn)定性的幾何解釋示意圖Xo - Xe表示狀態(tài)空間中 Xo至Xe點

9、式中*稱為向量的范數(shù)，其幾何意義是空間距離的尺度。如 之間的距離的尺度，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為Xo 一 Xe二（Xio 一 Xie/ （Xno 一 Xne）2在上述穩(wěn)定性的定義中，如果：只依賴于:而和初始時刻to的選取無關(guān)，則稱平衡狀態(tài) Xe是一致穩(wěn)定的。對于定常系統(tǒng)，Xe的穩(wěn)定等價于一致穩(wěn)定。 但對于時變系統(tǒng)，Xe的穩(wěn)定并不意味著其為一致 穩(wěn)定。要注意到，按李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性定義，當(dāng)系統(tǒng)作不衰減的振蕩運動時，將在平面描繪出一條封閉曲線，但只要不超過S（；），則認(rèn)為穩(wěn)定，這同經(jīng)典控制理論中線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義是有差異的。四、漸近穩(wěn)定設(shè)Xe是系統(tǒng)X = f（X, t） ,X（to） =Xo ,

10、 t _ to的一個孤立平衡狀態(tài)，如果（1 ） Xe是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的;（2）呵収仕比汽。）Xe T 0tJPC1則稱此平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。Xo-初始狀態(tài)Xe-平衡狀態(tài)圖6-2二維空間漸近穩(wěn)定性的幾何解釋示意圖實際上，漸近穩(wěn)定即為工程意義下的穩(wěn)定，也就是經(jīng)典控制理論中所討論的穩(wěn)定性。當(dāng)、：與t0無關(guān)時，稱平衡狀態(tài) Xe是一致漸近穩(wěn)定的。五、大范圍（全局）漸近穩(wěn)定當(dāng)初始條件擴(kuò)展到整個狀態(tài)空間，且具有漸近穩(wěn)定性時，稱此平衡狀態(tài)Xe是大范圍漸近穩(wěn)定的。對于嚴(yán)格線性系統(tǒng)，如果它是漸近穩(wěn)定的，必具有大范圍漸近穩(wěn)定性,這是因為線性系統(tǒng)穩(wěn)定性與初始條件的大小無關(guān)。一般非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與初始條件的大

11、小密切相關(guān)，其：總是有限的，故通常只能在小范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定。當(dāng)與t0無關(guān)時，稱平衡狀態(tài) Xe是大范圍一致漸近穩(wěn)定。六、不穩(wěn)定不管把域SC）取得多么小，也不管把域s（；）取得如何的大，只要在SG-）內(nèi)存在一個非零初始狀態(tài)Xo，使得有Xo出發(fā)的運動軌跡超出域 S（；）以外，則稱平衡狀態(tài) Xe是不穩(wěn)定的。線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)不穩(wěn)定，表征系統(tǒng)不穩(wěn)定。非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)不穩(wěn)定，只說明存在局部發(fā)散的軌跡，至于是否趨于無窮遠(yuǎn)，要看S（；）域外是否存在其它平衡狀態(tài)，若存在，如有極限環(huán)，則系統(tǒng)仍是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。下面介紹李雅普諾夫理論中判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。 6-3李雅普諾夫穩(wěn)定性判別方法、李雅普諾夫第一

12、法(間接法)這是利用狀態(tài)方程解的特性來判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，它適用于線性定常、線性時變以及非線性函數(shù)可線性化的情況。由于本章主要研究線性定常系統(tǒng)，所以在此僅介紹線性定常系統(tǒng)的特征值判據(jù)。線性定常系統(tǒng)的特征值判據(jù)：對于線性定常系統(tǒng) x = Ax，x(0) = & , t _ o有(1 )系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是在李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的充分必要條件是，A的所有特征值均具有非正(負(fù)或零)實部，且具有零實部的特征值為A的最小多項式的單根。(2) 系統(tǒng)的惟一平衡狀態(tài) Xe =0是漸近穩(wěn)定的充分必要條件是，A的所有特征值均具有負(fù)實部。二、李雅普諾夫第二法(直接法)根據(jù)古典力學(xué)中的振動現(xiàn)象，若系統(tǒng)能量(含動能與位能

13、)隨時間推移而衰減，系統(tǒng)遲早回到達(dá)平衡狀態(tài)，但要找到實際系統(tǒng)的能量函數(shù)表達(dá)式并非易事。李雅普諾夫提出，可虛構(gòu)一個能量函數(shù)(后來被稱為李雅普諾夫函數(shù))，一般它與X!,X2,Xn及t有關(guān)，記為V(X,t)。若不顯含t,則記為V(X)。 它是一個標(biāo)量函數(shù)，考慮到能量函數(shù)總是大于零，故為正定函數(shù)。能量衰減特性用V(x,t)或V(x)表示。李雅普諾夫第二法利用 V及V的符號特征，直接對平衡狀態(tài)穩(wěn)定性作出判斷，無需求出系統(tǒng)狀態(tài)方程的解，故稱直接法。用此方法解決了一些用其它穩(wěn)定性判據(jù)難以解決的非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，遺憾的是對一般非線性系統(tǒng)仍未形成構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的通用方法。對于線性系統(tǒng)，通常用二次型函數(shù)

14、XT Px作為李雅普諾夫函數(shù)。1、標(biāo)量函數(shù)V(x)符號性質(zhì)的幾個定義(1) 正定性標(biāo)量函數(shù)V(x)在域s中對所有非零狀態(tài)(x = 0 )有V(x) 0且V(0) = 0，則稱V(x)在域s內(nèi)初始狀態(tài)2 2正定。如 V(x)=洛+X2是正定的。(2) 負(fù)定性標(biāo)量函數(shù)V(x)在域s中對所有非零狀態(tài)(x = 0 )有V(x) ：0且V(0) =0，則稱V(x)在域s內(nèi)負(fù)定。如V(x) = (X： - x；)是正定的。(3) 正半定性V(0) = 0 ,且標(biāo)量函數(shù) V(x)在域s內(nèi)某些非零狀態(tài)處有V(x) = 0，而在其它非零狀態(tài)處有2V(x) 0且，則稱V(x)在域s內(nèi)正半定。女口 V(x(x： 2

15、x2)；，當(dāng)x： - -2x2時有V(x) =0 ;當(dāng)xi - -2x；時有V(x)0,故V(x)為正半定。(4) 負(fù)半定性V(0) =0,且標(biāo)量函數(shù) V(x)在域s內(nèi)某些狀態(tài)處有 V(x) =0，而在其它狀態(tài)處有 V(x) ：0且,則稱V(x)在域s內(nèi)負(fù)半定。女口 V(x)(x： 2x2)；是負(fù)半定的。(5) 不定性標(biāo)量函數(shù)V (x)在域s內(nèi)可正可負(fù)，則稱 V(x)不定。如V(x) = XjX2是不定的。2、標(biāo)量函數(shù)V(x)取二次型時的符號_Pl1 P12 PinX、/、 J1 p21 p22p2n x2V(X)= x Px = &1 x2xn:-Pni Pn2 Pnn 八Xn 一式中P為對

16、稱矩陣，有Pij = Pji。顯然滿足V(0) =0。當(dāng)P陣的每一個元都為實數(shù)時，稱作實二次型。實二次型V(x)是正定的充要條件是矩陣P的各順序主子行列式均大于零(賽爾維斯特準(zhǔn)則)，即Pii0，PiiP21P12P220,PiiaP niPin:0Pnn則V(x)正定，且稱P為正定矩陣。當(dāng)矩陣P的各順序主子行列式負(fù)、正相間時，即Pii0 ,PiiP2iPi2P220,Pii (-iT PniPi n:0P nn則V(x)負(fù)定，且稱P為負(fù)定矩陣。若矩陣P的各順序主子行列式含有等于零的情況,則V( x)為正半定或負(fù)半定。 不屬于以上所有情況的，V(x)為不定?！纠?.3.1】證明下列的二次型是正定

17、的2 2 2V(x) =10論 4x2 x3 2xx2 - 2x2x3 - 4XX3證明：上式用矩陣形式表示為_101-21xJV(x) =XT Px=【人 x2x3 1| 14- 1| x22-11丄 X3由于P11-10 0P11p12101=390p21p2214P11p12p13101-2P21p22p23=14-1p31p32p33-2-11所以，V(x)是正定的。3、李雅普諾夫第二法定理1設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x = f (x)如果存在一個標(biāo)量函數(shù) V(x)，它有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，而且滿足：(1)V(x)是正定的;負(fù)定的，則系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。(2) V(X)是【例63

18、2】設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程是Xr = X2 _ x1 (xfX；)X2 = -x1-X2(X： X；)試分析系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是否為漸近穩(wěn)定的。解：令x1 =0及x2 =0,解得x0， x2 =0，故原點為平衡狀態(tài)，且只有一個平衡狀態(tài)。2 2 2設(shè)V(x) -x； xf，則 V(x)二 2X1X12x；X；-2(X1X；)所以該系統(tǒng)顯然，對于x=0存在V(X) : 0以及V(0) =0，故V(x)是負(fù)定的。又由于 V(x)是正定的, 在原點處的平衡狀態(tài)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。因為只有一個平衡狀態(tài)，故該系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的?！纠?34】設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程是xi 0殳一11Xi一 1 _|長2 _試分析系統(tǒng)在原點處

19、的平衡狀態(tài)是否為漸近穩(wěn)定的。解：這個系統(tǒng)的平衡點是 x. = x2 = 0。(1) 先猜想一個能代表系統(tǒng)能量的正定函數(shù)2 2V(x) =2為 X2貝U： V(x) = 4x1x 2x2x2由原狀態(tài)方程知：= x2, x2 = - x1 - x2，代入上式得 2V (x) = 2%x2 - 2x2它是不定的，因而無法判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(2) 重新構(gòu)造正定函數(shù) V(x):2 2V (x)二為 x2 2因此：V(x 2x1x1 2x2x2 - -2x2它是負(fù)半定的。但是因為 V(x)不恒為零，所以可知該系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。V(x)是李亞普諾夫函數(shù)。(3) 再取函數(shù)V(x) = 1 (劉 X2)2 2x

20、2 xf 丨2因此：V(x) (x2 X；)是負(fù)定的。且：|x|t旳，V(X)T血，故是大范圍漸近穩(wěn)定。從上述例子可以看出，找到一個系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù)證明系統(tǒng)是穩(wěn)定時，則系統(tǒng)必定是穩(wěn)定的；反 之，如果用李亞普諾夫第二法不能判斷系統(tǒng)是穩(wěn)定時，并不能得出系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。4.3線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性定常系統(tǒng)可以應(yīng)用各種方法，諸如勞斯一霍爾維茨，奈奎斯特法來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。李亞 普諾夫直接法也提供了一種穩(wěn)定性判據(jù)的方法。在上一節(jié)的例4-3中，我們用猜想和試探、驗證的方法來找李亞普諾夫函數(shù)，這是很費時的，對于高階的系統(tǒng)尤其費時，有時甚至是困難的。在本節(jié)中， 采用二次型函數(shù)來判定系統(tǒng)穩(wěn)定性，這種方法較為簡捷，并且還可以利用這種方法作為基礎(chǔ)來解參數(shù) 最優(yōu)問題以及某些控制系統(tǒng)的設(shè)計問題。設(shè)線性定常系統(tǒng)為X =AX（4-18）式中x是n維狀態(tài)向量。如果采用二次型函數(shù)作為李亞普諾夫函數(shù)，即（4-19 ）（4-20 ）（4-21 ）（4-22 ）（4-23）V x 二xTPx式中P是正定的實對稱矩陣。那么對上式求導(dǎo)得V x = xTPx xTPx將式（4-18 ）代入（4-20 ）式得V x 二 xTPAx xTATPx = XT PA AtP x令-Q 二 PA AtP代入式（4-21 ）得V x 二-xtQx從上式可以看出，為了判定V（x）是否負(fù)定，只需