文科立體幾何大題復(fù)習(xí)

1、文科立體幾何大題復(fù)習(xí) 一 解答題(共12小題) 1如圖1,在正方形ABCD中，點，E, F分別是AB, BC的中點，BD與EF交于點H,點G, R分別 在線段DH, HB上，且匹縣將 AED,ACFD BEF分別沿DE, DF, EF折起，使點A, B, C重 GH RH 合于點P,如圖2所示. (1) 求證：GR!平面PEF (2) 若正方形ABCD的邊長為4,求三棱錐P- DEF的內(nèi)切球的半徑. 2 .如圖，在四棱錐 P-ABCD中，PD丄平面 ABCD底面 ABCD是菱形，/ BAD=60 , AB=2, PD祈, O為AC與BD的交點,E為棱PB上一點. (I)證明：平面EACL平面P

2、BD 3.如圖,在四棱錐中 P-ABCD AB=BC=CD=DA / BAD=60 , AQ=QD, PAD是正三角形. (1)求證：AD丄PB; (2)已知點M是線段PC上，MC2 PM,且PA/平面MQB，求實數(shù) 入的值. 4如圖，四棱錐S- ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍，P為側(cè)棱SD上的 占 八、 (I)求證：AC丄SD; (U)若SD丄平面PAC則側(cè)棱SC上是否存在一點E，使得BE/平面PAC若存在，求SE EC的值; 若不存在，試說明理由. 5.如圖所示， ABC所在的平面與菱形BCDE所在的平面垂直，且 AB丄BC, AB=BC=2 / BCD=60， 點M

3、為BE的中點，點N在線段AC上. (I)若磐=入，且DN丄AC,求入的值； (U)在(I)的條件下，求三棱錐 B- DMN的體積. D 6 .如圖，在三棱柱 ABC- A1B1C1中，AB=AC且側(cè)面BBiGC是菱形，/ BiBC=60. (I)求證：ABU BC; (U)若AB丄AC, ABi=BBi，且該三棱柱的體積為 2乙求AB的長. D1 B 7. 如圖1,在矩形ABCD中，AB=4, AD=2, E是CD的中點，將 ADE沿AE折起，得到如圖2所示 的四棱錐Di- ABCE其中平面DiAEX平面ABCE DEC (1) 證明：BE!平面DiAE; (2) 設(shè)F為CDi的中點，在線段A

4、B上是否存在一點M，使得MF/平面DiAE,若存在，求出的 AB 值；若不存在，請說明理由. 8. 如圖，已知多面體 ABCDEF中, ABDA ADE均為正三角形，平面 ADE1平面 ABCD AB/ CD/ EF, AD: EF: CD=2 3: 4. (I)求證：BD丄平面BFC (U)若AD=2,求該多面體的體積. EF 9. 如圖，在四棱錐中P- ABCD底面ABCD為邊長為譏的正方形，PAL BD. (I)求證：PB=PD (U)若E，F(xiàn)分別為PC, AB的中點，EF丄平面PCD求三棱錐的D-ACE體積. 10如圖，四邊形 ABCD為菱形，G為AC與BD的交點，BE!平面ABCD

5、(I)證明：平面AECL平面BED (U)若/ ABC=120，AEEC,三棱錐E-ACD的體積為上，求該三棱錐的側(cè)面積 11 如圖，四邊形 ABCD是正方形，DE丄平面ABCD AF/ DE, AF斗缸i=ED=1. (I)求二面角E- AC- D的正切值； (U)設(shè)點M是線段BD上一個動點，試確定點 M的位置，使得AM /平面BEF 并證明你的結(jié)論. 12.如圖，在四棱錐 P ABCD中，AB丄平面 BCP CD/ AB, AB=BC=CP=BP=2CD=1. (1) 求點B到平面DCP的距離； (2) 點M為線段AB上一點(含端點)，設(shè)直線MP與平面DCP所成角為a,求sin a的取值范

6、圍. 文科立體幾何大題復(fù)習(xí) 參考答案與試題解析 一 解答題（共12小題） 1如圖1,在正方形ABCD中，點，E, F分別是AB, BC的中點，BD與EF交于點H,點G, R分別 在線段DH, HB上，且匹聖將 AED,ACFD BEF分別沿DE, DF, EF折起，使點A, B, C重 GH RH 合于點P,如圖2所示. （1）求證：GR!平面PEF （2）若正方形ABCD的邊長為4,求三棱錐P- DEF的內(nèi)切球的半徑. B 團12 【解答】證明：（I）在正方形ABCD中，/ A、/ B、/ C均為直角, 在三棱錐P- DEF中，PE, PF, PD三條線段兩兩垂直， PD丄平面PEF v 厶

7、即；：，在 PDH中，RG/ PD, GH RH GH RH GR!平面 PEF 解：（U）正方形ABCD邊長為4, 由題意 PE=PF=2 PD=4 EF=2, DF=2：, - Spe=2 , Spfc=Sdpe=4, Kt-: :.:=6， 設(shè)三棱錐P- DEF的內(nèi)切球半徑為r, 則三棱錐的體積： -I-* * 八=I J I ， 解得=丄, 三棱錐P- DEF的內(nèi)切球的半徑為= 2. 如圖，在四棱錐 P-ABCD中，PD丄平面 ABCD底面 ABCD是菱形，/ BAD=60 , AB=2, PD= -, O為AC與BD的交點，E為棱PB上一點. (I)證明：平面EACL平面PBD 【解

8、答】(I)證明：PD丄平面ABCD AC?平面ABCD AC丄PD.v四邊形 ABCD是菱形，二AC丄BD, 又 PDA BD=D, AC丄平面 PBD. 而AC?平面EAC,二平面EAd平面PBD. (U)解：PD/平面 EAC,平面 EACA平面 PBD=OE PD/ OE, v O是BD中點，二E是PB中點. 取AD中點H,連結(jié)BH,v四邊形ABCD是菱形，/ BAD=60 , BH丄 AD, 又 BH丄 PD, ADA PD=D, / BH丄平面 PAD :二二 *逐AD - VE-PAD 2 垢于妙 TxTxsapadx (H) 若 PD/平面EAC求三棱錐P- EAD的體積. 3.

9、 如圖，在四棱錐中 P-ABCD AB=BC=CD=DA / BAD=60 , AQ=QD, PAD是正三角形. (1) 求證：AD丄PB; (2) 已知點 M是線段PC上, MC2 PM,且PA/平面MQB，求實數(shù) 入的值. 【解答】證明：(1)如圖，連結(jié)BD,由題意知四邊形ABCD為菱形，/ BAD=60 , ABD為正三角形， 又 AQ=QD,二 Q 為 AD 的中點，二 AD丄 BQ, PAD是正三角形，Q為AD中點， AD丄 PQ,又 BQA PQ=Q /. AD丄平面 PQB, 又 PB?平面 PQB 二 AD丄 PB. 解：(2)連結(jié)AC,交BQ于N,連結(jié)MN, AQ/ BC,

10、PN/平面 MQB, PA?平面 PAC 平面MQBG平面PAC=MN 根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理得 MN / PA, “ ， 綜上，得MC=2PM, HC 2 4. 如圖，四棱錐S- ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的匚倍，P為側(cè)棱SD上的 占 八、 (I)求證：AC丄SD; (U)若SD丄平面PAC則側(cè)棱SC上是否存在一點E,使得BE/平面PAC若存在，求SE EC的值; 若不存在，試說明理由. BC 【解答】解：(I)連BD,設(shè)AC交BD于0,由題意S0丄AC, 在正方形ABCD中, AC丄BD, 所以AC丄面SBD 所以AC丄SD. (U)若SD丄平面PAC 貝U SD丄0

11、P, 設(shè)正方形ABCD的邊長為a, 則 SDi, ODh - .， M 則 ODPD/SD 故可在SP上取一點N,使PN=PD 過N作PC的平行線與SC的交點即為E,連BN. 在厶BDN中知BN/ P0, 又由于NE/ PC,故平面BEN/面PAC 得 BE/ 面 PAC 由于 SN: NP=2: 1 , 故SE EC=2 1. 5 .如圖所示， ABC所在的平面與菱形BCDE所在的平面垂直，且 AB丄BC, AB=BC=2 / BCD=60 , 點M為BE的中點，點N在線段AC上. (I)若兒二入，且DN丄AC,求入的值； (U)在(I)的條件下，求三棱錐 B- DMN的體積. 【解答】解：

12、(I)取BC的中點0,連接ON, OD, 四邊形BCDE為菱形，/ BCD=60, DO丄 BC, ABC所在的平面與菱形BCDE所在平面垂直， DO丄平面ABC v AC?平面 ABC,： DO 丄 AC, 又 DN丄AC,且 DNA DO=D, AC丄平面DON, v ON?平面 DON,： ON 丄 AC, 由O為BC的中點，AB=BC可得打,:, ：二；，即入=3 NC ” (U)由平面 ABC丄平面BCDE AB丄BC,可得 AB丄平面BCDE 由.1.;,可得點N到平面BCDE的距離為-一 NC42 由菱形BCDE中 , / BCD=60，點M為BE的中點,可得 DM丄BE, 且，

13、 : BDM的面積:出:， :三棱錐N- BDM的體積r 1 - 1：-. 3322 12 又 Vn- bdm=VB-dmn , :三棱錐B- DMN的體積為二. 6 .如圖,在三棱柱 ABC- A1B1C1中，AB=AC且側(cè)面BBiCiC是菱形,/ BiBC=60. (I)求證：AB丄BC; 7.如圖1,在矩形ABCD中，AB=4, AD=2, E是CD的中點，將 ADE沿AE折起，得到如圖2所示 (U)若AB丄AC, ABi=BBi，且該三棱柱的體積為 2，求AB的長. 【解答】解：(I)取BC中點M，連結(jié)AM , BiM , v AB=AC M是BC的中點， AM 丄 BC, v側(cè)面BB

14、GC是菱形，/ BiBC=60， BiM 丄BC, 又 AM?平面 ABiM , BiM?平面 ABiM , AMA BiM=M , BC丄平面 ABiM , v ABi?平面 ABiM , BC丄 ABi. (II)設(shè) AB=x,貝U AC=x BC= :x, v M 是 BC的中點，二 AM= , BBi= 工，BiM=, w 又v ABi=BB,. ABix, 2 2 2 ABi2=BiM2+AM2,a BiM 丄 AM . 由(I)知 BiM 丄 BC, AM?平面 ABC, BC?平面 ABC, AM A BC=M, BiM 丄平面 ABC, V 二丄2 , =. x=2,即 AB=

15、2 的四棱錐Di- ABCE其中平面DiAEX平面ABCE DEC 團1 (1) 證明：BE!平面DiAE; 2 (2) 設(shè)F為CDi的中點，在線段AB上是否存在一點M，使得MF/平面DiAE,若存在，求出小的 AB 值；若不存在，請說明理由. 【解答】(1)證明：連接BE, ABCD為矩形且 AD=DE=EC=2 AE=BE=2匚,AB=4, aW+bW=aB BE!AE,又 DiAEX平面 ABCE 平面 DiAEA 平面 ABCE=AE BE!平面 DiAE (2)化-. AB 4 取DiE中點N,連接AN, FN, FN/ EC, EC/ AB, FN/ AB,且 FN= = AB,

16、M , F, N, A共面， 若 MF / 平面 ADiE，貝U MF / AN. AMFN為平行四邊形， I AM=FN= t:,. 叫= 7J=- 8. 如圖，已知多面體 ABCDEF中, ABDA ADE均為正三角形，平面 ADE1平面 ABCD, AB/ CD/ EF, AD: EF: CD=2 3: 4. (I)求證：BD丄平面BFC (U)若AD=2,求該多面體的體積. 【解答】解：(I)因為AB/ CD,所以/ ADC=120,A ABD為正三角形，所以/ BDC=60. 設(shè) AD=a,因為 AD: CD=2 4=1: 2,所以 CD=2a 在 BDC中，由余弦定理，得 . ,：

17、 - _ - 所以 BD2+B=CD2,所以 BD丄 BC. 取AD的中點0,連接E0,因為 ADE為正三角形，所以E0丄AD, 因為平面 ADE1平面 ABCD,所以E0丄平面ABCD 取BC的中點G,連接FG, 0G,則工二,且EF/ 0Q所以四邊形0EFG為平行四邊形, 2 所以FG/ E0,所以FG丄平面ABCD,所以FG丄BD. 因為FGG BC=G 所以BD丄平面BFC EF (U)過G作直線MN / AD,延長AB與MN交于點M , MN與CD交于點N,連接FM, FN. 因為G為BC的中點，所以MG=0A且MG/ 0A,所以四邊形A0GM為平行四邊形，所以 AM=0G. 同理

18、DN=0G 所以 AM=0G=DN=EF=3 又AB/ CD,所以AM/ DN ,所以AM/ DN / EF,所以多面體 MNF-ADE為三棱柱. 過M作MH丄AD于H點,因為平面 ADE1平面 ABCD所以MH丄平面ADE, 所以線段MH的長即三棱柱MNF-ADE的高,在厶AMH中,心，-, 所以三棱柱MNF- ADE的體積為二- 422 因為三棱錐F- BMG與F- CNG的體積相等，所以所求多面體的體積為 ：. 9. 如圖,在四棱錐中P-ABCD底面ABCD為邊長為的正方形,PAL BD. (I)求證：PB=PD (U)若E , F分別為PC, AB的中點,EF丄平面PCD求三棱錐的D-

19、ACE體積. 【解答】解：(I)連接AC交BD于點0, 底面ABCD是正方形， AC丄BD且0為BD的中點. 又 PAI BD, PAG AC=A BD丄平面PAC 又PO?平面PAC BD丄 PO.又 BO=DO, Rt PBO RtA PDO, PB=PD (U)取PD的中點Q,連接AQ, EQ,貝U EQ丄1 CD, 又 AFT ：.I, AFEQ為平行四邊形，EF/ AQ, v EF丄平面PCD, AQ丄平面PCD v PD?平面PCD AQ丄PD,v Q是PD的中點， AP=AD=. v AQ丄平面PCD, CD?平面PCD, AQ丄 CD,又 AD丄 CD,又 AQA AD=A,

20、CD丄平面PAD CD丄 PA 又 BD丄 PA CDA BD=D, PAL平面 ABCD VD-ACE = VE-A1CD =fxiPAX Wd 4-x7xV2xfxV2V2 j/2 6 故三棱錐D- ACE的體積為. P 10. 如圖，四邊形 ABCD為菱形，G為AC與BD的交點，BE!平面ABCD (I)證明：平面AECL平面BED (U)若/ ABC=120, AEEC,三棱錐E-ACD的體積為上，求該三棱錐的側(cè)面積. 3 【解答】證明：(I)：四邊形ABCD為菱形， AC! BD， ：BE!平面 ABCD AC! BE, 則AC丄平面BED ：AC?平面 AEC 平面AECL平面BE

21、D 解: (U)設(shè) AB=x,在菱形 ABCD中，由/ ABC=120,得 AG=GC= x，GB=GD=， ：BE!平面 ABCD BE! BG,則 EBG為直角三角形， EG= AC=AGx, 2 2 貝U BE=： *；=Lx, 三棱錐E-ACD的體積V1忙匚口 =v =；, 0 乙乙兮-0 解得x=2,即AB=2, vZ ABC=120, AC2=AB2+BC2 - 2AB?BCcosABC=44 2X . .-二=12, 2 即 AC=.二， 在三個直角三角形 EBA EBG EBC中，斜邊AE=EC=ED AE EC, EAC為等腰三角形， 則 aE+E=aC=12, 即2A呂=12, A=6, 則 AE=；, 從而得 AE=EC=ED=, EAC的面積 S=3, 在等腰三角形EAD中，過E作EF丄AD于F, 則 AE=