Dandelin雙球證明定理圓錐曲線

1、Dande I i n雙球證明 定理圓錐曲線 III -CAL-FENGHAI.Network Information Technology Company.2020YEAR 平面與圓錐面的截線 一、教學(xué)目標(biāo)： 1知識(shí)與內(nèi)容： （1）通過(guò)觀察平面截圓錐面的情境，體會(huì)定理2 （2）利用Dandelin雙球證明定理2中情況（1） （3）通過(guò)探究，得出橢圓的準(zhǔn)線和離心率，加深對(duì)橢圓結(jié)構(gòu)的理解 2. 過(guò)程與方法： 利用現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)，動(dòng)態(tài)地展現(xiàn)Dandelin兩球的方法，幫助學(xué)生利用幾 何直觀進(jìn)行思維，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，重視直覺的培養(yǎng)和訓(xùn)練，直覺用 于發(fā)現(xiàn)，邏輯用于證明。 3. 情感態(tài)度價(jià)值觀：

2、 通過(guò)親歷發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，提高對(duì)圖形認(rèn)識(shí)能力，重視合情推理和演繹推理的 啟發(fā)、應(yīng)用和培養(yǎng)，讓學(xué)生辯證地觀察、分析問(wèn)題。 二、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn) 重點(diǎn)：（1）定理2的證明 （2）橢圓準(zhǔn)線和離心率的探究 難點(diǎn)：橢圓準(zhǔn)線和離心率的探究 三、教學(xué)過(guò)程 橢圓是生活中常見的圖形，是圓錐曲線中重要的一種。生成橢圓的方 法有許多，例如： （1）圓按某一個(gè)方向作伸縮變換可以得到橢圓，如圖1; （2）橢圓的定義 （3）平面內(nèi)到定點(diǎn)和定直線的距離之比等于常數(shù)（0e1）的點(diǎn)的軌跡 (4) 一動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)連線的斜率之積是一個(gè)負(fù)常數(shù)生成軌跡是橢 圓； (5)圓柱形物體的斜截口是橢圓，如圖2 所得截匚 W 2 嗎讓我們共同來(lái)探究平

3、面與圓錐面的截線。 C B D 思考：如圖3-9(l)MD是等腰三角形ABC底邊上的高, ZBAD = z直線I與AD相交于點(diǎn)P,且與AD的夾角 為0( 0 a： 反之，當(dāng)0 a時(shí)，/與AB(或43的延長(zhǎng)線)、AC都相交. (2) 當(dāng)/與佔(zhàn)不相交時(shí)，則IIIAB、這時(shí)有0 = a; 反之，當(dāng)0 = a時(shí), / AB,那么/與A8不相交. (3)當(dāng)/與劭的延長(zhǎng)線、AC都相交時(shí),設(shè)/與BA的延長(zhǎng)線交于G,/ 3；(2) 因?yàn)閍是A4PG的外角，所以0 a;如果0 a,那么/與34的延長(zhǎng)線、AC都相交 思考：將圖3-9中的等腰三角形拓廣為圓錐，直線拓廣為平面，則得到圖3-10. 如果用一平面去截一個(gè)

4、正園錐，而且這個(gè)平面不通過(guò)圓錐的頂點(diǎn)，會(huì)出 現(xiàn)哪些情況呢？廠一 問(wèn)題：利用Dandelin雙球（這兩個(gè)球位于圓錐的內(nèi)部，一個(gè)位于平面兀的上 方，一個(gè)位于平面的下方，并且與平面兀及圓錐均相切）證明：卩5 平面兀與圓錐的交線為橢圓. 討論：點(diǎn)A到點(diǎn)F的距離與點(diǎn)A到直線加的距離比小于1） 證明1 ：利用橢圓第一定義，證明FA+AE=BA+AC=定直詳見課本. 證明2 :上面一個(gè)Dandelin球與圓錐面的交線為一個(gè)圓，并與圓錐的底面平 行，記這個(gè)圓所在平面為卅； 如果平面兀與平面亡的交線為在圖中橢圓上任取一點(diǎn)人 該 Dandelin球與平面兀的切點(diǎn)為F,則點(diǎn)A到點(diǎn)F的距離與點(diǎn)A到直 線用的距離比是（

5、小于1） （稱點(diǎn)F為這個(gè)橢圓的焦點(diǎn)，直線加為 橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)為離心率） 點(diǎn)評(píng)：利用可以證明截線為拋物線，雙曲線的情況，以離心率的范圍為準(zhǔn). 探究:如圖3-12, 弦與圓錐的母線和軸所成角的余弦之比. 序備兩相交.崔圓錐的兩部分分別嵌入Dandelin球 丹環(huán)P和圓錐的血點(diǎn)O作母線，分別與兩個(gè)球切于Q、則 母線PO為兩圓的公共切線。又P在平面TT內(nèi)，F(xiàn)l, F2為平面TT內(nèi)兩個(gè)切點(diǎn), 因此PF1, PF2,分別為兩圓的切線，所以 P片=PQi, PF2 = PQ2 .所以 I Pf； - P巧 1=1 PQ廠 PQ2= QQ 由于QQ為兩圓5、：所在平行平面之間的母線段長(zhǎng)，因此QQ的長(zhǎng)為定值.

6、 由上所述可知，雙曲線的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是： 雙曲上任意一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)（即雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)）的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù). 拓展：1請(qǐng)證明定理2中的結(jié)論（2） 2探究雙曲線的準(zhǔn)線和離心率 3探索定理中（3）的證明，體會(huì)當(dāng)p無(wú)限接近c(diǎn)（時(shí)平面n的極限結(jié)果 四、自我檢測(cè)練習(xí) 1平面截球面和圓柱面所產(chǎn)生的截線形狀是 分析：聯(lián)想立體幾何及上節(jié)所學(xué)，可得結(jié)論，要注意平面截圓柱面所得的截線 的不同情況. 答案：平面截球面所得的截線為圓；平面截圓柱面所得的截線為圓或橢圓； 2判斷橢圓、雙曲線、拋物線內(nèi)一點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與到準(zhǔn)線距離之比與1的關(guān) 系？ 分析：首先通過(guò)畫圖尋找規(guī)律，然后加以證明. 答案：略. 五、課外研究材料

7、材料1.閱讀，和你的同學(xué)一起探討文后的問(wèn)題： 運(yùn)動(dòng)的天體受向心力和離心力的作用，天體運(yùn)行的速度不同，它所獲得的 合力也不同，這樣就導(dǎo)致形成不同的運(yùn)行軌道，如人造衛(wèi)星發(fā)射的速度等于或 大于7.9km/s （第一宇宙速度即環(huán)繞速度）時(shí)，它就在空中沿圓或橢圓軌道運(yùn) 行；當(dāng)發(fā)射的速度等于或大于H.2 knVs （第二宇宙速度即脫離速度）時(shí)，物體 可以掙脫地球引力的束縛，成為繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的人造行星或飛到其它行星上去； 當(dāng)速度等于或大于16.7 km/s （第三宇宙速度即逃逸速度）時(shí)，物體將掙脫太陽(yáng) 引力的束縛，飛到太陽(yáng)系以外的宇宙空間去。例如：人造衛(wèi)星、行星、慧星等 由于運(yùn)動(dòng)的速度的不同，它們的軌道是圓、

8、橢圓、拋物線或雙曲線。 （1）從天體運(yùn)行的軌跡看，圓錐曲線也存在著統(tǒng)一，難道在冥冥宇宙中， 有什么神奇的力量，使天體運(yùn)行也遵循著一種統(tǒng)一的規(guī)律嗎？ （2）邀請(qǐng)你們的物理老師、地理老師，請(qǐng)他們上一節(jié)天體運(yùn)行課，更深入 的理解圓錐曲線 材料2.圓錐截線，是一個(gè)平面截正圓錐面而得到的曲線. 設(shè)圓錐軸截面母線與軸的夾角為a ,截面和圓錐的軸的夾角為0. 當(dāng)截面不過(guò)頂點(diǎn)時(shí)， （1）當(dāng)0=a時(shí)，即截面和一條母線平行時(shí)，交線是拋物線； （2）當(dāng)a 0-時(shí)，即截面不和母線平行，且只和圓錐面的一葉相交 2 時(shí)，交線是橢圓.特別地，當(dāng)0 = -,即截面和圓錐面的軸垂直時(shí)，交線是 2 圓. （3）當(dāng)OWOVa時(shí)，即截面不與母線平行，且和圓錐面的兩葉都相交 時(shí)，交線是雙曲線. 當(dāng)截面過(guò)頂點(diǎn)時(shí)， （1）當(dāng)3=（1時(shí)，截面和圓錐面相切，交線退化為兩條重合直線. （2）當(dāng)a8* 時(shí)，截面和圓錐面只相交于頂點(diǎn)，交線退化為一個(gè)點(diǎn). 2 （3）當(dāng)OWOVa時(shí)，截面和圓錐面相交于兩條母線，交線退化為兩條相 交直線. 前一類情況中，拋物線、橢圓（包含圓）和雙曲線這三種曲線叫做非退化 的圓錐曲線.有時(shí)，也把拋物線、橢圓和雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線.后一類情 況，交線是一個(gè)點(diǎn)或