對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì),對數(shù)的公式互化,詳盡的講解

1、精品文檔 2.2對數(shù)函數(shù) 2. 2.1對數(shù)與對數(shù)運算 要點精析 1. 對數(shù)的概念 一般地，如果ax= N (a0,且1),那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x= log aN, 其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù). 說明：(1)實質(zhì)上，上述對數(shù)表達式，不過是指數(shù)函數(shù)y= ax的另一種表達形式，例如： 34= 81與4 = log381這兩個式子表達是同一關(guān)系，因此，有關(guān)系式ax= N? x= logaN，從而 得對數(shù)恒等式：alogaN = N. (2) “l(fā)og”同“ + ”“x” “”等符號一樣，表示一種運算，即已知一個數(shù)和它的 幕求指數(shù)的運算，這種運算叫對數(shù)運算，不過對數(shù)運算的符號寫在數(shù)的

2、前面. 根據(jù)對數(shù)的定義，對數(shù)logaN(a0，且a* 1)具有下列性質(zhì)： 零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)，即N0 ; 1的對數(shù)為零，即Ioga1 = 0 ； 底的對數(shù)等于1,即logaa= 1. 2. 對數(shù)的運算法則 利用對數(shù)的運算法則，可以把乘、除、乘方、開方的運算轉(zhuǎn)化為對數(shù)的加、減、乘、除 運算，反之亦然這種運算的互化可簡化計算方法，加快計算速度. (1) 基本公式 Ioga(MN)= logaM + logaN (a0, a* 1, M0, N0)，即正數(shù)的積的對數(shù)，等于同一底 數(shù)的各個因數(shù)的對數(shù)的和. logaN = logaM logaN (a0, a* 1, M0, N0)，即兩個正數(shù)的商的對數(shù)

3、，等于被除 數(shù)的對數(shù)減去除數(shù)的對數(shù). logaMn= n logaM (a0, a * 1, M0, n R)，即正數(shù)的幕的對數(shù)等于幕的底數(shù)的對數(shù) 乘以幕指數(shù). (2) 對數(shù)的運算性質(zhì)注意點 必須注意 M0, N0，例如loga( 3)X ( 4)是存在的，但是loga( 3)與loga( 4) 均不存在，故不能寫成 loga( 3)x ( 4) = loga( 3) + loga( 4). 防止出現(xiàn)以下錯誤：loga(M 1) = logaM ogaN, loga(M N) = logaM logaN , loga普= 默，logaMn= (logaM)n. 3. 對數(shù)換底公式 在實際應(yīng)用中

4、，常碰到底數(shù)不為10的對數(shù)，如何求這類對數(shù)，我們有下面的對數(shù)換底 公式：logbN = ogN (b0，且 b* 1; c0 ,且 c* 1； N0). 證明 設(shè)logbN = x,則bx= N.兩邊取以c為底的對數(shù)， 得 xlogcb= log cN.所以 x=詈器，即 l9bN = 換底公式體現(xiàn)了對數(shù)運算中一種常用的轉(zhuǎn)化，即將復(fù)雜的或未知的底數(shù)轉(zhuǎn)化為已知的或 需要的底數(shù)，這是數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的具體應(yīng)用. (1)logbN=ib 或 由換底公式可推出下面兩個常用公式： logbN logNb= 1 (N0，且 N * 1; b0，且 b* 1); (2)log bnNm= mlogbN(N0;

5、b0 ，且 b* 1; n * 0, m R) 9典例剖析一 題型一正確理解對數(shù)運算性質(zhì) 對于a0且az 1，下列說法中，正確的是 （） 若 M = N，貝則 logaM = logaN ； 若 logaM = logaN，則 M = N; 若 logaM2= logaN2，則 M = N; 若 M = N，則 logaM2= logaN2. A .與B .與C .D .、 解析 在中，當(dāng)M = N0, N0，且M = N，因此 M = N成立. 在中，當(dāng)logaM2 = logaN2時，有M豐0, N豐0,且M2= N2,即|M|=|N|,但未必有 M =N.例如，M = 2, N = 2

6、時，也有 logaM2 = logaN2，但 M 工 N. 在中，若M = N= 0,則logaM2與logaN2均無意義，因此logaM2= logaN2不成立. 所以，只有成立. 答案 C 點評正確理解對數(shù)運算性質(zhì)公式，是利用對數(shù)運算性質(zhì)公式解題的前提條件，使用運 算性質(zhì)時，應(yīng)牢記公式的形式及公式成立的條件. 題型二對數(shù)運算性質(zhì)的應(yīng)用 -求下列各式的值: (1) 2log32 log 3評 log 38 5log53; (2) lg25 + |lg8 + lg5 lg20 + (lg2)2； Iog5 2 log79 先使各項底數(shù)相同，才 分析 利用對數(shù)的性質(zhì)求值， 首先要明確解題目標(biāo)是化

7、異為同， 能使用性質(zhì)，再找真數(shù)間的聯(lián)系，對于復(fù)雜的真數(shù)，可以先化簡再計算. 解(1)原式=2log 32 (log 332 log 39) + 3log 32 3 =2log32 5log32 + 2 + 3log 32 3= 1. 原式=2lg5 + 2lg2 + 處 lg(2 X 10) + (lg2)2 =2lg(5 X 2) + (1 lg2) (lg2 + 1) + (lg2)2 =2+ 1 (lg2)2 + (lg2)2 = 3. Iog5,2 log79 2log 52 2log73 log 5 log7 紡 log53 3log74 Ig2 I.g3 lg5 ig7 = 3 I

8、g3 1 jg4 = 2. lg5 3 lg7 點評 對數(shù)的求值方法一般有兩種：一種是將式中真數(shù)的積、商、幕、方根利用對數(shù)的 運算性質(zhì)將它們化為對數(shù)的和、差、積、商，然后化簡求值；另一種方法是將式中的和、 差、 積、商運用對數(shù)的運算法則將它們化為真數(shù)的積、商、幕、方根，然后化簡求值. 題型三對數(shù)換底公式的應(yīng)用 If JSQ0 計算：(Iog2l25+ Iog425+ Iog85)(log 52 + Iog254 + Iogi258). 分析 由題目可獲取以下主要信息：本題是一道對數(shù)化簡求值題，在題目中各個對數(shù)的 底數(shù)都各不相同. 解答本題可先通過對數(shù)換底公式統(tǒng)一底數(shù)再進行化簡求值. 解方法一原

9、式= Iog 253 + Iog225 Iog25 Iog24Iog28 Iog52 + log 54 + Iog 525 Iog58 Iog 5125 =3log25+ 2Iog25, 2log22 十 Iog25 3log22 2log52 3log 52 log52 + 2log55+ 3log55 =3 + 1 + 3 Iog25 (3log52) =13log25i 13. 方法 3lg5 + 2lg5 + Jg5_ Ig2 十 2lg2 十 3lg2 Ig2 + 2lg2 + 3lg2 Ig5 十 2lg5 十 3lg5 原式=g125 + Ig25 + Ig5 Jg2 + Ig4

10、 + Ig8 原式 Ig2 Ig4 Ig8 Ig5 Ig25 Ig125 =13lg5 3Ial = 13 3lg2 3lg5. 點評 方法一是先將括號內(nèi)換底，然后再將底統(tǒng)一；方法二是在解題方向還不清楚的情 況下，一次性地統(tǒng)一為常用對數(shù)(當(dāng)然也可以換成其他非1的正數(shù)為底)，然后再化簡.上述 方法是不同底數(shù)對數(shù)的計算、化簡和恒等證明的常用方法. 卜例4 已知log(x+ 3)(x2 + 3x)= 1,求實數(shù)x的值. 錯解由對數(shù)的性質(zhì)可得 x2 + 3x= x+ 3. 解得x= 1或x= 3. 錯因分析對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)必須大于0且底數(shù)不等于1,這點在解題中忽略了. x2 + 3x= x+ 3, 正

11、解由對數(shù)的性質(zhì)知x2 + 3x0, x+ 30 且 x+ 3 豐 1. 解得x= 1，故實數(shù)x的值為1. 對數(shù)的定義及其性質(zhì)是高考中的重要考點之一，主要性質(zhì)有：Ioga1 = 0, logaa = 1, alogaN =N (a0，且 a 工 1, N0). 1. (上海高考)方程9x 6 3x 7 = 0的解是. 解析 / 9x 6 -3x 7 = 0，即 32x 6 -3x 7= 0 / (3x 7)(3x+ 1) = 0 3x= 7 或 3x= 1(舍去) x= log 37. 答案Iog37 ex, x0,2 解析 g 2 = |n蘇。,g In2 = e|r)2= 2, 1 1 二g

12、 g 2 = 2. 答案1 2 自主訓(xùn)練f 1. 對數(shù)式log (a-3)(7 a)= b,實數(shù)a的取值范圍是() A. i, 7) B. (3,7) C. (3,4) U (4,7) D . (3,+ ) 答案 C a 30, 解析 由題意得a 3豐1, 解得3a0, 2. 設(shè)a= log32，則log38 2log36用a表示的形式是() A . a 2 B. 3a (1 + a)2 C. 5a 2 D . a2 + 3a 1 答案 A 解析 / a= log32, / log38 2log36= 3log 32 2(log 32 + 1) =3a 2(a+ 1) = a 2. 3. lo

13、g 56 log67 log78 log89 log910 的值為() 1 A. 1 B. lg5 C. D . 1 + lg2 答案 C 解析原式=妙也他妙！g! =應(yīng)=丄 lg5 lg6 lg7 lg8 lg9 lg5 lg5 4. 已知loga(a2+ 1)loga2a0，貝U a的取值范圍是() A. (0,1) B. 0, 2 C. , 1 D. (1, + ) 答案 C 解析 由題意, 得 0a1, 1 1 a0 ,1, loga(a2+ 1)log a2a, / 0a1. / a0, a 1)在1,3上最大值與最小值之和為 值為() 11 A. 4 B. C. 3D.； 43 答

14、案 D 6. 若方程(lgx)2+ (lg7 + lg5)lgx+ lg7 lg5 = 0 的兩根為 a, 3,貝卩 a 等于( 丄 A. lg7 lg5 B. lg35 C. 35 D.T5 答案 D 1 解析/ lg a+ lg A-(lg7 + lg5) 一 lg35 = 35 35. 1 1 1 f 2 = 22= 1 2. 7. 已知 f(log2x)= x,貝U f = 答案 .2 1 1 解析令 log2x= ，則 2-= x, =4. .2：的值; 解關(guān)于 x 的方程 X2 2x+ lg(c2 b2) - 2lga+ 1 = 0 有等根, 0,即即 4 4lg(c2 b2) 2

15、lga+ 1 = 0. 即 lg(c2 b2) 2lga = 0，故 c2 b2= a2, a2 + b2= c2, ABC 為直角三角形. 講練學(xué)黛部分 2. 2.1對數(shù)與對數(shù)運算(一) 自主學(xué)案 匸學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 理解對數(shù)的概念，能進行指數(shù)式與對數(shù)式的互化. 2. 了解常用對數(shù)與自然對數(shù)的意義. 3理解對數(shù)恒等式并能用于有關(guān)對數(shù)的計算. 匸自學(xué)導(dǎo)引 1. 如果a(a0且1)的b次幕等于N,就是ab= N,那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù), 記作b= logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù). 2. 對數(shù)的性質(zhì)有：(1)1的對數(shù)為零； (2) 底的對數(shù)為1; (3) 零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù). 3.

16、 通常將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，log10N可簡 記為lgN, logeN簡記為lnN. 4. 若 a0，且1,貝U ab= N 等價于 logaN= b. 5. 對數(shù)恒等式：alogaN= N(a0 且 a* 1) 對點講練 一、對數(shù)式有意義的條件 例1求下列各式中x的取值范圍： (1) log2(x 10); (2)logg 1)(x + 2); (3)log (x+1)(x 1)2. 分析 由真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1可得到關(guān)于x的不等式(組)，解之即可. 解(1)由題意有x 100, x10，即為所求. x+ 20, 由題意有口 x 10 且 x

17、 1 豐 1, x 2, 即 x1 且 x* 2. x1 且x* 2, (x 1)20, (3)由題意有口 x+ 10 且 x+ 1 * 1, 解得 x 1 且 x* 0, x* 1. 點評 在解決與對數(shù)有關(guān)的問題時，一定要注意：對數(shù)真數(shù)大于零，對數(shù)的底數(shù)大于零 且不等于1. 變式遷移1在b= log (a-2)(5 a)中，實數(shù)a的取值范圍是() A . a5 或 a2B. 2a5 C. 2a3 或 3a5 D . 3a0 解析 由題意得 a 20, a 2 工 1 -2a0); 1 (2) 42(log 29 - Iog25). 解(1)原式=(al ogab)logbc log cN =

18、 blog bc IogcN= (blogbc)log cN =clogcN= N. 原式=2(log29 - log25) = 2log29 _ 2log25 9 5. 點評 對數(shù)恒等式alogaN= N中要注意格式: （1）它們是同底的；（2）指數(shù)中含有對數(shù)形 式; （3）其值為真數(shù). 1 變式遷移3計算：3log3 5+ （Iog35 解 原式=書+彳扌耳壬二西+ （3log3*）2 1. 一般地，如果a（a0, a豐1）的b次幕等于N,就是ab= N，那么b叫做以a為底N 的對數(shù)，記作logaN = b,其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù). 2. 利用 ab= N? 3. 對數(shù)恒等式：

19、b= logaN （其中a0, a 1, N0）可以進行指數(shù)與對數(shù)式的互化. alogaN= N（a0 且 a* 1）. U課時作業(yè) 一、選擇題 1. 下列指數(shù)式與對數(shù)式互化不正確的一組是（） A. 100= 1 與 lg1 = 0 1 1 匕 111 B. 27 -喬亍與 log273 3 1 1 C. log3= 9 與 9? = 3 D. log55 = 1 與 51= 5 答案 C 2. 指數(shù)式b6= a （b0, b豐1）所對應(yīng)的對數(shù)式是（） A. log6a = aB. Iog6b= a C. logab = 6D. logba= 6 答案 D 3. 若 logxC 5-2) =

20、- 1,貝U x 的值為() A. 5-2 B. 5+ 2 C. 5 - 2 或 5 + 2 D . 2 5 答案 B 4. 如果 f(10 x) = x,則 f(3)等于() A. log310 B. lg3 C. 103 D. 310 答案 B 解析方法一令10 x = t，則x= lgt, f(t)= lgt, f(3) = lg3. 方法二 令 10 x= 3,則 x= lg3 , f(3) = lg3. 1 5. 21 + 2 log25 的值等于() A. 2+ 5 B. 2 5 V5逅 C. 2 + -2 D . 1 + -2 答案 B 11 1 解析 21 + 2log25=

21、2X 2log25 = 2X 2log25? 1 =2 X 5= 2；.?5. 二、填空題 6 若5lgx= 25，則x的值為. 答案 100 解析/ 5lgx = 52, / lgx = 2, x= 102= 100. 7.設(shè) Ioga2= m, loga3 = n,貝V a2m n 的值為 答案 12 解析/ loga2= m, loga3= n, am= 2, an= 3, a2m+ n= a2m an= (am)2 an= 22X 3 = 12. (2)x= log9 3; (3)x= 71 log75; 1 (4) logx8= 3; (5)log x= 4. 解(1)由已知得：2

22、x = 4, 2 2x= 22, I = 2, x= 4. 由已知得：9x = 0, a豐1, M0 , N0，那么， (1)loga(MN)= logaM + log aN ； M , log aN = logaM log aN ； (3)logaMn= nlogaM(n R). 2. 對數(shù)換底公式：logab= A . logax = log ax C. (log ax)n= log axn 答案 A gcb logca 對點講練 、正確理解對數(shù)運算性質(zhì) 例1 若a0,1, x0, y0, xy，下列式子中正確的個數(shù)有() logax -log ay= log a (x+ y)； loga

23、x log ay = loga(x y)； x log ay= log ax Tog ay ； loga(xy)= logax log ay. A . 0個B . 1個 C. 2個D . 3個 答案 A 解析對數(shù)的運算實質(zhì)是把積、商、幕的對數(shù)運算分別轉(zhuǎn)化為對數(shù)的加、減、乘的運算.在 運算中要注意不能把對數(shù)的符號當(dāng)作表示數(shù)的字母參與運算，如log ax loga x, logax是不可 分開的一個整體.四個選項都把對數(shù)符號當(dāng)作字母參與運算，因而都是錯誤的. 點評 正確理解對數(shù)運算性質(zhì)公式，是利用對數(shù)運算性質(zhì)公式解題的前提條件. 變式遷移1 若a0且a豐1, x0, n N*，則下列各式正確的是

24、() B. (logax)n= nlogax D. Iogax= loga x 二、對數(shù)運算性質(zhì)的應(yīng)用 例2計算： (1) log 535 2log 53+ log 57 log51.8; (2) 2(lg 2)2+ lg .2 lg5 + (lg 2)2 lg2 + 1; lg .27+ Ig8 lg 1 000 lg1.2； (Ig5)2+ lg2 lg50. 分析利用對數(shù)運算性質(zhì)計算. 解(1)原式=log5(5X 7) 2(log57 log53) + log57 logs9 =log55+ log 57 2log 57 + 2log53 + log 57 2log53 + log55

25、 =2log55 = 2. 原式=lg ,2(2lg .2 + lg5) + (lg 2 1) 1 ；+ y= 2log363 + log364 =log36(32x 4)= log3636= 1. (2) t log 189 = a,18b= 5, log 185= b. log1845= log 18(9 x 5) log1836 log18(18 x 2) =Iog189+ Iog185 =a+ b= a+ b =1+ log18218= 2 a. 1 + log18 9 點評 指數(shù)式化為對數(shù)式后，兩對數(shù)式的底不同，但式子兩端取倒數(shù)后, 底公式可將差異消除. 變式遷移 3 (1)設(shè) lo

26、g34 log4 8 log8m= log416，求 m; (2)已知 log1227= a，求 log616 的值. =lg . 2(lg2 + lg5) + 1 lg 2 = lg 2+ 1 lg 2 = 1. 3 3 2lg3 + 3lg2 2 3lg3 + 6lg2 33 (3) 原式=- lg3 + 2lg2 12(lg3 + 2lg2 1)2 原式=(lg5)2+ lg2 (lg2 + 2lg5) =(lg5)2 + 2lg5 lg2 + (lg2)2= (lg5 + lg2)2= 1. 點評要靈活運用有關(guān)公式注意公式的正用、逆用及變形使用. 變式遷移2求下列各式的值： (1) l

27、og 535 + 2log p/2 log 5擊log 514 ； (2) (1 Iog63)2+ log62 log618 4og64. 解(1)原式 1 2 =log5(5X 7) 2log222+ log5(52x 2) log5(2 x 7) =1 + log 57 1 + 2+ log 52 log 52 log57= 2. 原式=log 22+ Iog62 log6(3 x 6) teg622 =log62(log 62 + log63 + 1) -(2log 62) = 1. 、換底公式的應(yīng)用 2 1 例 3 (1)設(shè) 3x= 4y= 36,求- + -的值; x y 已知 lo

28、g189= a,18b= 5，求 log3645. 解(1)由已知分別求出 x和y. 3x= 36,4y= 36, 二 x= log336, y= log436, 由換底公式得： x= log 3636 = log363 1 log363 y= log 36361 log364log364 x= log363, 1 = log 364 log3645 = 利用對數(shù)的換 解（1）利用換底公式，得簫器器 / lgm= 2lg3，于是 m= 9. 由知227=a,得2ig2g3g3 =a， -g3=需 ：=尋 Iog6l6 = 4lg2 Ig3 + Ig2 4(3 a) 3 + a ）諜堂小結(jié) 1.

29、對于同底的對數(shù)的化簡常用方法是： （1） “收”，將同底的兩對數(shù)的和（差）化成積（商）的對數(shù)； “拆”，將積（商）的對數(shù)拆成對數(shù)的和（差）. 2對于常用對數(shù)的化簡要充分利用“Ig5 + Ig2 = 1”來解題. 3 對于多重對數(shù)符號對數(shù)的化簡，應(yīng)從內(nèi)向外逐層化簡求值. 課時作業(yè) 一、選擇題 1. Ig8 + 3Ig5 的值為（） A. 3 B. 1 C. 1 D. 3 答案 D 解析 Ig8 + 3Ig5 = Ig8 + Ig53= Ig1 000 = 3. 2.已知 Ig2 = a, Ig3 = b,則 Iog36 等于() A. a+ b a B. a C.a+ b b D.a + b 答

30、案 B 解析-g36=計喘嚴(yán)護 a 3. 若Iga, Igb是方程2x2 4x+ 1 = 0的兩個根，則lg 2的值等于（） 1 1 A. 2C. 4D.4 答案 A 1 解析 由根與系數(shù)的關(guān)系，得 lga+ Igb = 2, Iga Igb = 3, ig： 2= (Iga Igb)2 =(Iga + Igb)2 4Iga Igb =22 4X-= 2. 2 1 1 4. 若 2.5x = 1 000,0.25y= 1 000,則；J等于() 1 1 A. 3 B . 3 C . 3 D . 3 答案 A 解析由指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對數(shù)式： x= log2.5l 000, y= logo.251 0

31、00, 1 1 . 1 貝X_ y= log 1 0002.5 log 1 0000.25 = log 1 00010 = 3. 5. 設(shè)函數(shù) f(x) = logax (a0，且 a豐 1),若 f(X1X2x005) = 8,貝U f(X?) + 耳燉+ f(x2 005) 的值等于（） A. 4 B. 8 C. 16 D. 2loga8 答案 C 解析 因為 f(x) = logax, f(X1X2 X2 005)= 8 , 所以 f(x2) + f(x2)+ + f(x2 005) =logaX2+ logax2+ + logaX2 005 =2loga|X11+ 2loga|X21+

32、 + 2loga|X2 005| =2loga|X1X2 X2 005| =2f(X1 X2X2 005) = 2X 8 = 16. 二、填空題 6.設(shè) 答案 lg2 = a, lg3 = b,那么 lgT8 = a + 2b 1 2 11 181 2X 9 解析 ig.僥=2lg1.8 = lg 10=西百 1 1 =2(lg2 + lg9 1) = 2(a + 2b 1). 7.若 logax= 2, logbx= 3, logcx = 6,U logabcx 的值為 答案 1 解析 1 logxa+ logxb+ logxc T logax= 2, -logxa= 2, logbx= 3

33、, logxb=3, logcx= 6 logxc=6 logabcX = 對數(shù)函數(shù)的解析式 y= logax中，logax前面的系數(shù)為1,自變量在真數(shù)的位置，底數(shù)a 必須滿足a0，且1; (3) 以10為底的對數(shù)函數(shù)為 y = lgx,以e為底的對數(shù)函數(shù)為 y = lnx. 當(dāng)x1時，恒有y0 ; 當(dāng)0 x1時，恒有y1時，恒有y0; 當(dāng)0 x0 函數(shù)在定義域(0,+ )上為增函數(shù) 函數(shù)在定義域(0,)上為減函 數(shù) 3指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系比較 名稱 指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù) 解析式 y= ax (a0，且 aM 1) y= logax(a0，且 aM 1) 定義域 ( m,+m ) (0, )

34、 值域 (0 , ) ( 8,+ ) a1 時， a1 時，logax 1 x 0 0 x 1 ax 1 x 1 ; 0 x 1; 函數(shù)值變 1 x 0 0 0 x1 化情況 0a1 時， 1 x 0 0a1時，y = ax是增函 單調(diào)性 數(shù)； 0a1時，y= log ax是增函數(shù)； 0a0,即m、n范圍相同(相對于“ 1 ”而言)，則log min0;當(dāng)(m 1)(n 1)0，即m、n范圍相反(相對于“1”而言)，則logmn0.有了這個規(guī)律，我們再判斷對數(shù) 1 值的正負(fù)就很簡單了，如Iog230等，一眼就看出來了！ 典例剖析 一* 題型一求函數(shù)定義域 求下列函數(shù)的定義域: (1)y= Io

35、g3x 1 、2x+ 3 x 1 3x 10, 3x 1工1同時成 312 解得 x 2，x1,x3，XM 3.二 X1. 定義域為（1,+ 8）. 要使原函數(shù)有意義，需1 loga（x+ a）0, 即 loga（x+ a）1 時，0 x+ aa, ax0. 當(dāng) 0aa, x0. 當(dāng)a1時，原函數(shù)定義域為x| ax0; 當(dāng)0a0. 點評 求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域問題，首先要考慮：真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等 于1,若分母中含有x,還要考慮不能使分母為零. 題型二對數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 奠忑(1)log43, log34, 43 log34log 43log 43log 34 43 log 34log

36、 3log 43 43 log 34log34log43 C. 43 log五的大小順序為（ logaa, logb b, log ba, ba log ab的大小. 若a2ba1，試比較 (1)解析Tog341,0log 43log43log. 答案 B ”a 解 / ba1, 0b1. ab - logabb1，且 b1, logbblogba, aa 故有 logaalog b；alog ba1為增；0a0, a1工1, a20, a2M 1）. 當(dāng)a1a21時，曲線y1比y2的圖象（在第一象限內(nèi)）上升得慢.即當(dāng)x1時，y1y2；當(dāng) 0 xy2.而在第一象限內(nèi)，圖象越靠近x軸對數(shù)函數(shù)的底

37、數(shù)越大. 當(dāng)0a2a11時，y1y2；當(dāng) 0 xy2即在第四象限內(nèi)，圖象越靠近x軸的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)越小. 例3已知loga11，那么a的取值范圍是 . 分析 利用函數(shù)單調(diào)性或利用數(shù)形結(jié)合求解. 1 解析 由loga21時，顯然符合上述不等式， a1 ;當(dāng)0a1時， 1 c1 a2， 0a1 或 0a1或0a1 時，log ax0? x1, logax0? 0 x1; (2) 當(dāng) 0a0? 0 x1 , logax1. 題型三函數(shù)圖象的應(yīng)用 a的取值范圍. 1 2x logax0，當(dāng)x 0, 2時恒成立，求實數(shù) 1 要使不等式2xlogax在x 0,時恒成立，即函數(shù) 2 y=logax的圖象在

38、0,1 內(nèi)恒在 函數(shù)y=2x圖象的上方，而y=2x圖象過點 丄，.2 .由圖可知, 2 顯然這里0a 、2 =log a a ，二 a ，即 a . 2 2 2 loga 1 2 所求的a的取值范圍為1 2 a1時，顯然y20 對 x R 恒成立， 即a0 04 4a1. 錯因分析出錯的原因是分不清定義域為R與值域為R的區(qū)別. 正解 函數(shù)f(x) = lg(ax2+ 2x+ 1)的值域是R ?真數(shù)t = ax2 + 2x+ 1能取到所有的正數(shù). 1 當(dāng)a = 0時，只要x 寸，即可使真數(shù)t取到所有的正數(shù)，符合要求; 當(dāng) a豐0 時，必須有 a0 A 0 ? a04 4a 0 ? 0a 1B.

39、x|x1 C. x| 1x1 D. ? 解析由題意知 M =x|x 1. 故 M n N= x| 1x1. 答案 C 2. (湖南高考)下列不等式成立的是() A. log32log 23log25 B. log 32log 25log 23 C. log 23log 32log 25 D. log23log 25log23log22= 1. 又y = log3x在(0,+)上為增函數(shù)， Iog32log33= 1. Iog32log 23log 25. 答案 A 3. (全國高考)若 x (e 1,1), a= lnx, b= 2lnx, c = ln3x,貝U () A. abc B. c

40、ab C. bac D. bca 1 解析 t -x1, 1lnx0. e ， 令 t= Inx,則1t0. ab. c a = t3 1= t(t2 1) = t(t + 1)(t 1), 又/ 1t0, 0t+ 11, 2t 10, ca. cab. 答案 C 自主訓(xùn)練f* 1. 已知函數(shù)f(x)= . 1 + 2x的定義域為集合M ,g(x) = ln(1 x)的定義域為集合 N,則M n N 等于() A . x|x 1 B. x|x1 1 C. x| 2x1 D. ? 答案 C 1 一 x1 2. 已知函數(shù)f(x) = Ig ，若f(a)= 1，則f( a)等于() 1 + x2 1

41、 1 A. 2 B . 2 C. 2 D . 2 答案 B 解析 f( a) = Ig 嚴(yán)？ 1 1 a1 a =ig 1 a 1+ a =f(a) = 1. 3. 已知 a= Iog23, b = Iog32, c= Iog42,則 a, b, c 的大小關(guān)系是() A. cba B. abc C. bca D. ca1, b = log3 2b; 1 又因為 2 -3，則 log32log3 3 = 2， 而 log42= log2 ,2=1, 2 1 1 所以b2，c = Q,即卩bc.從而abc. 4. 函數(shù) f(x)= lg|x|為() A .奇函數(shù)，在區(qū)間(0,+s )上是減函數(shù)

42、B .奇函數(shù)，在區(qū)間 C.偶函數(shù)，在區(qū)間 D .偶函數(shù)，在區(qū)間 答案 D (0，+ )上是增函數(shù) (，0)上是增函數(shù) (，0)上是減函數(shù) 解析已知函數(shù)定義域為(，0)U (0，+)，關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，且f( x) = lg| x| =lg|x|= f(x)，所以它是偶函數(shù). 又當(dāng)x0時，|x|= x，即函數(shù)y= lg|x|在區(qū)間(0，+)上是增函數(shù). 又f(x)為偶函數(shù)，所以f(x) = lg|x|在區(qū)間(一a，0)上是減函數(shù). 5. 函數(shù)y= ax與y= logax (a0，且a豐1)在同一坐標(biāo)系中的圖象只可能為() AR CD 答案 A 解析 方法一 若0a1，則曲線y= ax上升且過(0

43、,1)，而曲線y= logax下降且過(1,0).只有選項A滿足條 件. 方法二 注意到y(tǒng)= logax的圖象關(guān)于x軸對稱的圖象的表達式為y= log ax ,又y= log ax 與y= ax互為反函數(shù)(圖象關(guān)于直線y= x對稱)，則可直接選定選項A. 6. 設(shè)函數(shù)f(x) = Iog2a(x+ 1)，若對于區(qū)間(一1,0)內(nèi)的每一個x值都有f(x)0,則實數(shù)a 的取值范圍為() 1 A . (0,+ ) B. 2，+m c. 2， 1 d. 0, 2 答案 D 解析 已知一1x0,貝y 0 x+ 11 ,又當(dāng)一1x0，即0 x+ 10，所以 02a1，即 0a2 7. 若指數(shù)函數(shù)f(x)=

44、 ax (x R)的部分對應(yīng)值如下表： x 2 0 2 f(x) 0.694 1 1.44 則不等式loga(x1)0的解集為. 答案x|1x2 解析 由題可知 a= 1.2, Iog1.2(x1)0 , Iog1.2(x 1)log 1.21，解得 x0，即 x1 , 1x2. 故原不等式的解集為x|1x2. 8. 函數(shù)y= logax (1 x1，則函數(shù)y= logax在區(qū)間1,2上為增函數(shù)，其值域不可能為1,0; 故0a1，此時當(dāng)x= 2時，y取最小值1, 1 即 loga2= 1,得 a 1= 2,所以 a= ?. (3a 1)x+ 4a, x 1 圍為. 1 1 答案7, 1 解析

45、函數(shù)f(x)為實數(shù)集R上的減函數(shù)， 1 一方面，0a1 且 3a 10，所以 0aloga 1, 即卩 ay. 因此滿足題意的實數(shù)a的取值范圍為y a1. 10. 已知f(x)= 1 + log2x (1 x4)，求函數(shù)g(x)= F(x)+ f(x2)的最大值和最小值. 解 T f(x)的定義域為1,4, g(x)的定義域為1,2. T g(x) = f2(x) + f(x2) = (1 + log 2x)2+ (1 + log 2x2) =(log2x+ 2)2 2, 又 1 w x 2, 00，且1）叫做對數(shù)函數(shù)，其中 x是自變量，函數(shù)的定義域是（0,+ ）. 2.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

46、定義 y= logax (a0，且1) 底數(shù) a1 0a1 圖象 r 尸1叫 產(chǎn) 1 (0rt0且a豐1）和指數(shù)函數(shù) y = ax_（a0且a豐1）互為反函數(shù). 對點講練 一、對數(shù)函數(shù)的圖象 例1下圖是對數(shù)函數(shù)y= logax的圖象，已知a值取，3, 4 ，彩，則圖象 S C2, C3, C4相應(yīng)的a值依次是（） 廠4 3 1 a.3,5,5，w 3,4，丄,3 3 10 5 C. 4,3,3,丄 35 10 纖3,丄,。 答案 A 解析 方法一 因為對數(shù)的底數(shù)越大, 函數(shù)的圖象越遠離 y軸的正方向，所以C1, C2, C3, 310 5 4 3 1 C4的a值依次由大到小，即 C1，C2，C

47、3，C4的a值依次為、3,. 3 5 10 方法二 過(0,1)作平行于x軸的直線，與C1 ,C2 ,C3,C4的交點的橫坐標(biāo)為(a1,1), (a2,1), (a3,1)， (a4,1)，其中a1，a2，a3，a4分別為各對數(shù)的底，顯然 a1a2a3a4，所以C1，C2，C3， C4的底值依次由大到小. 點評 函數(shù)y=logax (a0，且a* 1)的底數(shù)a的變化對圖象位置的影響如下： 上下比較：在直線 x=1的右側(cè)，底數(shù)大于 1時，底數(shù)越大，圖象越靠近x軸；底數(shù) 大于0且小于1時，底數(shù)越小，圖象越靠近x軸. 左右比較：(比較圖象與y=1的交點)交點的橫坐標(biāo)越大，對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大.

48、變式遷移1借助圖象比較 m, n的大小關(guān)系： (1) 若 logm5logn5，貝U mn; (2) 若 logm0.5logn0.5，貝U mn. 答案(1) 、求函數(shù)的定義域 例2求下列函數(shù)的定義域： (1) y= 3log2x ； (2) y= log0.5(4x 3); (3) y= log(x+1)(2 x). 分析定義域即使函數(shù)解析式有意義的x的范圍. 解(1) 該函數(shù)是奇次根式，要使函數(shù)有意義，只要對數(shù)的真數(shù)是正數(shù)即可, 定義域是x|x0. 要使函數(shù)y= .log.5(4x 3)有意義， 必須 logo.5（4x 3）0 = logo. 3 04x 3 1.解得4xw j 3 定

49、義域是 x|x0 x 1 由X+ 1豐1 ，得 xm 0 , 2 x0 x2 即 0 x2 或一1x0,1)的定義域. 解 loga(4x 3) 0.(*) 當(dāng) a1 時，(*)可化為 log a(4x 3) logal, / 4x 3 1, x 1. 當(dāng)0a loga1, 3 04x 3 1, 41時，函數(shù)定義域為1 ,+), 3 當(dāng)0a1時，函數(shù)定義域為4，1 . 三、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 例3比較大?。?(1) log 0.81.5 與 logo.82; (2) log 35 與 log 64. 分析從比較底數(shù)、真數(shù)是否相同入手. 解(1)考查對數(shù)函數(shù)y= log.8x在(0 ,+s)內(nèi)

50、是減函數(shù)， 1.5log 0.82. (2) log35和log64的底數(shù)和真數(shù)都不相同，找出中間量“搭橋”，再利用對數(shù)函數(shù)的單 調(diào)性，即可求解. t Iog35log33= 1 = log66log 64, Iog35log64. 點評比較兩個對數(shù)值的大小，常用方法有：底數(shù)相同真數(shù)不同時，用函數(shù)的單調(diào)性 來比較；底數(shù)不同而真數(shù)相同時，常借助圖象比較，也可用換底公式轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的對數(shù) 后比較；底數(shù)與真數(shù)都不同，需尋求中間值比較. 變式遷移3比較下列各組中兩個值的大?。?(1) log0.52.7, log0.52.8;(2)log 34, log65; (3) loga n logae (a0

51、 且 a 豐 1). 解(1) / 00.51 , 對數(shù)函數(shù)y= log0.5x在(0,+s)上是減函數(shù). 又/ 2.7log0.52.8. (2) / y= log3X 在(0 , +)上是增函數(shù)， Iog34log33= 1. y= log6x在(0 , +s)上是增函數(shù)， Iog65log65. (3) 當(dāng)a1時，y= logax在(0, + g)上是增函數(shù). T ne, loga nlog ae. 當(dāng)0ae, - loga nlog ae. 綜上可知，當(dāng)a1時，loganlogae; 當(dāng) 0a1 時，loganlogae. 3 例4若一1log a31，求a的取值范圍. 4 分析此不等式為對數(shù)不等式且底數(shù)為參數(shù).解答本題可根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為 般不等式求解，同時應(yīng)注意分類討論. 313 1log a41 ? Iogaalog a41 時，a44 1 33 當(dāng)