小學(xué)奧數(shù)：扶梯問(wèn)題.專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)及答案解析

1、 教學(xué)目標(biāo)1對(duì)扶梯問(wèn)題中順(逆)扶梯速度、扶梯速度、人的速度的理解。2在扶梯的相遇與追及問(wèn)題中引入消元思想。3解決行程問(wèn)題時(shí)畫(huà)線(xiàn)段圖可以幫助解題。知識(shí)精講一、扶梯問(wèn)題說(shuō)明扶梯問(wèn)題與流水行船問(wèn)題十分相像，區(qū)別只在與這里的速度并不是我們常見(jiàn)的“千米每小時(shí)”，或者“米每秒”，而是“每分鐘走多少個(gè)臺(tái)階”，或是“每秒鐘走多少個(gè)臺(tái)階”。從而在扶梯問(wèn)題中“總路程”并不是求扶梯有多少“千米”或者多少“米”，而是求扶梯的“靜止時(shí)可見(jiàn)臺(tái)階總數(shù)”。二、扶梯問(wèn)題解題關(guān)鍵1、當(dāng)人順著扶梯的運(yùn)動(dòng)方向走臺(tái)階時(shí)，相當(dāng)與流水行船中的“順?biāo)旭偂保@里的水速就是扶梯自身的臺(tái)階運(yùn)行速度。有：人的速度+扶梯速度=人在扶梯上的實(shí)際速度

2、扶梯靜止可見(jiàn)臺(tái)階總數(shù)=時(shí)間人速+時(shí)間扶梯速=人走的臺(tái)階數(shù)+扶梯自動(dòng)運(yùn)行的臺(tái)階數(shù)2、當(dāng)人沿著扶梯逆行時(shí)，有：人的速度-扶梯速度=人在扶梯上的實(shí)際速度扶梯靜止可見(jiàn)臺(tái)階總數(shù)=時(shí)間人速-時(shí)間扶梯速=人走的臺(tái)階數(shù)-扶梯自動(dòng)運(yùn)行的臺(tái)階數(shù)?！纠?1】 小明站著不動(dòng)乘電動(dòng)扶梯上樓需30 秒，如果在乘電動(dòng)扶梯的同時(shí)小明繼續(xù)向上走需 12 秒，那么電動(dòng)扶梯不動(dòng)時(shí)，小明徒步沿扶梯上樓需多少秒？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題之扶梯問(wèn)題【難度】3 星【題型】解答11【解析】電梯每秒完成，電梯加小明徒步上樓每秒完成，小明徒步上樓每秒完成30121111-=，所以小明徒步上樓需1= 20 (秒)12 30 20【答案】20 秒20【鞏固

3、】 如果在乘電動(dòng)扶梯的同時(shí)小明繼續(xù)向上走需 12 秒到達(dá)樓上，如果在乘電動(dòng)扶梯的同時(shí)小明逆著向下走需 24 秒到達(dá)樓下（千萬(wàn)別模仿！），那么電動(dòng)扶梯不動(dòng)時(shí)，小明徒步沿扶梯上樓需多少秒？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題之扶梯問(wèn)題【難度】3 星【題型】解答1111【解析】小明徒步走的速度是( + ) 2 =，所以小明徒步上樓需1 =16 (秒).12 241616【答案】16 秒3-2-7.扶梯問(wèn)題.題庫(kù)page 1 of 5教師版 【例 2】 在地鐵車(chē)站中，從站臺(tái)到地面有一架向上的自動(dòng)扶梯小強(qiáng)乘坐扶梯時(shí)，如果每秒向上邁一級(jí)臺(tái)階，那么他走過(guò)20 級(jí)臺(tái)階后到達(dá)地面；如果每秒向上邁兩級(jí)臺(tái)階，那么走過(guò)30 級(jí)臺(tái)階到達(dá)地

4、面從站臺(tái)到地面有【考點(diǎn)】行程問(wèn)題之扶梯問(wèn)題 【難度】3 星級(jí)臺(tái)階【題型】填空【解析】小強(qiáng)每秒走一階，需要20 1 = 20 秒；每秒走 2 階，需要30 2 =15 秒設(shè)電梯每秒鐘需要走x 階，由電梯長(zhǎng)度可得：20(1+ x) =15(2 + x) ，解得x = 2 那么扶梯長(zhǎng)度為20(1+ 2) = 60 （階）本題非常類(lèi)似于“牛吃草問(wèn)題”，如將題目改為：“在地鐵車(chē)站中，從站臺(tái)到地面有一架向上的自動(dòng)扶梯小強(qiáng)乘坐扶梯時(shí)，如果每秒向上邁一級(jí)臺(tái)階，那么他走過(guò) 20 秒后到達(dá)地面；如果每秒向上邁兩級(jí)臺(tái)階，那么走過(guò) 15 秒到達(dá)地面問(wèn)：從站臺(tái)到地面有多少級(jí)臺(tái)階？”采用牛吃草問(wèn)題的方法，電梯 20 -1

5、5 = 5 秒內(nèi)所走的階數(shù)等于小強(qiáng)多走的階數(shù)：215 -1 20 =10 階，電梯的速度為10 5 = 2 階/秒，扶梯長(zhǎng)度為20(1+ 2) = 60 （階）【答案】60 階【鞏固】 在地鐵車(chē)站中，從站臺(tái)到地面架設(shè)有向上的自動(dòng)扶梯小強(qiáng)想逆行從上到下，如果每秒向下邁兩級(jí)臺(tái)階，那么他走過(guò)100 級(jí)臺(tái)階后到達(dá)站臺(tái)；如果每秒向下邁三級(jí)臺(tái)階，那么走過(guò)75 級(jí)臺(tái)階到達(dá)站臺(tái)自動(dòng)扶梯有多少級(jí)臺(tái)階?【考點(diǎn)】行程問(wèn)題之扶梯問(wèn)題【難度】3 星【題型】解答xx【解析】設(shè) 50 秒扶梯向上走x 級(jí)，則 25 秒走 級(jí)由扶梯長(zhǎng)度可得100 - x = 75 - 22解得x = 50 扶梯長(zhǎng)100- 50 = 50 (級(jí)

6、)?！敬鸢浮?0 級(jí)【例 3】 小丁在捷運(yùn)站搭一座電扶梯下樓如果他向下走14階，則需時(shí)30 秒即可由電扶梯頂?shù)竭_(dá)底部；如果他向下走28 階，則需時(shí)18 秒即可由電扶梯頂?shù)竭_(dá)底部請(qǐng)問(wèn)這座電扶梯有幾階？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題之扶梯問(wèn)題【難度】4 星【題型】解答【關(guān)鍵詞】臺(tái)灣小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，決賽【解析】首先從題中可以看出兩種情況下小丁的速度是不相同的，否則兩次走過(guò)的階數(shù)之比為1: 2 ，時(shí)間之比也應(yīng)該為1: 2 才對(duì)既然小丁的速度有變化，那么應(yīng)該考慮其中的不變量，也就是電扶梯的速度不變假設(shè)這座電扶梯有 階，那么在第一種情況下電扶梯走了 (x -14) 階，第二種情況下電扶梯走了xx -14 x - 28(x

7、 - 28) 階，根據(jù)電扶梯的速度相同可得=，解得x = 49 3018即這座電扶梯有 49 階【答案】49 階【例 4】 在商場(chǎng)里，小明從正在向上移動(dòng)的自動(dòng)樓梯頂部下120 級(jí)臺(tái)階到達(dá)底部，然后從底部上90 級(jí)臺(tái)階回到頂部自動(dòng)樓梯從底部到頂部的臺(tái)階數(shù)是不變的，假設(shè)小明單位時(shí)間內(nèi)下的臺(tái)階數(shù)是他上的臺(tái)階數(shù)的2 倍則該自動(dòng)樓梯從底到頂?shù)呐_(tái)階數(shù)為【考點(diǎn)】行程問(wèn)題之扶梯問(wèn)題【難度】4 星【題型】解答3-2-7.扶梯問(wèn)題.題庫(kù)page 2 of 5教師版 【解析】本題要知道向上與向下的時(shí)間之比 ( 即是電梯運(yùn)行時(shí)間的比 ) ，可用量化思120 90想:x= 60:90 = 2:3 ，設(shè)該自動(dòng)樓梯從底到頂

8、的臺(tái)階數(shù)為 級(jí)，自動(dòng)樓梯的2 1x + 2y =120x - 3y = 90x =108y = 6，解得速度為 y 級(jí)/單位時(shí)間則有：即該自動(dòng)樓梯從底到頂?shù)呐_(tái)階數(shù)為 108 級(jí)【答案】108 級(jí)【鞏固】 商場(chǎng)的自動(dòng)扶梯以勻速由下往上行駛，兩個(gè)孩子在行駛的扶梯上上下走動(dòng)，女孩由下往上走，男孩由上往下走，結(jié)果女孩走了 40 級(jí)到達(dá)樓上，男孩走了 80 級(jí)到達(dá)樓下如果男孩單位時(shí)間內(nèi)走的扶梯級(jí)數(shù)是女孩的 2 倍，則當(dāng)該扶梯靜止時(shí)，可看到的扶梯梯級(jí)有多少級(jí)？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題之扶梯問(wèn)題【難度】4 星【題型】解答【解析】當(dāng)電梯靜止時(shí)，無(wú)論是由下往上，還是由上往下，兩個(gè)孩子走的階數(shù)都是電梯的可見(jiàn)階數(shù)當(dāng)電梯運(yùn)行

9、時(shí)，女孩所走的階數(shù)與電梯同時(shí)間內(nèi)所走的階數(shù)之和等于電梯可見(jiàn)階數(shù)，男孩所走的階數(shù)與電梯同時(shí)間內(nèi)所走的階數(shù)之差也等于電梯可見(jiàn)階數(shù).因?yàn)槟泻⒌乃俣仁桥⑺俣鹊?2 倍，所以男孩走 80 階到達(dá)樓下與女孩走 40 階到達(dá)樓上所用時(shí)間相同，則在這段時(shí)間內(nèi)，電梯所走的階數(shù)也相同.有：40 + 電梯走的階數(shù)= 80 - 電梯走的階數(shù)，可得電梯走的階數(shù)為(80- 40) 2 = 20（階），所以電梯可見(jiàn)階數(shù)為40 + 20 = 60 （階）.【答案】60 階【鞏固】 商場(chǎng)的自動(dòng)扶梯以勻速由下往上行駛，兩個(gè)孩子在行駛的扶梯上上下走動(dòng)，女孩由下往上走，男孩由上往下走，結(jié)果女孩走了 40 級(jí)到達(dá)樓上，男孩走了 80

10、 級(jí)到達(dá)樓下如果男孩單位時(shí)間內(nèi)走的扶梯級(jí)數(shù)是女孩的 3 倍，則當(dāng)該扶梯靜止時(shí)，可看到的扶梯梯級(jí)有多少級(jí)？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題之扶梯問(wèn)題【難度】4 星【題型】解答80 40【解析】男孩與女孩走完電梯的時(shí)間比為： := 2:33 1所以有80 = 電梯可見(jiàn)部分級(jí)數(shù)+2電梯運(yùn)行速度40 = 電梯可見(jiàn)部分級(jí)數(shù)-3電梯運(yùn)行速度電梯運(yùn)行速度= 8 (級(jí))解得所以電梯可見(jiàn)部分級(jí)數(shù)為：80 - 28 = 64 (級(jí))【點(diǎn)評(píng)】本題的關(guān)鍵是求出男孩和女孩走完電梯的時(shí)間比，另外結(jié)合二元一次方程比較容易理解數(shù)量關(guān)系請(qǐng)對(duì)比原例題，體會(huì)其中的數(shù)量關(guān)系【答案】64 級(jí)【鞏固】 自動(dòng)扶梯以均勻的速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子

11、要從扶梯上樓，已知男孩每分走 20級(jí)，女孩每分走15 級(jí)，結(jié)果男孩用了5 分到達(dá)樓上，女孩用了6 分到達(dá)樓上問(wèn)該扶梯露在外面的部分共有多少級(jí)？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題之扶梯問(wèn)題【難度】4 星【題型】解答1 1 1【解析】男孩每分鐘比女孩每分鐘多行扶梯級(jí)數(shù)的 - =5 6 30，相差 20 -15 = 5 級(jí)，因此自3-2-7.扶梯問(wèn)題.題庫(kù)page 3 of 5教師版 1動(dòng)扶梯露在外面的部分共有5 =150級(jí)30【答案】150 級(jí)【例 5】 小志與小剛兩個(gè)孩在電梯上的行走速度分別為每秒 2 個(gè)臺(tái)階和每秒 3 個(gè)臺(tái)階，電梯運(yùn)行后，他倆沿電梯運(yùn)行方向的相同方向從一樓走上二樓，分別用時(shí)28 秒和 20秒，那

12、么如果小志攀登靜止的電梯需要用時(shí)多少秒？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題之扶梯問(wèn)題【難度】4 星【題型】解答【解析】小志和小剛順向攀登運(yùn)行的電梯分別都攀登了 282 = 56 級(jí)和 203 = 60 級(jí)，小剛比小志多走了60 - 56 = 4 級(jí) ，這 4 級(jí)臺(tái)階實(shí)際上是小志多走的 8 秒鐘內(nèi)，電梯“縮”進(jìn)去的，因此電梯的運(yùn)行速度為每秒半個(gè)臺(tái)階，那么在小剛登梯的20 秒內(nèi)，電梯也“縮”了10 級(jí)，所以電梯所能見(jiàn)到的部分是60+10=70 級(jí)，所以，小志攀登靜止的電梯分別需要用時(shí) 702=35 秒【答案】35 秒【例 6】 小淘氣乘正在下降的自動(dòng)扶梯下樓，如果他一級(jí)一級(jí)的走下去，從扶梯的上端走到下端需要走36

13、級(jí)如果小淘氣沿原自動(dòng)扶梯從下端走到上端(很危險(xiǎn)哦，不要效仿!)，需要用下樓時(shí)5 倍的速度走60 級(jí)才能走到上端請(qǐng)問(wèn)這個(gè)自動(dòng)扶梯在靜止不動(dòng)時(shí)有多少級(jí)?【考點(diǎn)】行程問(wèn)題之扶梯問(wèn)題【難度】4 星【題型】解答【解析】小淘氣上樓走 60 級(jí)的時(shí)間，下樓只能走60 5 =12 (級(jí))而下樓走了 36 級(jí)，所以下樓用的時(shí)間是上樓時(shí)間的36 12 = 3(倍).設(shè)小淘氣上樓的時(shí)間自動(dòng)扶梯走了 級(jí)，則下樓的時(shí)間內(nèi)自動(dòng)扶梯走了3x 級(jí)x根據(jù)自動(dòng)扶梯的級(jí)數(shù)可列方程：36 + 3x = 60 - x ，解得 x = 6 (級(jí))，自動(dòng)扶梯有60 - x = 54 (級(jí))【答案】54 級(jí)【例 7】 甲在商場(chǎng)中乘自動(dòng)扶梯從

14、一層到二層，并在順?lè)鎏葸\(yùn)行方向向上走，同時(shí)乙站在速度相等的并排扶梯從二層到一層當(dāng)甲乙處于同一高度時(shí)，甲反身向下走，結(jié)果他走了 60 級(jí)到達(dá)一層如果他到了頂端再?gòu)摹吧闲蟹鎏荨狈祷?，則要往下走80 級(jí)那么，自動(dòng)扶梯不動(dòng)時(shí)甲從下到上要走多少級(jí)？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題之扶梯問(wèn)題【難度】4 星【題型】解答3【解析】首先，由于第一種情況下甲往下走時(shí)走的總臺(tái)階數(shù)是第二種情況下的60 80 = ，41也就是說(shuō)在相同時(shí)間內(nèi)，自動(dòng)扶梯由上往下走了兩層高度的 ，而甲和自動(dòng)扶梯43共同走了兩層高度的 ，說(shuō)明第一種情況下，甲乙相遇時(shí)甲的高度是兩層之間高43度 的 那 么 可 知 甲 和 自 動(dòng) 扶 梯 的 速 度 和 與 自 動(dòng) 扶 梯 的 速 度 之 比 是43434: 1-= 3:1 ，說(shuō)明甲走動(dòng)的速度是扶梯速度的 2 倍如果甲沿著扶梯向下走，