第4講.全等三角形的經(jīng)典模型(二).提高班.教師版

1、4全等三角形的經(jīng)典模型（二）滿分晉級(jí)階梯三角形9級(jí)全等三角形的經(jīng)典模型（二）三角形10級(jí)勾股定理與逆定理三角形11級(jí)特殊三角形之直角三角形秋季班第三講秋季班第十一講秋季班第十二講漫畫釋義等等腰知識(shí)互聯(lián)網(wǎng)題型一：“手拉手”模型思路導(dǎo)航“手拉手”數(shù)學(xué)模型：fdeheaefodooaabcbcbc例題精講f【引例】如圖，等邊三角形abe與等邊三角形afc共點(diǎn)于a，連接bf、ce，求證：bf=ce并求出eob的度數(shù).e【解析】abeafc是等邊三角形gaoae=ab，ac=af，eab=fac=60bceab+bac=fac+bac即eac=bafaecabfbf=ecaec=abf又age=bgob

2、oe=eab=60eob=60典題精練【例1】如圖，正方形bafe與正方形acgd共點(diǎn)于a，連接bd、cf，求證：bd=cf并求出doh的度數(shù).【解析】同引例，先證明abdafcdbd=fc，bda=fcadho=chafohgdoh=cad=90eabc【例2】如圖，已知點(diǎn)c為線段ab上一點(diǎn)，acm、bcn是等邊三角形求證：an=bm.將acm繞點(diǎn)c按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180，使點(diǎn)a落在cb上，請(qǐng)你對(duì)照原題圖在圖中畫出符合要求的圖形；在得到的圖形中，結(jié)論“an=bm”是否還成立，若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；在所得的圖形中，設(shè)ma的延長(zhǎng)線交bn于d，試判斷abd的形狀，并證明你的結(jié)論nn

3、mccab【分析】這是一個(gè)固定b；后運(yùn)動(dòng)變化的探索題，且在一定的條件下，探究原結(jié)論的存在性（不變性）需要畫圖分析、判斷、猜想、推理論證【解析】acm、bcn是等邊三角形ac=cm，bc=cnacm=bcn=60acn=mcb在acn和mcb中ncabmacn=mcbcn=cbac=mcacnmcb（sas）an=bm將acm繞點(diǎn)c旋轉(zhuǎn)如圖：在的情況，結(jié)論an=bm仍然成立證明：bcm=nca=60，ca=cm，cn=cbcancmb（sas），an=mb如圖，延長(zhǎng)ma交bn于d，則abd為等邊三角形證明：cam=bad=abd=60abd是等邊三角形cndabm題型二：雙垂+角平分線模型典題精

4、練【例3】在abc中，bac=90，adbc于d，bf平分abc交ad于e，交ac于f.求證：ae=af.ab2e1345fdc【解析】bac=90，3+dac=90adbcadc=90c+dac=90c=34=3+1，5=c+2bf是abc的角平分線1=24=5ae=af【例4】如圖，已知abc中，acb=90，cdab于d，abc的角平分線be交cd于g，交ac于e，gfab交ac于f求證：af=cg【分析】要證af=cg，一般想到證明這兩條線段所在的三角形c全等，由圖形可知，不存在直接全等三角形，因此要想到添加輔助線構(gòu)造全等三角形【解析】作ehab于hfe54g3211=2，acb=90

5、adbec=eh（角平分線定理）又cdab3=a4=3+1，5=a+2c54=5ce=cgcg=eh又gfab，ahe=fgc=90afe4ghd321ba=cfgcfgeah（aas）cf=ea，cf-ef=ea-ef，ce=afaf=cg題型三：半角模型典題精練【例5】已知：正方形abcd中，man=45，man繞點(diǎn)a順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交線段cb、dc于點(diǎn)m、n.求證bm+dn=mn.e【解析】延長(zhǎng)nd到e使de=bm四邊形abcd是正方形ad=ab在ade和abmadnadnade=bad=abbmcbmcde=bmadeabmam=aebam=daeman=eanan=an的點(diǎn)，

6、且be+fd=ef.求證：eaf=bad.man=45bam+nad=45man=ean=45在amn和aen中ma=eaamnaenmn=ende+dn=bm+dn=mn【例6】如圖，在四邊形abcd中，b+d=180，ab=ad，e、f分別是線段bc、cd上12adahdfbec【解析】延長(zhǎng)fd到h，使dh=be，易證abeadh，再證aefahf11eaf=fah=eah=bad22bfec【例7】在等邊三角形abc的兩邊ab、ac所在直線上分別有兩點(diǎn)m、n，d為三角形abc外一點(diǎn)，且mdn=60,bdc=120,bd=dc.探究：當(dāng)m、n分別在直線ab、ac上移動(dòng)時(shí)，bm、nc、mn之

7、間的數(shù)量關(guān)系aamnmnbcbcdd圖1圖2如圖1，當(dāng)點(diǎn)m、n在邊ab、ac上，且dm=dn時(shí)，bm、nc、mn之間的數(shù)量關(guān)系是；如圖2，點(diǎn)m、n在邊ab、ac上，且當(dāng)dmdn時(shí)，猜想問的結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明.【解析】如圖1，bm、nc、mn之間的數(shù)量關(guān)系bm+nc=mn猜想：結(jié)論仍然成立證明：如圖，延長(zhǎng)ac至e，使ce=bm，連接deqbd=cd且bdc=120dbc=dcb=30oabc是等邊三角形，ambd=ncd=ecd=90在mbd與ecd中：mnmbd=ecdbd=cdbm=cebdcemdn=ednmbdecd(sas)dm=de,bdm=cdeedn=bdc-m

8、dn=60在mdn與edn中：dm=dedn=dnmdnedn(sas)mn=ne=nc+bm第04講精講：典型的旋轉(zhuǎn)全等構(gòu)圖：“手拉手”全等模型探究；【探究一】“手拉手”模型基本構(gòu)圖；如圖1，若dabc與dade旋轉(zhuǎn)全等，則必有dabd與dace為兩個(gè)頂角相等的等腰三角形（即相似的等腰三角形）；反之，如圖2，若有兩個(gè)頂角相等的等腰三角形dabd與dace共頂角頂點(diǎn)，則必有dabc與dade旋轉(zhuǎn)全等；而圖2正是“手拉手”模型的基本構(gòu)圖；aaeebdbdcc圖1圖2【探究二】將探究一中的普通等腰三角形換成特殊的圖形，例如等邊三角形、等腰直角三角形、正方形，然后再探究結(jié)論如何變化；ddccgdcf

9、baebaebae圖3圖4圖5如圖3、圖4、圖5，當(dāng)兩個(gè)等邊三角形、等腰直角三角形、正方形共頂點(diǎn)時(shí)，dabc與dade仍然旋轉(zhuǎn)全等，并且有兩個(gè)共同的結(jié)論；結(jié)論1：dabcdade；bc=de；結(jié)論2：bc與de所夾銳角等于兩個(gè)等腰三角形的頂角；（倒角方法如下圖6、圖7、圖8的八字模型）ddccgdcfbaebaebae圖6圖7圖8【探究三】將探究二中的特殊圖形旋轉(zhuǎn)后結(jié)論是否仍然成立；如下圖9、圖10、圖11易得探究二中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立；ddgdfccceeebababa圖9圖10圖11【探究四】深化探究二中圖3的結(jié)論；如圖12，可得結(jié)論1：dabcdade；bc=de；結(jié)論2：bod=coe

10、=bad=cae=60；結(jié)論3：如圖12、圖13、圖14，可得三對(duì)三角形全等（dabcdade；dahddagb；dagcdahe）dddgochgochgochbaebaebae圖12圖13圖14結(jié)論4：如圖15，連接gh，可得dagh為等邊三角形；（由結(jié)論3可得ag=ah）ddgochmocnbaebae圖15圖16結(jié)論5：ghbe；（由結(jié)論4可得agh=bad=60）（結(jié)論6：連接ao，可得ao平分boe；如圖16，分別作ambc、ande，am與an分別是全等三角形dabc與dade對(duì)應(yīng)邊bc和de上的高，故相等）e復(fù)習(xí)鞏固da題型一手拉手模型鞏固練習(xí)fs【練習(xí)1】如圖，daab，ea

11、ac，ad=ab，ae=ac，則下列正確m的是（）ba.abdaceb.adfaescc.bmfcmsd.adcabe【解析】d【練習(xí)2】如圖，正五邊形abdef與正五邊形acmhg共點(diǎn)于a，連接bg、cf，則線段bg、cf具有什么樣的數(shù)量關(guān)系并求出gnc的度數(shù)【解析】先證abgafc可得bg=cf，acf=agbfenghnpg=apcgnc=gac=108dapm題型二雙垂+角平分線模型鞏固練習(xí)【練習(xí)3】已知ad平分bac，deab，垂足為e，dfac,垂足為f，且db=dc，則eb與fc的關(guān)系（）a.相等b.ebfcd.以上都不對(duì)【解析】abcebdafc題型三半角模型鞏固練習(xí)【練習(xí)4】

12、如圖，abc是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，bdc是等腰三角形，且bdc120以d為頂點(diǎn)作一個(gè)60角，使其兩邊分別交ab于點(diǎn)m，交ac于點(diǎn)n，連接mn，則aamn的周長(zhǎng)為【解析】6mbncda【練習(xí)5】如圖，在四邊形abcd中，b+adc=180，ab=ad，e、f分別是邊bc、cd延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且bfdceeaf=bad，求證：ef=be-fd12【解析】證明：在be上截取bg，使bg=df，連接agb+adc=180，adf+adc=180，ab=adfab=ad，abgadfbag=daf，ag=afbgcdfbag+ead=daf+ead=eaf=badgae=eafae=ae，aegaefe

13、g=efeg=be-bg，ef=be-fd12e思維拓展訓(xùn)練(選講)訓(xùn)練1.如圖，c為線段ab上一點(diǎn)，分別以ac、cb為邊在ab同側(cè)作等邊acd和等邊bce，ae交dc于g點(diǎn)，db交ce于h點(diǎn)，求證：ghabedghabc【分析】本題中，acd與bce是等邊三角形，因此ac=cd，bc=ce，acd=ecb=60，因?yàn)閍、c、b在同一條直線上，故dce=60這樣可以得到acedcb，aec=dbc，故可以得到cegcbh，則gc=hc，cgh=chg=60，所以acg=cgh=60，故ghab【解析】acd和bce是等邊三角形（已知）ac=cd，bc=ce（等邊三角形的各邊都相等）在ace和d

14、cb中，ace=dcbce=cb在bch和ecg中，bc=cecbh=cegacd=bce=60（等邊三角形的每個(gè)角都等于60）acd+dce+bce=180dce=60，ace=dcb=120ac=dcacedcb（sas）aec=dbc（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）bch=ecg=60bchecg（asa）ch=cg（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）cgh=chg（等邊對(duì)等角）gch+ghc+cgh=180（三角形內(nèi)角和定理）ghc=cgh=60acg=cgh=60（等量代換）ghab（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）訓(xùn)練2.條件：正方形abcd，m在cb延長(zhǎng)線上，n在dc延長(zhǎng)線上，man=45結(jié)論：mn=d

15、n-bm；ah=ab.adadqhhmbbmccnn【解析】在cd上取一點(diǎn)q，使dq=bm先證ambaqd可得am=aq再證amnaqnmn=nqdn-dq=dn-bm=nq=mnanhand，ah=ad=ab訓(xùn)練3.如圖，在rtabc中，銳角acb的平分線交對(duì)邊于e，又交斜邊的高ad于o，過o引ofbc，交ab于f，請(qǐng)問ae與bf相等嗎？理由是什么？aaao5544ef3eof12cdbcc1122eo3fddggbb【解析】相等理由如下：如圖，過e作egbc于gec平分acb，1=2eac=90，adbc1+4=90，2+3=903=43=5，4=5ae=aoec平分acb，eaac，eg

16、bcea=eg，ao=eg，fobcafo=b，bda=foa=90beg=faoafoebg（aas）af=beaf-ef=be-efae=bf訓(xùn)練4.如圖，abd為等腰直角三角形，man=45，求證：以bm、mn、dn為邊的三角形是直角三角形.【解析】過b作bd的垂線并取bq=nd，連接aq、qm先證aqband，aq=an再證aqmanmmn=qm以bm、mn、dn為邊的三角形是直角三角形.abmnd課后測(cè)測(cè)試1.如圖，等腰直角adb與等腰直角aec共點(diǎn)于a，連接be、cd，則線段be、cd具有什么樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系【解析】先證明abeadcbe=cd，再類似例1倒角即可得到becd

17、edoabc測(cè)試2.如圖，abd為等腰直角三角形，man=45，求證：以bm、mn、dn為邊的三角形是直角三角形.【解析】過b作bd的垂線并取bq=nd，連接aq、qm先證aqband，aq=an再證aqmanmmn=qm以bm、mn、dn為邊的三角形是直角三角形.abmnd第十五種品格：創(chuàng)新學(xué)會(huì)變通，變則通“一天早上，一位貧困的牧師，為了轉(zhuǎn)移哭鬧不止的兒子的注意力，將一幅色彩繽紛的世界地圖，撕成許多細(xì)小的碎片，丟在地上，許諾說：小約翰，你如果能拼起這些碎片，我就給你二角五分錢?！蹦翈熞詾檫@件事會(huì)使約翰花費(fèi)上午的大部分時(shí)間，但沒有十分鐘，小約翰便拼好了。牧師：“孩子，你怎么拼得這么快？”小約翰很輕松的答道：“在地圖的另一面是一個(gè)人的照片，我把這個(gè)人的照片拼在一起，然后