導(dǎo)數(shù)題型分類大全.

1、導(dǎo)數(shù)題型分類(A)題型一：導(dǎo)數(shù)的定義及計(jì)算、常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及運(yùn)算法則(一)導(dǎo)數(shù)的定義：函數(shù)y = f (x)在X0處的瞬時(shí)變化率lim = lim2 Ax 2 ，即f(xox) f (x)稱為函數(shù)y = f (x)在X處的導(dǎo)數(shù)，記作f/(X。)或y/f/(X0)= lim f(X0f(X0)如果函數(shù)y = f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的每點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù), 應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)此時(shí)對(duì)于每一個(gè) x ：= (a,b),都對(duì) f (x)。稱這個(gè)函數(shù)f/ (x)為函數(shù)y = f(x)在開區(qū)間內(nèi)的 導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)，也可記作y/，即f/(x) = y/ = f(x：x) f(x)lim0-X導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)都稱為

2、導(dǎo)數(shù)，這要加以區(qū)分：求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，就是求導(dǎo)函數(shù)；求函數(shù)= f(x)在X0處的導(dǎo)數(shù)y/f/(x)，從而構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)，就是導(dǎo)函數(shù)fx)在x0處的函數(shù)值，即y/1.函數(shù)y = f x在x = a處的導(dǎo)數(shù)為A,求片叩f a 4t - f a 5t。=f /(Xo)。2.求y二罕2在點(diǎn)X =3處的導(dǎo)數(shù)。x +3(二)常見基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和運(yùn)算法則c -0(C為常數(shù));(Xn)二nxnJ,n N ;(ex)X(a )二 a I n a ；(In x)(sinx) =cosx;1法則法則 , , 一JX1 : u(x)_v(x) =u(x)_v(x) 法則 2： 3:u(x) = uv(x)

3、(cosx) = - sin x;1(log x) log ea x aIIIu(x)v(x) = u (x)v(x) u(x)v (x)(理)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)：若(x)v(x) -U(X)V (x) , , 、 c、()(V)2(x)()()(V(X)“)y = f (u),u =F(X)，則 yx = f (x)L (x)如，(esinx) =； (sin ex) =公式(xn)/ = nxn4的特例：(x)、; |丄=,(Jx) =.lx丿題型二：利用導(dǎo)數(shù)幾何意義及求切線方程導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y = f (X)在X。處的導(dǎo)數(shù)是曲線 y二f (X)上點(diǎn)(x,f(X0)處的切線的斜率因此，如

4、果f (x0)存在，則曲線y = f (x)在點(diǎn)(x0, f (x0)處的切線方程為第18頁(yè)共15頁(yè)例1 若函數(shù)f(x)滿足，f (x-x f (1) xx,則f (1)的值3ax例2.設(shè)曲線y =e在點(diǎn)(0,1)處的切線與直線x 2y0垂直，則a =.練習(xí)題1.曲線y=4x_x在點(diǎn)-1，-3處的切線方程是y=x_22 若曲線f(x) =x4 _x在p點(diǎn)處的切線平行于直線3x_y =0，則p點(diǎn)的坐標(biāo)為 (1, 0)43若曲線y =x的一條切線I與直線x 4y-8 = 0垂直，則|的方程為4x- y-3 =04 .求下列直線的方程：(注意解的個(gè)數(shù))3 2 2(1) 曲線y二x x1在P(-1,1

5、)處的切線；(2)曲線y二X過點(diǎn)p(3,5)的切線;解:(1)；點(diǎn)P( -1,1)在曲線 y =x3 -X2 -1上,y/ = 3x2 ：-2x . k = y/ x 才=3 2=1所以切線方程為(2)顯然點(diǎn)P(3,5)不在曲線上，所以可設(shè)切點(diǎn)為 A(x0，y0)，則y0 =x。2又函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y/=2x ,所以過A(x0，y0)點(diǎn)的切線的斜率為k 4卜之=肌,又切線過A(x0，y0)、P(3,5)點(diǎn)，所以有2X0 =心x。3，由聯(lián)立方程組得,X0 二1 環(huán)X。二 5y25，即切點(diǎn)為(1, 1)時(shí)，切線斜率為=10 ；所以所求的切線有兩條，方程分p處切線傾斜角的取值范圍為0,寸,A . 1,

6、2B. 1,0C. 0,1劉=2X0 =2;；當(dāng)切點(diǎn)為(5, 25)時(shí)，切線斜率為 匕=2x 別為 y _1 =2(x -1)或y -25 =10(x -5),即y =2x -1 或y =10x -255.設(shè)P為曲線C： y= x2+ 2x+ 3上的點(diǎn)，且曲線 C在點(diǎn)則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為()6.下列函數(shù)中，在(0, +8)上為增函數(shù)的是(A.y=si nxB.xy =xeC.3y 二 xXD.y=l n(1+x) x7.設(shè)f(x),g(x)是 R 上 的可導(dǎo) 函數(shù)，f (x), g (x)分 別 為f(x),g(x)的 導(dǎo)數(shù)，且f (x)g (x) f (x)g (x) ： 0 ,則當(dāng) a

7、xf(b)g(x)B.f(x)g(x)f(b)g(b)C.f(x)g(a)f(a)g(x)D.f(x)g(x)f(b)g(a)題型三：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性1.設(shè)函數(shù)y= f(x)在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，貝yy= f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，則 y二f (x)是這個(gè)區(qū)間內(nèi) 單調(diào)遞減2.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法：(1)求導(dǎo)數(shù) y、f (x) ；(2)解方程 f (x) =0；(3)使不等式f (x) . 0成立的區(qū)間就是遞增區(qū)間，使f (x) 0成立的區(qū)間就是遞減區(qū)間3若函數(shù)y = f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增，則f(x)_O在(a,b)恒成立.

8、例：1.函數(shù)y = xcosx sinx在下面哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)()(D) (2 二，3 二)/ 、，兀3兀3兀5兀(A)(2，y )( B)(二，2 二)(C) (y，)2.函數(shù)f(x)=xlnx(x0)的單調(diào)遞增區(qū)間是 3.已知函數(shù)f(x) =ex -ax+1在r上單調(diào)遞增,則a的取值范圍是 題型四：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值。22 已知函數(shù)y (x) =X(X c)在X =2處有極大值，則常數(shù) c=65.已知函數(shù)f (x)a的取值范圍是(1. f(X)二X - 3x? 2在區(qū)間-1,1 L的最大值是2=X3 ax2 (a 6)x 1有極大值和極小值，則實(shí)數(shù)A.-1 v av 2B.a

9、v -3 或 a6 C.-3 v av 6 D.a v -1 或 a2作業(yè)和練習(xí)：1已知函數(shù)f(x) = x2-2ax a在區(qū)間(汽1)上有最小值，貝U函數(shù)g(x)二丄在區(qū)間(1, x+R)上一定()A.有最小值B.有最大值C.是減函數(shù)D.是增函數(shù)2 已知函數(shù)f (x) = ax3 bx2 -3x在x二1處取得極值，求過點(diǎn) A(0, 16)作曲線y=f(x)的切線，求該切線的方程3 .已知函數(shù)f (x) = xln x(1) 求f(x)的最小值(2) 若對(duì)所有x 1都有f(x) ax-1,求a的取值范圍1 24.已知函數(shù)f(x)= x -lnx,其中a為大于零的常數(shù). 2a(1) 當(dāng)a=1時(shí)，

10、求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值(2) 當(dāng)1,2時(shí)，不等式f(x)2恒成立，求a的取值范圍y=3x+15.已知函數(shù) f(x) =x3 - ax2 - bx - c,過曲線y二 f (x)上的點(diǎn)p(1, f (1)的切線方程為(I)若函數(shù)f (x)在x = -2處有極值，求f (x)的表達(dá)式；(n)在(I)的條件下，求函數(shù) y = f(x)在3, 1上的最大值；(川)若函數(shù)y = f(x)在區(qū)間2, 1上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù) b的取值范圍322解：(i)由 f (x) = x ax bx c,求導(dǎo)數(shù)得 f (x)二 3x - 2ax b.過y二f(x)上點(diǎn)P(1, f)的切線方程為： y - f (1

11、) =f (1)(x -1),即y (a b e 1) =(3 2a b)(x -1).而過y二f (x)上 P1, f的切線方程為y = 3x 1.3 +2a +b =3故 ggd即嚴(yán)+ba e =d/ y = f (x)在x = -2時(shí)有極值，故f (-2) =0,. -4a - b = -12 由得a=2 , b= 4, e=5.f(x) =x3 2x2 -4x 5.(2) f (x) =3x2 4x-4 = (3x -2)(x2).2一3 乞x：:2時(shí),f (x)0;當(dāng)2 Ex 時(shí)，f (x)：:0;當(dāng)3當(dāng) x _1 時(shí)，f (x)0. f(x)極大二 f(2)=133又 f(1)=4

12、,. f(x)在3, 1上最大值是 13。2f (x) = 3X 2ax b,由知 2a+b=0。依題意當(dāng)當(dāng)詣一2時(shí),f(x)mimin二 f (-2) =12 2b b _0, b當(dāng)-2江淚時(shí),f(x)mimin212b f -0,貝V0 遼 b 乞 6. 12綜上所述，參數(shù)b的取值范圍是0：=)3丄26.已知三次函數(shù)f(x)=x ax bx c在x=1和x = T時(shí)取極值，且仁一2)=一4(1)求函數(shù)y (X)的表達(dá)式;f (x)在2, 1上恒有 f (x) 0，即 3x2 - bx b 一 0.1 時(shí)，f (x)min = f (1) =3 b b 0, b 一 6 6 求函數(shù)y =f

13、(x)的單調(diào)區(qū)間和極值； 若函數(shù)g(x) = f(x-m) Fmg 0)在區(qū)間m-3, n上的值域?yàn)橛?，試求m、n應(yīng)滿足 的條件.2解. f (x) =3x 2ax b，由題意得，匕一1是3x2 0x5=0的兩個(gè)根，解得，a, b=_3 .3再由“衛(wèi))=4 可得 c = _2 . f (x) =x - 3x_2 .2(2) f (x) =3x _3=3(x 1)(X_1),當(dāng) x 0 ；當(dāng) x =-1 時(shí)，f (x) =0 ；當(dāng)1 ex -0f( x)(3分幣曲【門在日處凰得極 口時(shí)即卞時(shí) p 在【0 1 +a _th( k) c 0,在 f 1+, +) _th ( x J 0/所以hl買

14、)在t 0, 1*白)上単調(diào)劇，在t 1+a. +)上單加壇；(7分 當(dāng) 1+a Ot所以函數(shù)h)O在f (b *e)上車調(diào)謹(jǐn)増.盼)C III)正口 *電上存正1點(diǎn)和*便霧代) g( )咸遼I即1 + 呂p* + 1由 h(e) = e+a,2&e -1因?yàn)榭找籩- 1，e- 1e2 + l所a ar； 0分)e- 1 當(dāng)1 + ai,即宜筆D時(shí)h( x)在1,創(chuàng)上單調(diào)謹(jǐn)増所臥hD 棗小值為h(1) j ih( 1) =1+1+3。可得恥-2 ；( 當(dāng)“ 1+a 8i即X a e-191,可得hf )0雖小值為旗1+a)因?yàn)?CK ln( 1 +a) 1 j所以0 a1n( 1 +a) 2此

15、時(shí).he 或a0；當(dāng) 為:X ：: X2時(shí)，f (x) V0；當(dāng) x X2時(shí)，f (x) 0因此Xl是極大值點(diǎn)，X2是極小值點(diǎn).，當(dāng)b=1時(shí)，不論a取何實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)總有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)。題型五：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象y =X3 _4x +1的圖像為2 函數(shù) 3(A)D )3 方程2x3 -6x2=0在(0,2)內(nèi)根的個(gè)數(shù)為y422-2-2-4yd64W0 2入 -2-44A、0 B 、1C、2題型六：利用單調(diào)性、極值、最值情況，求參數(shù)取值范圍1322f(x) = x 2ax -3a x b,0 ： a ： 1.1 設(shè)函數(shù)3(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間、極值(2)若當(dāng)x a 1，a 2時(shí)

16、，恒有1 f (x) 4 a，試確定a的取值范圍2 2解.(i)f (x) = _x +4ax-3a =-(x-3a)(x-a)令 f(x)=O 得 X! = a, x=3a列表如下：f(x)極小 .極大f(x)在a, 3a） 上單調(diào)遞增，在（-g,玄）和（3a, +8）上單調(diào)遞減x 二a 時(shí),4 3f極小(x) = b a3，x - 3a 時(shí)f極小（x） = bx(-g , a) a(a, 3a)3a(3a , +8)f (x)- 0+ 0-1 ）求a、b的值與函2123)= 94a+ b = 031f (1) = 3+ 2a+ b = 0 得 a =2 ,2 2(2) f (x) = x

17、*4ax 3a . 0 a 1 對(duì)稱軸 x = 2a ca+1 f (x)在a+1 , a+2上單調(diào)遞減.fMax - -(a 1) 4a(a 1)-3a2 =2a-1fmi -(a 2)2 4a(a 2)-3a2 =4a-4依題 I f (x) | - a ：= I fMax - a I f min - a 即 |2a-1|_a,| 4a - 4 |_ a4 _a -1 a的取值范圍是解得 5,又 0 ： a ：1f (x)= 3x2 x 2=( 3x + 2) (x 1),函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間如下表:x2(-比,2 .已知函數(shù)f (x) = x3+ ax2 + bx+ c在x= 3與x

18、= 1時(shí)都取得極值數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間 )232(3 , 1)1(1, +)f (x)+0一0+f (x)極大值極小值2 2所以函數(shù)f （x）的遞增區(qū)間是（一:,3 ）與（1, + ：）,遞減區(qū)間是（一 3 , 1）22(2) f (x)= x3 2 x2-2x + c, xw 1, 2，當(dāng) x=- 3 時(shí)，f (x) = 27 + c為極大值，而f (2)= 2+ c,貝U f ( 2)= 2 + c為最大值。要使 f (x) f (2) = 2 + c,解得 c2題型七：利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根1.已知平面向量a=(3, 1).卞=(2,3T).(1)若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)x = a+(t2

19、 3)b , y =-k a+tb , x 丄 y ,試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t);據(jù)(1)的結(jié)論，討論關(guān)于t的方程f(t)k=0的解的情況.解: (1) V X 丄 y X y =0即a +(t2-3)(-ka +tb )=o.2整理后得-k a +t-k(t2-3)a b +(t2- 3) b =o2=0, a =4,上式化為-4k+t(t2-3)=0即 k= 4 t(t2-3)(2)討論方程14 t(t2-3)-k=0的解的情況，可以看作曲線1f(t)=4 t(t2-3) 與直線y=k的交點(diǎn)個(gè)33t(-m, -1)-1(-1,1)1(1,+ m)f (t)+0-0+F(t)/極大值極小值/

20、f(t)的變化情況如下表:令 f (t)=0.1當(dāng)t= 1時(shí)，f(t)有極大值，f(t)極大值=2 .解得t1=-1,t2=1.當(dāng)t變化時(shí)，f 、是 fz (t)=4 (t2-1)=4(t+1)(t-1).1當(dāng)t=1時(shí)，f(t)有極小值，f(t)極小值=2 函數(shù)f(t)=4 t(t2-3)的圖象如圖13 2 1所示,可觀察出：1 1(1)當(dāng)k 2或kv 2時(shí),方程f(t) k=0有且只有一解；1 1當(dāng)k= 2或k= 2時(shí)，方程f(t) k=0有兩解；1 1 當(dāng)一2 v kv 2時(shí),方程f(t) k=0有三解.2已知函數(shù)f(x)二kx3 -3(k 1)x2 -2k24,若f (x)的單調(diào)減區(qū)間為

21、(0, 4)(I) 求k的值；(II) 若對(duì)任意的t -1,1,關(guān)于x的方程2x2 5x f (t)總有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值 范圍。解: (I) f (x3kx2 -6(k 1)x 又 f(4)=0,. k = 14分(II) f (t) =3t2 -12t 一1 ： t : 0時(shí)f (t)0;0 ： t : Wf (t) : 028a25且 f (-1) = 5, f (1) = 3, . f (t) _ -52x 5x a _88a 25丿廠肩刀曰 丿15. _8 8題型八：導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合1設(shè)a,函數(shù)dax在1,二）上是單調(diào)函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2） 設(shè) x0 1, f（

22、X） 1,且 f（f（x0）=x0，求證：f（X0）= X0.解: （1） y = f（X）=3x2 -a諾f（x）在H,上是單調(diào)遞減函數(shù)，貝y須y ： 0,即a 3x這 樣的實(shí)數(shù)a不存在.故f（X）在1上不可能是單調(diào)遞減函數(shù).若f（x）在1 7上是單調(diào)遞增函數(shù)，則a 3x2,由于 x 1 : ,故3x -3.從而 0a 3.（2）方法1、可知f（X）在1 =上只能為單調(diào)增函數(shù).若1 X。 f（X。），則f（X0） c f （f（X。）= X 矛盾，若 1 w f（X0）CX0,則 f （f（X0） 3,又0caw3 二 x0+x0u+u +1 a023f(x)=(x +：)(x+a)2 已知

23、a為實(shí)數(shù)，函數(shù)2(1) 若函數(shù)f(x)的圖象上有與x軸平行的切線，求 a的取值范圍(2) 若(-1)，(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間X XE(10)1 f(xiHf(x2)K5(n)證明對(duì)任意的 冷x2 (-|,0)，不等式16恒成立323323* f (x) = x ax x a . f (x)二 3x2ax解：22,函數(shù)f(x)的圖象有與x軸平行的切線， f(x)=0有實(shí)數(shù)解2，所以a的取值范圍是(八，-2 刁 U；)3.：=4a2 -4 30 a2= 3(x+*)(x + 1)9293af (x) = 3x x4f (x) 由 f(x) Qx :： -1 或 2 ； 由(-, 1),(1

24、，母)(1,丄)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是2；單調(diào)減區(qū)間為2a3已知函數(shù)f (x) = In x -一x(1)當(dāng)a 0時(shí)，判斷f (x)在定義域上的單調(diào)性3若f (x)在1,e上的最小值是，求a的值;22_設(shè)g(x) = In x-a，若g(x) : x在(0,e上恒成立，求a的取值范圍題型九：導(dǎo)數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用1 .請(qǐng)您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長(zhǎng)為3m的正六棱錐(如右圖所示)。試問當(dāng)帳篷的頂點(diǎn) 0到底面中心01的距離為多少時(shí)，帳篷的體積最大？ 解：設(shè) 001 為 x m，則 1 ： x ： 4由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長(zhǎng)為：3 -(X-1)=y8 + 2x

25、QF ,(單位:m故底面正六邊形的面積為:,(單位：m100 =第20頁(yè)共15頁(yè)(16 12x x3)2(單位:V (x) = 口 (8 2x x2 )(x 1)1-帳篷的體積為:2332V(x)(123x2)求導(dǎo)得2。令V(X) 0，解得X = -2 (不合題意，舍去)，X = 2 ,當(dāng) 1：x：；2 時(shí)，V(x) 0 , V (x)為增函數(shù)；當(dāng) 2 ： X :： 4 時(shí)，V(x) :： 0 , V ( X)為減函數(shù)。.當(dāng)x = 2時(shí)，V (X)最大。答：當(dāng)OO1為2 m時(shí)，帳篷的體積最大，最大體積為 16 3 m3。2 統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量y (升)關(guān)于行駛速度 X (千米/133yx x 8(0 ： x E 120).小時(shí))的函數(shù)解析式可以表示為:128000 80已知甲、乙兩地相距 100千米。(I )當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？ (II )當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升?解:當(dāng)X =40時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了40小時(shí),(1x40 一2x40 +8)x2.5=17.5要耗沒 12800080(升)。100(II )當(dāng)速度為x千米/小時(shí)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了x小時(shí)，設(shè)耗油量為h(x)升,