等價(jià)鞅測度模型和無套利均衡基本定理

1、第七章 等價(jià)鞅測度模型和無套利均衡基本定理一、等價(jià)鞅測度的基本涵義1、鞅的定義：隨機(jī)過程 Zn,n 0如果滿足以下兩個(gè)條件：（1）E|Zn| ，對于 n0 的任何 n。（2） EZn 1 |Z0 Zn Zn2、等價(jià)鞅測度的定義隨機(jī)過程 S（t ）, t （0, ） 是一個(gè)鞅（對應(yīng)于信息結(jié)構(gòu) t和條件 概率 P*）如果對任意 t 0，滿足以下三個(gè)條件：（1）S（t ）在 t 信息結(jié)構(gòu)下已知。（2） E |S（t） |（3） E S（T） S（t），t T，以概率為 1 成立。k即E *S（T）| tP*S（i） Sti1式中 T 時(shí) S（T）的可能取值 S1，S2 Sk共 k 種， P*為相應(yīng)的

2、條 件概率。則稱條件概率 P*為真實(shí)概率 P 的等價(jià)鞅測度或等價(jià)鞅概率。根據(jù)等價(jià)鞅測度的關(guān)系，正是表達(dá)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原則，即各階段 依信息結(jié)構(gòu) t 決定的條件概率所求的平均價(jià)值的現(xiàn)值，總與初始階段 的價(jià)值相等，這樣就可以求解條件概率 P*，在無套利條件下作為現(xiàn)實(shí) 世界的 P，為期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)服務(wù)。為了更好地理解風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)，我們可以舉一個(gè)簡單的例子來說假設(shè)一種不支付紅利證券( no-dividend-paying )目前的市價(jià)為 100元，我們知道在半年后， 該股票價(jià)格要么是 110 元，要么是 90元。 假設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險(xiǎn)年利率等于 10%，現(xiàn)在我們要找出一份 6 個(gè)月期協(xié) 議價(jià)格為 105

3、 元的該股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。由于歐式期權(quán)不會提前執(zhí)行，其價(jià)值取決于半年后證券的市價(jià)。若 6 個(gè)月后該股票價(jià)格等于 110 元，則該期權(quán)價(jià)值為 5 元；若 6 個(gè)月 后該股票價(jià)格等于 90 元，則該期權(quán)價(jià)值為 0。為了找出該期權(quán)的價(jià)值，我們假定所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。 在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，我們假定該股票上升的概率為 P*，下跌的概率為 1-P* 。這種概率被稱為風(fēng)險(xiǎn)中性概率，它與現(xiàn)實(shí)世界中的真實(shí)概率是 不同的。實(shí)際上，風(fēng)險(xiǎn)中性概率已經(jīng)由股票價(jià)格的變動情況和利率所 決定：e 0.1 0.5110P * 90(1 P*) 100P*=0.7564根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，我們就可以算出該期權(quán)的價(jià)值：

4、f e 0.1 0.5 (5 0.7564 0 0.2436) 3.5975二、從實(shí)例考察等價(jià)鞅測度的存在性和唯一性 參閱金融工程原理 P,108-P112 例 1. 通過等價(jià)鞅概率求期望值 (1)先求各狀態(tài)下該奇異期權(quán)的價(jià)值 奇異期權(quán)：合約結(jié)構(gòu)不標(biāo)準(zhǔn)而且很復(fù)雜，而不是說很罕見、很少 交易或高風(fēng)險(xiǎn)的期權(quán)。可分為三種類型：合同條件變更型期權(quán)(改變2期權(quán)的某些條件) 、路徑依賴型期權(quán) (最終結(jié)算根據(jù)基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格在一 段時(shí)間內(nèi)的變化路徑來決定) 、多因素期權(quán) (最終結(jié)算根據(jù)兩種或兩種 以上基礎(chǔ)資產(chǎn)的價(jià)格來決定) 。x max 2s1(2) s2(2) 14 2min s1(t),s2(t) ,0 所

5、以 x( 1) max2 14 9 14 2min(10,11,14,10,9,9),0 =28+9-14-18=5同理可求得 x( 1),i 1,2 9，如以下圖示：(2) 求出所有的等價(jià)鞅測度 由等價(jià)鞅測度的條件 3 可知： E*S( t )/ s S( s) 所以： E* (S1 (1) / 0) S1(0) 10E* ( S2 (1) / 0) S2(0) 10如果記 p P* (B1 / 0) q P* (B2 / 0) 則一定有 1-p-q= P * (B3 / 0 )由上兩式可知：11p 11q 8(1 p q) 109p 10q 11(1 p q) 10 解此方程組可得唯一解：

6、 p=q=1/3 同理可求得： P * ( 1 / Bj) i=1,2, 9 j=1,2,3 因?yàn)樗薪舛伎汕蟪觯沂俏ㄒ坏?，所以由無套利均衡第二基 本定理可知該模型是有生存性的，所有的衍生證券均可通過無套利均 衡來定價(jià)。(3) 求奇異買權(quán)的價(jià)格9? E* (x) x( i)P* ( i) 1.2167i1例 2. 首先求等價(jià)鞅測度 P*，由等價(jià)鞅測度的條件 3 可知：E * (S1(1) / 0) S1(0) 10記 p P*(B1 / 0) 則 1-p P*( B2 / 0) 可得方程組：11p 11q 8(1 p q) 10 3p 2即9p 10q 11(1 p q) 10 即 2p

7、1所以此方程組無解，故不存在等價(jià)鞅測度，該模型無生存性，不 是一個(gè)均衡模型。例 3. 首先求等價(jià)鞅測度 P* ，由等價(jià)鞅測度的條件 3 可知： E* (S1 (1) / 0) S1(0) 10 記 p P*(B1/ 0) q P*(B2 / 0) 則一定有 1-p-q= P*(B3 / 0)11p+10q+8(1-p-q)=10即 3p+2q=2顯然，上面這個(gè)方程有無數(shù)組解。 同理，由 E*(S1(2)/B1) S1(1) 11也可以解得無數(shù)個(gè)解，所以等價(jià)鞅測度有無數(shù)個(gè)，從而該模型有生存性，但是并非所有的衍生證券都可通過無套利均衡定價(jià)。因?yàn)檠苌C 券的價(jià)格 x 要保證為一個(gè)常數(shù)才有意義， 所以

8、應(yīng)該有一定的限制條件。我們雖然得不到唯一的等價(jià)鞅測度，但由等價(jià)鞅測度的條件3 我們可 以得到以下關(guān)系式：3P *( B1 / 0) 2P*( B2/ 0) 2*)2P*( 1/B1) 2P*( 2 /B1) 12P*( 4 /B2) 2P*( 5/B2) 13P*( 7 /B3) 2P*( 8 /B3) 29 我們需要保證： E* (x) x( i)P* ( i)是一個(gè)常數(shù) .i1E*(x) x( 1)P*( 1/B1)P*(B1/ 0) x( 2)P* P*( 2/B1)P*(B1/ 0) x( 3)P*(3/B1)P*(B1/0)x(4)P*(4/B2)P*(B2 /0)x( 5)P*(5

9、/B2)P*(B2 /0)x(6)P*(6/B2)P*(B2 /0)x( 7)P*(7 /B3)P*(B3/0)x(8)P*(8/B3)P*(B3/0)x( 9)P*(9 /B3)P*(B3 /0)(書上的表達(dá)方式不太準(zhǔn)確)由上式和方程組( * )經(jīng)過推導(dǎo)可得：x( 1) x( 3)/x( 2) x( 3)(* )1x( 4)x(6)/x(5)x(6)1x( 7)x(9)/x(8)x(9)3/21 (*)2x( 1) x( 3) x( 3) 2/3x( 7 ) x( 9) x( 9 ) 31/2x( 4) x( 6 ) x( 6) 2/3x( 7) x( 9) x( 9) 2(* )方程組就是

10、使我們尋找的限制條件，在這一條件下E*(x)在任何等價(jià)鞅測度下都為一常數(shù)。由方程組( * )可求得兩個(gè)等價(jià)鞅測度 P*和 Q*(書 111 頁)，從而算得99E*(x) x( i)P* ( i) E*(x) x( i)Q* ( i)i 1 i 1總結(jié)： (1)如果一個(gè)市場中價(jià)格變化過程各自獨(dú)立的證券種數(shù)大于事件 樹每個(gè)父輩節(jié)點(diǎn)的分叉數(shù)(即狀態(tài)數(shù))時(shí)，則該市場中一定存在套利 機(jī)會。(如例 2)(2) 如果一個(gè)市場中價(jià)格變化過程各自獨(dú)立的證券種數(shù)等于事件 樹每個(gè)父輩節(jié)點(diǎn)的分叉數(shù)(即狀態(tài)數(shù))時(shí)，則該市場中所有的衍生證 券都可通過無套利均衡定價(jià)，或者說，對每種衍生證券來說，市場都 是完全的。(如例 1

11、)(3) 如果一個(gè)市場中價(jià)格變化過程各自獨(dú)立的證券種數(shù)小于事件 樹每個(gè)父輩節(jié)點(diǎn)的分叉數(shù)(即狀態(tài)數(shù))時(shí)，則該市場并非所有的衍生 證券都可通過無套利均衡定價(jià)。市場只對其期末價(jià)值滿足一定比例關(guān) 系式的衍生證券才是完全的。 (如例 3)三、用鞅方法推導(dǎo) BS 模型(1)鞅：對于 Xt t T，EXT=Xt 稱 Xt 是鞅。( 2)資產(chǎn) S，服從幾何布朗運(yùn)動：ds dt dzs ds在風(fēng)險(xiǎn)中性世界，且無“股利”支付時(shí)： rdt dz s解上面方程得：(r 2 )(T t) (Zt Zt )ST Ste(上式積分求解)EST=Ster(T-t)( 上式兩邊求期望 )St, t T本身不是鞅但折現(xiàn)之后就變?yōu)?/p>

12、鞅，即 e-r(T-t) St 是鞅。因?yàn)椋篹-r(T-t) ESt= Ster(T-t) e-r(T-t)Ee-r(T-t) ST=St(3)下面用期望折現(xiàn)，即鞅方法定價(jià)， (為期權(quán)定價(jià)) 根據(jù)歐式期權(quán)定義： CT=max(ST-x ，0), 因?yàn)?e-r(T-t) ST 是鞅，所以 e-r(T-t) CT也是鞅， 則 Ee-r(T-t) CT=CtCt=e-r(T-t) ECT Ct e r(T t)Emax( ST x),0 e r(T t)E(ST x)2(r )(T t)=e r(T t)E(Ste 2 e (ZT Zt) X)2=e r(T t) (Ste(r 2 )(T t)e

13、(ZT Zt) X) ZT Zt (x)dx令 y ZTT Ztt 則 yN(0，1)上式e r(T t) (2(r )(T t)e(r 2)(T t)Ste T t yX) 1 e 2 dy2求臨界值 yi ，即等于 0時(shí)的 y 值2(r )(T t) T t y由 Ste 2 e T t y XX2ln (r )(T t) 解出 y S 2y12ye 2 dyTt2故 Ct er(T t)S e(r 2 )(T t )e T t yy1Ste r(T t) X 12y2e 2 dy（ 進(jìn)行配方 ）2Ste 2y112 y2 2 T t ydy Xe r(t t)1 N(y1)22(T t)St e 2y12 ey2 2 T ty 2(T t) 2(T t)dy Xe r (T t)1 N(y1)2St e 21 2 (T t) e2