初中數學背景知識29 圓錐曲線漫談素材 人教新課標版

1、圓錐曲線漫談圓錐曲線包括橢圓、拋物線、雙曲線和圓，通過直角坐標系，它們又與二次方程對應，所以，圓錐曲線又叫做二次曲線。圓錐曲線一直是幾何學研究的重要課題之一，在我們的實際生活中也存在著許許多多的圓錐曲線。我們生活的地球每時每刻都在環(huán)繞太陽的橢圓軌跡上運行，太陽系其他行星也如此，太陽則位于橢圓的一個焦點上。如果這些行星運行速度增大到某種程度，它們就會沿拋物線或雙曲線運行。人類發(fā)射人造地球衛(wèi)星或人造行星就要遵照這個原理。相對于一個物體，按萬有引力定律受它吸引的另一物體的運動，不可能有任何其他的軌道了。因而，圓錐曲線在這種意義上講，它構成了我們宇宙的基本形式。由拋物線繞其軸旋轉，可得到一個叫做旋轉物

2、面的曲面。它也有一條軸，即拋物線的軸。在這個軸上有一個具有奇妙性質的焦點，任何一條過焦點的直線由拋物面反射出來以后，都成為平行于軸的直線。這就是我們?yōu)槭裁匆烟秸諢舴垂忡R做成旋轉拋物面的道理。由雙曲線繞其虛軸旋轉，可以得到單葉雙曲面，它又是一種直紋曲面，由兩組母直線族組成，各組內母直線互不相交，而與另一組母直線卻相交。人們在設計高大的立塔時，就采取單葉雙曲面的體形，既輕巧又堅固。由此可見，對于圓錐曲線的價值，無論如何也不會估計過高。對于圓錐曲線的最早發(fā)現，眾說紛法。有人說，古希臘數學家在求解“立方倍積”問題時，發(fā)現了圓錐曲線：設x、y為a和2a的比例中項，即。a：xx：yy：2a，則x=ay,

3、 y22ax，xy2a2，從而求得x22a3。又有人說，古希臘數學家在研究平面與圓錐面相截時發(fā)現了與“立方倍積”問題中一致的結果。還有認為，古代天文學家在制作日晷時發(fā)現了圓錐曲線。日晷是一個傾斜放置的圓盤，中央垂直于圓盤面立一桿。當太陽光照在日晷上，桿影的移動可以計時。而在不同緯度的地方，桿頂尖繪成不同的圓錐曲線。然而，日晷的發(fā)明在古代就已失傳。早期對圓錐曲線進行系統(tǒng)研究成就最突出的可以說是古希臘數學家阿波羅尼（Apollonius,前262前190）。他與歐幾里得是同時代人，其巨著圓錐曲線與歐幾里得的幾何原本同被譽為古代希臘幾何的登峰造極之作。在圓錐曲線中，阿波羅總結了前人的工作，尤其是歐幾

4、里得的工作，并對前人的成果進行去粗存精、歸納提煉并使之系統(tǒng)化的工作，在此基礎上，又提出許多自己的創(chuàng)見。全書8篇，共487個命題，將圓錐曲線的性質網羅殆盡，以致后代學者幾科沒有插足的余地達千余年?，F在，我們都知道，用一個平面去截一個雙圓錐面，會得到圓、橢圓、拋物線、雙曲線以及它們的退化形式：兩相交直線，一條直線和一個點，如圖1，所示。在此，我們僅介紹阿波羅尼關于圓錐曲線的定義。如圖2，給定圓BC及其所在平面外一點A，則過A且沿圓周移動的一條直線生成一個雙錐面。這個圓叫圓錐的底，A到圓心的直線叫圓錐的軸（未畫出），軸未必垂直于底。設錐的一個截面與底交于直線DE，取底圓的垂直于DE的一條直徑BC，于

5、是含圓錐軸的ABC叫軸三角形.軸三角形與圓錐曲線交于P、P,PP未必是圓錐曲線的軸，PPM是由軸三角形與截面相交而定的直線，PM也未必垂直于DE。設QQ是圓錐曲線平行于DE的弦，同樣QQ被PP平分，即VQ=QQ?，F作AFPM，交BM于F，再在截面上作PLPM。如圖3，PLPP對于橢圓、雙曲線，取L滿足，而拋物線，則滿足，對于橢圓、雙曲線有QV2=PVVR，對于拋物線有QV2=PVPL，這是可以證明的兩個結論。在這兩個結論中，把QV稱為圓錐曲線的一個縱坐標線，那么其結論表明，縱坐標線的平方等于PL上作一個矩形的面積。對于橢圓來講，矩形PSRV尚未填滿矩形PLJV；而雙曲線的情形是VRPL，矩形P

6、SRV超出矩形PLJV；而拋物線，短形PLJV恰好填滿。故而，橢圓、雙曲線、拋物線的原名分別叫“虧曲線”、“超曲線”和“齊曲線”。這就是阿波羅尼引入的圓錐曲線的定義。阿波羅尼所給出的兩個結論，也很容易用現代數學符號來表示：趨向無窮大時，LS=0，即拋物線，亦即橢圓或雙曲線的極限形式。在阿波羅尼的圓錐曲線問世后的13個世紀里，整個數學界對圓錐曲線的研究一直沒有什么新進展。11世紀，阿拉伯數學家曾利用圓錐曲線來解三次代數方程，12世紀起，圓錐曲線經阿拉伯傳入歐洲，但當時對圓錐曲線的研究仍然沒有突破。直到16世紀，有兩年事促使了人們對圓錐曲線作進一步研究。一是德國天文學家開普勒（Kepler,157

7、11630）繼承了哥白尼的日心說，揭示出行星按橢圓軌道環(huán)繞太陽運行的事實；二是意大利物理學家伽利略（Galileo,15641642）得出物體斜拋運動的軌道是拋物線。人們發(fā)現圓錐曲線不僅是依附在圓錐面上的靜態(tài)曲線，而且是自然界物體運動的普遍形式。于是，對圓錐曲線的處理方法開始有了一些小變動。譬如，1579年蒙蒂（Guidobaldo del Monte,15451607）橢圓定義為：到兩個焦點距離之和為定長的動點的軌跡。從而改變了過去對圓錐曲線的定義。不過，這對圓錐曲線性質的研究推進并不大，也沒有提出更多新的定理或新的證明方法。17世紀初，在當時關于一個數學對象能從一個形狀連續(xù)地變到另一形狀的

8、新思想的影響下，開普勒對圓錐曲線的性質作了新的闡述。他發(fā)現了圓錐曲線的焦點和離心率，并指出拋物線還有一個在無窮遠處的焦點，直線是圓心在無窮遠處的圓。從而他第一個掌握了這樣的事實：橢圓、拋物線、雙曲線、圓以及由兩條直線組成的退化圓錐曲線，都可以從其中一個連續(xù)地變?yōu)榱硪粋€，只須考慮焦點的各種移動方式。譬如，橢圓有兩個焦點F1、F2，如圖4，若F1固定，考慮F2的移動，當F2向左移動，橢圓逐漸趨向于圓，F2與F2重合時即為圓；當F2向右移動，橢圓逐漸趨向于拋物線，F2到無窮遠處時即為拋物線；當F2從無窮遠處由左邊回到圓錐曲線的軸上來，即為雙曲線；當F2繼續(xù)向右移動，F2又與F1重合時即為兩相交直線，

9、亦即退化的圓錐曲線。這為圓錐曲線現代的統(tǒng)一定義提供了一個合乎邏輯的直觀基礎。隨著射影幾何的創(chuàng)始，原本為畫家提供幫助的投射、截影的方法，可能由于它與錐面有著天然的聯系，也被用于圓錐曲線的研究。在這方面法國的三位數學家笛沙格（Desargue1591 1661）、帕斯卡（Pascal，1623 1662）和拉伊爾（Phailippe de La Hire，16401718）得出了一些關于圓錐曲線的特殊的定理，可謂別開生面。而當法國另外兩位數學家笛卡兒和費馬創(chuàng)立了解析幾何，人們對圓錐曲線的認識進入了一個新階段，對圓錐曲線的研究方法既不同于阿波羅尼，又不同于投射和截影法，而是朝著解析法的方向發(fā)展，即通過建立坐標系，得到圓錐曲線的方程，進而利用方程來研究圓錐曲線，以期擺脫幾何直觀而達到抽象化的目標，也可求得對圓錐曲線研究高度的概括和統(tǒng)一。 到18世紀，人們廣泛地探討了解析幾何，除直角坐標系之外又建立極坐標系，并能把這兩種坐標系相互轉換。在這種情況下表示圓錐曲線的二次方程也被化為幾種標準形式，或者引進曲線的參數方程。1745年歐拉發(fā)表了分析引論，這是解析幾何發(fā)展史上的一部重要著作，也是圓錐曲線研究的經典之作。在這部著作中，歐拉給出了現代形式下圓錐曲線的系統(tǒng)闡述，從一般二次方程。出發(fā)，圓錐曲線的各種情形，經過適當的坐標變換，總可以化以下標準形式之一：繼歐拉之后，三維