線性系統(tǒng)的狀態(tài)綜合一PPT學習教案

1、會計學1線性系統(tǒng)的狀態(tài)綜合一線性系統(tǒng)的狀態(tài)綜合一或規(guī)律或規(guī)律。4.1 引言第1頁/共42頁 一般情況下，控制理論發(fā)展與控制系統(tǒng)設(shè)計的追求目標為解析的反饋控制作用規(guī)律反饋控制作用規(guī)律(反饋控制律)。 對復雜的動力學被控系統(tǒng)，在解析反饋控制規(guī)律難于求解的情形下，需要求系統(tǒng)的數(shù)值反饋控制規(guī)律或外部輸入函數(shù)的數(shù)值解序列(開環(huán)控制輸入)。第2頁/共42頁即觀測器問題觀測器問題。第3頁/共42頁第4頁/共42頁第5頁/共42頁第6頁/共42頁構(gòu)成反饋律，即狀態(tài)反饋狀態(tài)反饋。4.2 狀態(tài)反饋與輸出反饋第7頁/共42頁q 本節(jié)討論的主要問題： 基本概念: 狀態(tài)反饋、輸出反饋 基本性質(zhì): 反饋閉環(huán)系統(tǒng)的能控性/

2、能觀性q 本節(jié)的講授順序為: 狀態(tài)反饋的描述式狀態(tài)反饋的描述式 輸出反饋的描述式輸出反饋的描述式 閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性q 由于線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)空間模型以及能控性判據(jù)的類同性，因此本節(jié)討論的概念和方法也可推廣到線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)反饋和輸出反饋系統(tǒng)的分析和設(shè)計問題。 重點！第8頁/共42頁 B A C K u y + v x + - + x 開環(huán)系統(tǒng) 圖4-1 狀態(tài)反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖第9頁/共42頁其中K為rn維的實矩陣，稱為狀態(tài)反饋矩陣狀態(tài)反饋矩陣；v為r維的輸入向量，亦稱為伺服輸入。 將狀態(tài)反饋律代入開環(huán)系統(tǒng)方程， D=0則可得如下狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)

3、的狀態(tài)空間模型：q 狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可描述如下: 設(shè)開環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型和狀態(tài)反饋律分別記為ABCK xxuyxuxv()ABKBC xxvyx第10頁/共42頁 狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)可簡記為K(A-BK,B,C)，其傳遞函數(shù)陣為:GK(s)=C(sI-A+BK)-1B第11頁/共42頁 B A C H y - x u v + + + x 開環(huán)系統(tǒng) 圖4-2 輸出反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與狀態(tài)反饋有何不同?第12頁/共42頁q 輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可描述如下: 開環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型和輸出反饋律分別為ABCH xxuyxuyv其中H為rm維的實矩陣，稱為輸出反饋矩陣輸出反饋矩陣。 將

4、輸出反饋律代入開環(huán)系統(tǒng)方程，則可得如下輸出反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型：()ABHCBC xxvyx第13頁/共42頁 輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)可簡記為H(A-BHC,B,C)，其傳遞函數(shù)陣為:GH(s)=C(sI-A+BHC)-1Bq 由狀態(tài)反饋和輸出反饋的閉環(huán)控制系統(tǒng)狀態(tài)空間模型可知，輸出反饋其實可以視為當K=HC時的狀態(tài)反饋。 因此，在進行系統(tǒng)分析時，輸出反饋可看作狀態(tài)反饋的一種特例。 反之，則不然。 由此也可知，狀態(tài)反饋可以達到比輸出反饋更好的控制品質(zhì)，更佳的性能。第14頁/共42頁4.2.3反饋控制對能控性與能觀測性的影響q 對于由狀態(tài)反饋和輸出反饋構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)，其狀態(tài)能控/能觀性是進行

5、反饋律設(shè)計和閉環(huán)系統(tǒng)分析時所關(guān)注的問題。 下面分別討論兩種閉環(huán)系統(tǒng)的 狀態(tài)能控性 狀態(tài)能觀性第15頁/共42頁1. 閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性q 由狀態(tài)能控性PBH秩判據(jù)，被控系統(tǒng)(A,B,C)采用狀態(tài)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)K(A-BK,B,C)的能控性可由條件rankI-A+BK B=n 來判定，而0r- r -r-II A BK BI A BI A BK I上式即表明狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的狀態(tài)能控性狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。q 由于輸出反饋可視為狀態(tài)反饋在K=HC時的特例，故輸出反饋亦不改變系統(tǒng)的狀態(tài)能控性輸出反饋亦不改變系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。第16頁/共42頁2. 閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性q 對被控系統(tǒng)

6、(A,B,C)有如下結(jié)論: 采用輸出反饋構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)H(A-BHC,B,C)后狀態(tài)能觀性不變，即 輸出反饋不改變狀態(tài)能觀性輸出反饋不改變狀態(tài)能觀性。第17頁/共42頁q 對于采用狀態(tài)反饋構(gòu)成的閉環(huán)控制系統(tǒng)K(A-BK，B,C)，狀態(tài)能觀性可能發(fā)生變化，即： 狀態(tài)反饋可能改變狀態(tài)能觀性狀態(tài)反饋可能改變狀態(tài)能觀性。 該結(jié)論可先由下面的例子來說明，在后述的極點配置部分再詳細討論。例例4-1 設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為12031112 xxuyx并設(shè)狀態(tài)反饋陣K=3 1和輸出反饋H=2。 試分析該系統(tǒng)的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)和輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)能控/能觀性。第18頁/共42頁解解 1. 因為開環(huán)系

7、統(tǒng)的能控性矩陣和能觀性矩陣的秩分別為nCACnABB24721rankrank21120rankrank120()001ABKB xxvxv其能控性矩陣和能觀性矩陣的秩分別為12031112 xxuyx第19頁/共42頁 所以狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)為狀態(tài)能控但不能觀的，即狀態(tài)反饋可能改變系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性。3. 經(jīng)輸出反饋u=-Hy+v后的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為02rank() rank21012rankrank1()12BABK BnCnC ABK 120()131ABHCB xxvxv其能控性矩陣和能觀性矩陣的秩分別為12031112 xxuyx第20頁/共42頁所以輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)為狀態(tài)能控又能觀

8、的。02rank() rank21-312rankrank2()3-4BABHC BnCnC ABHC第21頁/共42頁4.3 極點配置q 本節(jié)討論如何利用狀態(tài)反饋來進行線性定常連續(xù)系統(tǒng)的極點配置，即使反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)具有所指定的閉環(huán)極點。 對線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)反饋設(shè)計問題，有完全平行的結(jié)論和方法。第22頁/共42頁 本節(jié)所討論得極點配置問題，則是指如何通過狀態(tài)反饋陣K的選擇，使得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的極點恰好處于預先選擇的一組期望極點上。第23頁/共42頁q 由于線性定常系統(tǒng)的特征多項式為實系數(shù)多項式，因此考慮到問題的可解性，對期望的極點的選擇應注意下列問題:1) 對于n階系統(tǒng)，可以而且必須

9、給出n個期望的極點；2) 期望的極點必須是實數(shù)或成對出現(xiàn)的共軛復數(shù)；3) 期望的極點必須體現(xiàn)對閉環(huán)系統(tǒng)的性能品質(zhì)指標等的要求。 p2 p1 p3 第24頁/共42頁確定反饋控制律uxxBA 使得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的閉環(huán)極點配置在指定的n個期望的閉環(huán)極點也就是成立vxuKnisBKAii,.,2 , 1,)(*第25頁/共42頁 本節(jié)主要討論兩方面的問題：其一，閉環(huán)極點可任意配置的條件；其二，如何設(shè)計反饋增益陣使閉環(huán)極點配置在期望極點處。為簡單起見，僅討論單輸入單輸出系統(tǒng)。 第26頁/共42頁4.3.1 采用狀態(tài)反饋配置閉環(huán)系統(tǒng)極點 q在進行極點配置時，存在如下問題:被控系統(tǒng)和所選擇的期望極點滿足

10、哪些條件，則是可以進行極點配置的。 下面的定理就回答了該問題。定理定理6-1 對線性定常系統(tǒng)(A,B,C)利用線性狀態(tài)反饋陣K，能使閉環(huán)系統(tǒng)K(A-BK,B,C)的極點任意配置的充分必要條件為被控系統(tǒng)充分必要條件為被控系統(tǒng) (A,B,C)狀態(tài)完全能控狀態(tài)完全能控。 第27頁/共42頁4.3.2 系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點配置的算法方法一 標準算法 該算法適用系統(tǒng)維數(shù)n等于或大于4，控制矩陣中非零元素比較多的情況，所有的矩陣計算都可由計算機實現(xiàn)。具體可按下面步驟完成。1.考察系統(tǒng)的能控性條件。如果系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則可按下列步驟繼續(xù)。2.利用系統(tǒng)矩陣A的特征多項式111det()nnnnsIAsIAs

11、a sasa12,na aa確定出第28頁/共42頁3確定將系統(tǒng)狀態(tài)方程變換為能控標準形的變換矩陣P。若給定的狀態(tài)方程已是能控標準形，那么P =I。此時無需再寫出系統(tǒng)的能控標準形狀態(tài)方程。非奇異線性變換矩陣P 可給出，即其中Qc為能控性矩陣，即1212311101001000nnnnaaaaaWaQc=B AB An-1BP =QcW第29頁/共42頁5此時的狀態(tài)反饋增益矩陣 為1112211nnnnKaaaaaaaaP 4利用給定的期望閉環(huán)極點，可寫出期望的特征多項式為12,na aa確定出*11*1*2*1)()(nnnnnasasassss第30頁/共42頁 方法二方法二 解聯(lián)立方程解聯(lián)

12、立方程 如果是低階系統(tǒng)(n3)，則將線性反饋增益矩陣K直接代入閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式，可能更為簡便。例如，若n = 3，則可將狀態(tài)反饋增益矩陣K寫為123Kkkk進而將此 代入閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式 使其等于期望的閉環(huán)極點 即sIABK)()(*3*2*1sssBKAsI)()(*3*2*1sss第31頁/共42頁由于該特征方程的兩端均為s的多項式，故可通過使其兩端的同次冪系數(shù)相等，來確定K1,K2,K3的值。如果n = 2或者n = 3，這種方法非常簡便（對于n =4,5,6,，這種方法可能非常繁瑣）。q 由于狀態(tài)變量是描述系統(tǒng)內(nèi)部動態(tài)運動和特性的，因此對實際控制系統(tǒng)，它可能不能直接測量，更甚者

13、是抽象的數(shù)學變量，實際中不存在物理量與之直接對應。 若狀態(tài)變量不能直接測量，則在狀態(tài)反饋中需要引入所謂的狀態(tài)觀測器來估計系統(tǒng)的狀態(tài)變量的值，再用此估計值來構(gòu)成狀態(tài)反饋律。這將在下節(jié)中詳述。第32頁/共42頁例例4-2 考慮如下線性定常系統(tǒng)利用狀態(tài)反饋控制 ，希望該系統(tǒng)的閉環(huán)極點為s = -2j4和s = -10，試確定狀態(tài)反饋增益矩陣K。0100001,01561AB 解：(1)首先需檢驗該系統(tǒng)的能控性矩陣。由于能控性矩陣為：rankQc = 3。因而該系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，可任意配置極點。xAxBu20010161631QB AB A Bc第33頁/共42頁方法1：(2)該系統(tǒng)的特征方程為：

14、因此(3)期望的特征方程為323212310|011566510ssIAssssssa sa sa1236,5,1aaa323*2*123(24)(24)(10)14602000sjsjsssssa sa sa第34頁/共42頁可得因此*12314,60,200aaa 200 1 605 146 199558K 第35頁/共42頁方法2：(2)設(shè)期望的狀態(tài)反饋增益矩陣為123Kkkk并使 和期望的特征多項式相等，可得|sIABK1231233232132000100|000010 0015611001156(6)(5)11460200ssIABKskkkssskksksk sk sksss 1231233232132000100|0000100015611001156(6)(5)11460200ssIAB Kskkkssskksksksksksss第36頁/共42頁321614,560,1200kkk123199,55,8kkk199558K (3)使其兩端的同次冪系數(shù)相等因此可得第37頁/共42頁q 輸出反饋對能控能觀系統(tǒng)可以改變極點位置,但不能進行任意的極點配置。 故欲使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定或具有所期望的閉環(huán)極點,要盡可能采取狀態(tài)反饋控制或動態(tài)輸出反饋控制(動態(tài)補償器)。第38頁/共42頁4.4 系