證明或判斷等差數(shù)列的常用方法

1、證明或判斷等差等比數(shù)列的常用方法湖北省 王衛(wèi)華玉芳翻看近幾年的高考題，有關(guān)證明、判斷 數(shù)列是等差等比數(shù)列的題型比比皆是， 如何處理這些題目呢且聽(tīng)筆者道來(lái).一、 利用等差等比數(shù)列的定義列 an中,假設(shè)an an 1d d為常數(shù)或囂q，那么數(shù)列數(shù)列.這是證明數(shù)列 更最主要的方法如：例1.q為常數(shù)an為等差等比an為等差等比數(shù)2005北京卷設(shè)數(shù)列 且1an n為偶數(shù)2 n1an - n為奇數(shù)4an的首項(xiàng)na21,2,3,I 等比數(shù)列,a3 ； n判斷數(shù)列 并證明你的結(jié)論.bn是否為解：(I)a2 a-i 1 a4(U)113Q a4 a3a 428所以S11.3ia ， b?a344猜想：是公比為證

2、明如bn 1a2n 11111a2na2n 142421111 ；，a3a2a4228)111 -111a，b3a5a424444 ?，所以a5扒4a 161的等比數(shù)列.下： 因 為1 14 尹,(n N )所以是首項(xiàng)為4，公比為寸的等比數(shù)列.評(píng)析：此題并不知道數(shù)列 的通項(xiàng)，先 寫(xiě)出幾項(xiàng)然后猜想出結(jié)論，再用定義證 明，這是常規(guī)做法。例2. (2005山東卷)數(shù)列的首項(xiàng) ai 5，前 n 項(xiàng)和為 S，且 S, ! 2S n 5(n N ) (I) 證明數(shù)列a 1是等比數(shù)列；解：由Sn 1 2Sn n,Sn2Snan 1 2a當(dāng)又a, 5n 4兩式相減得：S1，從而 a i 1 2(an 1)，

3、1時(shí)，S2 2$ 1 5，所以 ，所以32 11，從而an 1(U)略.5(n N*)可彳得n 2時(shí)Sn 2(Sn Sni) 1 ,即a? ai 2ai 6 , a212(ai 1).故總有ani 1 2an 1, n N，又務(wù) 5,務(wù) 1 0，從而 3 2 .an 1所以數(shù)列an 1是等比數(shù)列.評(píng)析：這是常見(jiàn)題型，由依照含S的式子再類似寫(xiě)出含Sn1的式子，得到an 1 pa q的 形式，再利用構(gòu)造的方法得到所要證明的 結(jié)論.此題假設(shè)是先求出通項(xiàng)a的表達(dá)式， 那么較繁.本卷須知：用定義法時(shí)常采用的兩個(gè)式 子an am d和am即d有差異，前者必須加上“ n A 2 ，否那么n 1時(shí)a。無(wú)意義，

4、等比中一樣 有：n A 2時(shí)，有丑L q 常數(shù)0 ；n N時(shí), an 1有L q 常數(shù)。. an1.運(yùn)用等差或等比中項(xiàng)性質(zhì)anan 2 an 1 (an 0) anan為等差(等an an 2 2an 1 an是等差數(shù)列， 是等比數(shù)列，這是證明數(shù)列 比數(shù)列的另一種主要方法.例3. (2005江蘇卷)設(shè)數(shù)列an的前項(xiàng)為 S1，已矢 1 a1 1 a2 6, a3 11， 日(5n 8)Sn 1 (5n 2)Sn An B, n 1,2,3,L ，其中A B為常數(shù).(1)求A與B的值；(2)證明數(shù)列an為等 差數(shù)列；( 3)略. 解：( 1 )由 a1把 n 1，2 分 別 代 入A B 28，2

5、 A B 48 解得， A 20， B 8.(n)由(I )知，5nan1，a2 6，a3 11，得 S1 1，S2 7，S3 18 ，得(5n 8)Sn 1 (5n 2) SnAn B5n(SnSn ) 8Sn1 8Sn 1 2Sn20n 8 ，2Sn 120(n又 5(n 1)an 2 8Sn - 得， 即 (5n 3)an 2 (5n 又 (5n 2) an 3 (5n -得，1)5(n 1)an 2 5nan2)an 1207)an 2 20(5n2)( an 3 2an8a2Sn 2an 1 20n 8 ，即20，0，a2an 3 2an 2 an 1 0 ，n 1 )5，又a1 5

6、 ，an 3 an 2 an 2 an因此，數(shù)列 等差數(shù)列評(píng)析：此題對(duì)考生要求較高， 通過(guò)挖掘 的意義導(dǎo)出遞推關(guān)系式，靈活巧妙地構(gòu)造 得到中項(xiàng)性質(zhì)，這種處理大大簡(jiǎn)化了計(jì) 算例4.(高考題改編)正數(shù)數(shù)列an和bn滿an是首項(xiàng)為 1，公差為 5 的Sn足：對(duì)任意自然數(shù)n, a, 0, am成等差數(shù)列， bn an 1, bn 1成等比數(shù)列.證明：數(shù)列百為等差 數(shù)列.證明：依題意，a 0, bn 0,2b a a 1，且 a i Jbb 1 , a.，0 4( 2).2b, bn 1bn gb！.由此可得2 bT .,b7 百7 即bn 1, bn 小、.bn1( 2).數(shù)列而為等差數(shù)列.評(píng)析：此題

7、依據(jù)條件得到a與b的遞推關(guān) 系，通過(guò)消元代換構(gòu)造了關(guān)于帀的等差數(shù) 列，使問(wèn)題得以解決.三運(yùn)算數(shù)學(xué)歸納法這種方法關(guān)鍵在于猜想要正確，用 數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟要熟練，從“ k時(shí) 命題成立到“ k 1時(shí)命題成立要會(huì)過(guò) 渡.例5. (2004全國(guó)高考題)數(shù)列a的前 項(xiàng)和記為S ,a1 1 , a，1,2,L).證明： 數(shù)列爼是等比數(shù)列.n證明：由 a1 1 , an 1n 1,2,L ),知na2即$ 3知號(hào)2 ,S i，猜想半是首項(xiàng)為1，公比為2 的等比數(shù)列.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：令bn Sn.n(1)當(dāng) n 2 時(shí)，b2 2bi，成立.當(dāng)n3 時(shí)，S3aia2a31 3 2(1 3)12,b342

8、b2 ，成立.假設(shè)n k時(shí)命題成立，即bk 2bk 1 . 那 么 當(dāng) n k 1 時(shí)S k 2Sbk 1魚(yú)頭dk 細(xì)2bk，命題成立.k 1 k 1k 1 k綜上知S是首項(xiàng)為1，公比為2的等n比數(shù)列.例6. 2005浙江卷設(shè)點(diǎn) AnXn,O，PnXn,2n 和拋物線 Cn : y X2 anX bnn N ，其中 an 2 4n 卡，Xn 由以下方法得到：X1 1，點(diǎn)P2x2，在拋物線 C:y x2 ax b,上，點(diǎn)Ax“O到P2的距離是A到G上 點(diǎn)的最短距離，L，點(diǎn)P1Xn2n在拋物線 Cn：y X2 anX bn上，點(diǎn)代冷，0到P1的距離是A到C上 點(diǎn)的最短距離.求x2及C1的方程.2證

9、明x是等差 數(shù)列.解：(I)由題意得：A(1,0),G：y 設(shè) 點(diǎn) P(x, y)是x2 7x b C1上任意|AP|1)2一y2.(x 1)2 (x2 7x b1)2f (X) (x 1)2 (X2 7x bi)2,貝U f(x) 2(x 1)22(x 7x b1 )(2 x由題意:f(X2)o,即2( x2 1) 2( x22 7x2b1)(2x27)0.又 P2(x2,2)C1 上, 2 x22 7x2 b,x2 7x 14.解得：X2 3,0 14.，故G方程為y (II)設(shè)點(diǎn)P(x,y)是G上任意一點(diǎn)| AnP| , (X Xn)2 (X2 ab1)2令 g(x) (X Xn)2 (

10、X2X g)2 ,貝U g(x) 2(x Xn) 2(xnX bn)(2an)(Xni)2( Xn 1 Xn) 2(Xn 12a.Xn 1 g)(2 X. 1又Q2n 2bXn 1 anXn 1 bn,(Xn 1 Xn) 2n(2Xn 1 a.) 0( n 1).即(1 2n 1)Xn 1Xnn2 an(* )F面用數(shù)學(xué)歸納法證明2n 1 當(dāng)n 1時(shí)，X1 1,等式成立. 假設(shè)當(dāng)n k時(shí)，等式成立，即 那么當(dāng)n k 1時(shí)，由(*)XiXk2k 1,k 1k(1 2 )Xk 1Xk2 ak又 ak 2 4k 2k 1kXk 2 aXk1才 2k 1.1 2即當(dāng)n k 1時(shí)，等式成立.由知，等式對(duì)

11、n N成立.x是等差數(shù)列.評(píng)析：例 5 是常規(guī)的猜想證明題，考查學(xué) 生掌握猜想證明題的根本技能、掌握數(shù)列 前n項(xiàng)和這個(gè)概念、用數(shù)學(xué)歸納法證明等差 數(shù)列的方法；例 6 是個(gè)綜合性比較強(qiáng)的題 目，通過(guò)求二次函數(shù)的最值得到遞推關(guān)系 式，再直接猜想然后用歸納法證明，解法 顯得簡(jiǎn)潔明了，如果直接利用遞推關(guān)系式 找通項(xiàng)，反而不好作.四. 反證法 解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維過(guò)程，一般總是 從正面入手，即從條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)一 系列的推理和運(yùn)算，最后得到所要求的結(jié) 論，但有時(shí)會(huì)遇到從正面不易入手的情 況，這時(shí)可從反面去考慮.如：例 7 .(2000 年全國(guó)高考(理)設(shè) an， bn 是 公比不相等的兩等比數(shù)列，Cn an

12、 b,.證明數(shù) 列 cn 不是等比數(shù)列證明：設(shè) a n，bn 的公比分別為 p，q， p q， Cn an bn，為證心不是等比數(shù)列只需證 c22 c1gc3 事實(shí)上 ， C22 (a1p b1q)2 a12p2 b12q 22 a1b1 pq2 2 2 2 2 2 2 2C1gC3 (a1 b1)(a3 b3) (a1 b1)(a1p b1q ) a1p b1 q a1b1(p q )Q P q, P2 q2 2pq , 又印，bi 不為零， c22 c1gc3 ， 故Cn 不是等比數(shù)列評(píng)析：此題主要考查等比數(shù)列的概念和 根本性質(zhì)、推理和運(yùn)算能力，對(duì)邏輯思維 能力有較高要求要證 不是等比數(shù)列

13、， 只要由特殊項(xiàng)如c2莎就可否認(rèn).一般 地講，否認(rèn)性的命題常用反證法證明，其 思路充分說(shuō)明特殊化的思想方法與正難 那么反的思維策略的重要性.五. 看通項(xiàng)與前 n 項(xiàng)和法假設(shè)數(shù)列通項(xiàng)3能表示成a an b a, b為常 數(shù)的形式，那么數(shù)列 an 是等差數(shù)列；假設(shè)通 項(xiàng)an能表示成an cqcq均為不為0的常數(shù)， n N 的形式，那么數(shù)列 an 是等比數(shù)列. 假設(shè)數(shù) 列 an 的前 n 項(xiàng)和 Sn 能表示成 Sn an2 bn a， b 為常數(shù) 的形式，那么數(shù)列 an 等差數(shù)列；假設(shè) Sn能表示成Sn Aqn aa q均為不等于0的常 數(shù)且q為的形式，那么數(shù)列an是公比不為1 的等比數(shù)列.這些結(jié)論

14、用在選擇填空題上 可大大節(jié)約時(shí)間.例8. 2001年全國(guó)題假設(shè)Sn是數(shù)列an的前n 項(xiàng)和，Sn n2,那么an是.A.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C.等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列 解析：用到上述方法，一下子就知道答案 為B，大大節(jié)約了時(shí)間，同時(shí)大大提高了 命中率.六. 熟記一些常規(guī)結(jié)論，有助于解題假設(shè)數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，貝9(1) 數(shù)列3n an(為不等于零的常數(shù))仍 是公比為q的等比數(shù)列；(2) 假設(shè)bn是公比為q的等比數(shù)列，那么數(shù)列 ag 公比為qq的等比數(shù)列；(3) 數(shù)列丄是公比為丄的等比數(shù)列；anq(4) an是公比為q的等比數(shù)

15、列；(5) 在數(shù)列an中，每隔k(k N )項(xiàng)取出一項(xiàng), 按原來(lái)順序排列，所得新數(shù)列仍為等比數(shù)列且公比為q(6)anan i ani a2n ai a2 a3, a4 a5 a6， a7(7)假設(shè) m n，P(ma8n, Pl a2n，L，L等都是等比數(shù)列； 成等差數(shù)列時(shí)，am，an，ap9,N )成等比數(shù)列；(8) S, S2n S, S S?均不為零時(shí)，那么S, S2n s，S3 S2成等比數(shù)列；( 9)假設(shè) log ba 是一個(gè)等差數(shù)列,那么正項(xiàng)數(shù)列a是一個(gè)等比數(shù)列.假設(shè)數(shù)列佝是公差為d等差數(shù)列，那么(1)叫b成等差數(shù)列，公差為kd (其中k 0,k,b 是實(shí)常數(shù))；( 2) S( 1)

16、k Sk ，( k N，k 為常數(shù))，仍成等差數(shù) 列，其公差為 k2d ；( 3)假設(shè) a， b 都是等差數(shù)列，公差分別為 d，d2，那么a b是等差數(shù)列，公差為4 d2 ；( 4)當(dāng)數(shù)列 a 是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù) 列時(shí)，數(shù)列a是公差為lgq的等差數(shù)列；( 5) m， ， p(m， ， p N )成等差數(shù)列時(shí)， am， a， ap 成 等差數(shù)列.例 9.( 96 年全國(guó)高考題) 等差數(shù)列 a 的 前 項(xiàng)和為 30，前 2項(xiàng)和為 100 那么它的前 3 項(xiàng)和為()A. 130B. 170 C. 210D. 260解：由上面的性質(zhì)得： S， S2 S， S3 S2 成等比數(shù)列，故 2(S2n Sn) Sn