函數(shù)的應用難

1、學案設計方案 XueDa PPTS Learning Center姓 名年 級性 別課 題函數(shù)的應用教 學 目 的讓學生能運用函數(shù)解決實際問題。教 學 重 難 點利用函數(shù)解決實際問題。教 學 過 程函數(shù)的應用題（1）一、 建構函數(shù)模型的應用性問題1某公司為幫助尚有26.8萬元無息貸款沒有償還的殘疾人商店，借出20萬元將該商店改建成經(jīng)營狀況良好的某種消費品專賣店，并約定用該店經(jīng)營的利潤逐步償還債務(所有債務均不計利息)已知該種消費品的進價為每件40元；該店每月銷售量q（百件）與銷售價p（元件）之間的關系用右圖中的一條折線（實線）表示；職工每人每月工資為600元，該店應交付的其它費用為每月1320

2、0元（）若當銷售價p為52元件時，該店正好收支平衡，求該店的職工人數(shù)；（）若該店只安排40名職工，則該店最早可在幾年后還清所有債務，此時每件消費品的價格定為多少元？2某廠生產(chǎn)一種儀器，由于受生產(chǎn)能力和技術水平的限制，會產(chǎn)生一些次品根據(jù)經(jīng)驗知道，該廠生產(chǎn)這種儀器，次品率P與日產(chǎn)量x（件）之間大體滿足關系：注：次品率，如表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品，約有1件為次品其余為合格品已知每生產(chǎn)一件合格的儀器可以盈利A元，但每生產(chǎn)一件次品將虧損元，故廠方希望定出合適的日產(chǎn)量（）試將生產(chǎn)這種儀器每天的盈利額T（元）表示為日產(chǎn)量x（件）的函數(shù)；（）當日產(chǎn)量為多少時，可獲得最大利潤？3.某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)

3、驗得到下面有關銷售的統(tǒng)計規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x（百臺），其總成本為G（x）萬元，其中固定成本為2萬元，并且每生產(chǎn)100臺的生產(chǎn)成本為1萬元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本），銷售收入R(x)滿足R(x)=.假定該產(chǎn)品銷售平衡，那么根據(jù)上述統(tǒng)計規(guī)律.（1）要使工廠有盈利，產(chǎn)品x應控制在什么范圍？（2）工廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時贏利最大？并求此時每臺產(chǎn)品的售價為多少？4.為處理含有某種雜質的污水，要制造一個底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱（如圖），污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設箱體的長度為a米，高度為b米，已知流出的水中該雜質的質量分數(shù)與a、b的乘積ab成反比，現(xiàn)有制箱材料60平方米，問當a、b各為多少米時

4、，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質的質量分數(shù)最小（A、B孔的面積忽略不計）？5.運輸一批海鮮，可在汽車、火車、飛機三種運輸工具中選擇，它們的速度分別為v千米/小時、2v千米/小時、10v千米/小時，每千米的運費分別為a元、b元、c元.且bac,又這批海鮮在運輸過程中的損耗為m元/小時，若使用三種運輸工具分別運輸時各自的總費用（運費與損耗之和）互不相等.試確定使用哪種運輸工具總費用最省.（題中字母均為正的已知量）6.已知某海濱浴場的海浪高度y（米）是時間t(0t24，單位小時）的函數(shù)，記作y=f(t)，下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù)t03691215182124y1.51.00.51.01.4910.510.

5、991.5經(jīng)長期觀測y=f(t)的曲線可近似地看成函數(shù)y=Acost+b.（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)y=Acost+b的最小正周期T，振幅A及函數(shù)表達式；（2）依據(jù)規(guī)定，當海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(jù)（1）的結論，判斷一天內(nèi)的上午8：00至晚上20：00之間，有多少時間可供沖浪者進行運動.7.某外商到一開放區(qū)投資72萬美元建起一座蔬菜加工廠，第一年各種經(jīng)費12萬美元，以后每年增加4萬美元，每年銷售蔬菜收入50萬美元.（1）若扣除投資及各種經(jīng)費，則從第幾年開始獲取純利潤？（2）若干年后，外商為開發(fā)新項目，有兩種處理方案：年平均利潤最大時以48萬美元出售該廠；純利潤總和最大時，以

6、16萬元出售該廠，問哪種方案最合算？8.某廠使用兩種零件A、B裝配兩種產(chǎn)品P、Q，該廠的生產(chǎn)能力是月產(chǎn)P產(chǎn)品最多有2500件，月產(chǎn)Q產(chǎn)品最多有1200件；而且組裝一件P產(chǎn)品要4個A、2個B，組裝一件Q產(chǎn)品要6個A、8個B，該廠在某個月能用的A零件最多14000個；B零件最多12000個.已知P產(chǎn)品每件利潤1000元，Q產(chǎn)品每件2000元，欲使月利潤最大，需要組裝P、Q產(chǎn)品各多少件？最大利潤多少萬元.9. 隨著機構改革工作的深入進行，各單位要減員增效，有一家公司現(xiàn)有職員人（140420，且為偶數(shù)），每人每年可創(chuàng)利萬元.據(jù)評估，在經(jīng)營條件不變的前提下，每裁員1人，則留崗職員每人每年多創(chuàng)利萬元，但公

7、司需付下崗職員每人每年萬元的生活費，并且該公司正常運轉所需人數(shù)不得小于現(xiàn)有職員的，為獲得最大的經(jīng)濟效益，該公司應裁員多少人？ 10.醫(yī)學上為研究傳染病傳播中病毒細胞的發(fā)展規(guī)律及其預防，將病毒細胞注入一只小白鼠體內(nèi)進行實驗，經(jīng)檢測，病毒細胞的增長數(shù)與天數(shù)的關系記錄如下表. 已知該種病毒細胞在小白鼠體內(nèi)的個數(shù)超過108的時候小白鼠將死亡但注射某種藥物，將可殺死其體內(nèi)該病毒細胞的98%（1）為了使小白鼠在實驗過程中不死亡，第一次最遲應在何時注射該種藥物？（精確到天）（2）第二次最遲應在何時注射該種藥物，才能維持小白鼠的生命？（精確到天） 已知：lg2=0.3010天數(shù)t病毒細胞總數(shù)N12345671

8、24816326411.在一很大的湖岸邊（可視湖岸為直線）停放著一只小船，由于纜繩突然斷開，小船被風刮跑，其方向與湖岸成15角，速度為2.5km/h，同時岸邊有一人,從同一地點開始追趕小船，已知他在岸上跑的速度為4km/h，在水中游的速度為2km/h.,問此人能否追上小船.若小船速度改變，則小船能被人追上的最大速度是多少？12.有一個受到污染的湖泊，其湖水的容積為V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，現(xiàn)假設下雨和蒸發(fā)正好平衡，且污染物質與湖水能很好地混合，用g(t)表示某一時刻t每立方米湖水所含污染物質的克數(shù)，我們稱為在時刻t時的湖水污染質量分數(shù)，已知目前污染源以每天p克的污染物質污染湖水

9、，湖水污染質量分數(shù)滿足關系式g(t)= +g(0)- e(p0),其中，g(0)是湖水污染的初始質量分數(shù).（1）當湖水污染質量分數(shù)為常數(shù)時，求湖水污染的初始質量分數(shù)； （2）求證：當g(0)0.當0x5時，有0.4x2+3.2x2.80,得1x7,15時，有8.2x0,得x8.2,5x8.2.綜上，要使工廠贏利，應滿足1x5時f(x)b,各字母均為正值，所以y1y20，即y20,由cb及每字母都是正值，得cb+.所以，當cb+時y2y3,由y2y1即y2最小，當bacb+時，y3y21時，才可對沖浪者開放.1, 0.2k,即有12k3t13k+3.由0t24,故可令k=0,1,2,得0t3或9

10、t15或210,2n2+40n720，解得2n18.由nN知從第三年開始獲利.（2）年平均利潤=402(n+)16.當且僅當n=6時取等號.故此方案先獲利616+48=144（萬美元），此時n=6,f(n)=2(n10)2+128.當n=10時，f(n)|max=128.故第種方案共獲利128+16=144（萬美元）.故比較兩種方案，獲利都是144萬美元，但第種方案只需6年，而第種方案需10年，故選擇第種方案.8. 解：設分別生產(chǎn)P、Q產(chǎn)品x件、y件，則有設利潤S=1000x+2000y=1000(x+2y)要使利潤S最大，只需求x+2y的最大值.x+2y=m(2x+3y)+n(x+4y)=x

11、(2m+n)+y(3m+4n) 有x+2y=(2x+3y)+(x+4y)7000+6000.當且僅當解得時取等號，此時最大利潤Smax=1000(x+2y)=4000000=400(萬元).另外此題可運用“線性規(guī)劃模型”解決.9. 解 設裁員人，可獲得的經(jīng)濟效益為萬元,則 =依題意 0.又140420, 70210.(1)當0,即70,即140210時， , 取到最大值; 綜上所述，當70140時，應裁員人；當140210時，應裁員人.在多字母的數(shù)學問題當中，分類求解時需要搞清：為什么分類？對誰分類？如何分類？10. 講解 （1）由題意病毒細胞關于時間n的函數(shù)為, 則由兩邊取對數(shù)得 n27.5

12、, 即第一次最遲應在第27天注射該種藥物.（2）由題意注入藥物后小白鼠體內(nèi)剩余的病毒細胞為,再經(jīng)過x天后小白鼠體內(nèi)病毒細胞為,OABvt2(1k)t4kt15由題意108，兩邊取對數(shù)得， 故再經(jīng)過6天必須注射藥物，即第二次應在第33天注射藥物本題反映的解題技巧是“兩邊取對數(shù)”，這對實施指數(shù)運算是很有效的.11講解: 不妨畫一個圖形,將文字語言翻譯為圖形語言, 進而想法建立數(shù)學模型.設船速為v，顯然時人是不可能追上小船，當km/h時，人不必在岸上跑，而只要立即從同一地點直接下水就可以追上小船，因此只要考慮的情況，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追趕，當人沿岸跑的軌

13、跡和人游水的軌跡以及船在水中漂流的軌跡組成一個封閉的三角形時，人才能追上小船。設船速為v，人追上船所用時間為t，人在岸上跑的時間為，則人在水中游的時間為，人要追上小船，則人船運動的路線滿足如圖所示的三角形.由余弦是理得即整理得.要使上式在（0，1）范圍內(nèi)有實數(shù)解，則有且解得. 故當船速在內(nèi)時，人船運動路線可物成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度為，由此可見當船速為2.5km/h時, 人可以追上小船.涉及解答三角形的實際應用題是近年高考命題的一個冷點, 復課時值得關注.12. 講解（1）g(t)為常數(shù), 有g(0)-=0, g(0)= .(2) 我們易證得0t1t2, 則g(t1)-

14、g(t2)=g(0)- e-g(0)- e=g(0)- e-e=g(0)- ,g(0)0,t1e,g(t1)80% ？（）求使得60%成立的最小的自然數(shù).為了解決這些問題，我們可以根據(jù)題意，列出數(shù)列的相鄰項之間的函數(shù)關系，然后由此遞推公式出發(fā)，設法求出這個數(shù)列的通項公式由題可知：，所以，當時，兩式作差得：又，所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列所以， 由上式可知：對于任意，均有即全縣綠地面積不可能超過總面積的80%（）令，得，由指數(shù)函數(shù)的性質可知：隨的增大而單調遞減，因此，我們只需從開始驗證，直到找到第一個使得的自然數(shù)即為所求驗證可知：當時，均有，而當時，由指數(shù)函數(shù)的單調性可知：當時，均有所以，從2000年底開始，5年后，即2005年底，全縣綠