2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第2講復(fù)數(shù)考點講義（含解析）

1、復(fù)數(shù)一、復(fù)數(shù)的概念1、虛數(shù)單位：(1)它的平方等于，即；(2)實數(shù)可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立；(3)與的關(guān)系：就是的一個平方根，即方程的一個根，方程的另一個根是；(4)的周期性：、。2、數(shù)系的擴充：復(fù)數(shù)。3、復(fù)數(shù)的定義：形如()的數(shù)叫復(fù)數(shù)，叫復(fù)數(shù)的實部，叫復(fù)數(shù)的虛部。全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母表示。4、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式： 通常用字母表示，即()，把復(fù)數(shù)表示成的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式。5、復(fù)數(shù)與實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及的關(guān)系：對于復(fù)數(shù)()，當(dāng)且僅當(dāng)時，復(fù)數(shù)()是實數(shù)，當(dāng)時，復(fù)數(shù)叫做虛數(shù)，當(dāng)且時，叫做純虛數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時，就是實數(shù)。6、復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的

2、關(guān)系：。7、兩個復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個復(fù)數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復(fù)數(shù)相等。這就是說，如果、，那么、。例1-1設(shè)為虛數(shù)單位，則下列命題成立的是( )。A、，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)B、在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限C、若復(fù)數(shù)，則存在復(fù)數(shù)，使得D、，方程無解【答案】C【解析】A選項，只有當(dāng)時，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，錯，B選項，對應(yīng)的點位于第一象限，錯，C選項，若復(fù)數(shù)，則存在復(fù)數(shù)，使得，對，D選項，方程成立，錯，C正確。例1-2若復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)，則( )。A、 B、 C、 D、【答案】A【解析】，故選A。例1-3已知，為虛數(shù)單位，若為純虛數(shù)，則的值為 。【答案】【解析】由題意得，為純虛數(shù)，解得。

3、二、復(fù)數(shù)的幾何意義1、復(fù)平面、實軸、虛軸：復(fù)數(shù)()與有序?qū)崝?shù)對是一一對應(yīng)關(guān)系。建立一一對應(yīng)的關(guān)系。點的橫坐標(biāo)是，縱坐標(biāo)是，復(fù)數(shù)()可用點表示，這個建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，也叫高斯平面，軸叫做實軸，軸叫做虛軸。實軸上的點都表示實數(shù)。對于虛軸上的點要除原點外，因為原點對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對為，它所確定的復(fù)數(shù)是表示是實數(shù)。除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)。2、復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點。這就是復(fù)數(shù)的一種幾何意義。也就是復(fù)數(shù)的另一種表示方法，即幾何表示方法。3、復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)()的模就是其在復(fù)平面內(nèi)的點到原點的距離。4、共軛復(fù)數(shù)：當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)

4、。復(fù)數(shù)()的共軛復(fù)數(shù)為()。虛部不等于的兩個共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)。例2-1復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于( )。A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限【答案】B【解析】，在復(fù)平面對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，位于第二象限，故選B。例2-2設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于( )。A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限【答案】A【解析】由得，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，位于第一象限，故選A。例2-3設(shè)復(fù)數(shù)(是虛數(shù)單位)，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為( )。A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，故選B。三、復(fù)數(shù)的四則運算設(shè)、 (、)是任意

5、兩個復(fù)數(shù)：1、復(fù)數(shù)與的和的定義：。(1)復(fù)數(shù)的加法運算滿足交換律：。(2)復(fù)數(shù)的加法運算滿足結(jié)合律：。2、復(fù)數(shù)與的差的定義：。3、乘法運算規(guī)則：，其實就是把兩個復(fù)數(shù)相乘，類似兩個多項式相乘，在所得的結(jié)果中把換成，并且把實部與虛部分別合并。兩個復(fù)數(shù)的積仍然是一個復(fù)數(shù)。乘法運算律：(1)；(2)。4、復(fù)數(shù)除法的定義：滿足的復(fù)數(shù)()叫復(fù)數(shù)除以復(fù)數(shù)的商，記為：或者。(1)除法運算規(guī)則：設(shè)復(fù)數(shù)()，除以(、)，其商為()，即，由復(fù)數(shù)相等定義可知，解這個方程組，得，于是有：；(2)利用于是將的分母有理化得：原式，；點評：是常規(guī)方法，是利用初中我們學(xué)習(xí)的化簡無理分式時，都是采用的分母有理化思想方法，而復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)，相當(dāng)于我們初中學(xué)習(xí)的的對偶式，它們之積為是有理數(shù)，而是正實數(shù)。所以可以分母實數(shù)化。 把這種方法叫做分母實數(shù)化法。例3-1設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)( )。A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】，故選D。例3-2在