河海大學(xué)彈性力學(xué)徐芝綸版第七章

1、第七章空間問題的基本理論例題例題第五節(jié)第五節(jié) 軸對(duì)稱問題的基本方程軸對(duì)稱問題的基本方程第四節(jié)第四節(jié) 幾何方程及物理方程幾何方程及物理方程第三節(jié)第三節(jié) 主應(yīng)力主應(yīng)力 最大與最小的應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力 第二節(jié)第二節(jié) 物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)第一節(jié)第一節(jié) 平衡微分方程平衡微分方程第七章空間問題的基本理論第七章 空間問題的基本理論 在空間問題中，應(yīng)力、形變和位移等基本知函數(shù)共有15個(gè)，且均為x,y,z的函數(shù)。 空間問題的基本方程，邊界條件，以及按位移求解和按應(yīng)力求解的方法，都是與平面問題相似的。因此，許多問題可以從平面問題推廣得到。第七章空間問題的基本理論取出微小的平行六面體， ，

2、zyxvdddd 考慮其平衡條件平衡條件:, 0 xF,0yF; 0zF, 0 xM, 0yM. 0zM(a) (b)平衡條件7-1 7-1 平衡微分方程平衡微分方程第七章空間問題的基本理論第七章空間問題的基本理論 由x 軸向投影的平衡微分方程平衡微分方程 , 0 , ( , ). (c)yxxzxxfx y zxyz平衡微分方程0 xF得 因?yàn)?x , y , z 軸互相垂直，均為定向，量綱均為L(zhǎng)，所以 x , y , z 坐標(biāo)具有對(duì)等性，其方程也必然具有對(duì)等性對(duì)等性。因此，式(a)的其余兩式可通過式(c)的坐標(biāo)輪換得到。第七章空間問題的基本理論 由3個(gè)力矩方程得到3個(gè)切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互

3、等定理， 0 xMzyyz，(x, y , z) 。 (d) 空間問題的平衡微分方程精確到三階微量。)dd(dzyx平衡微分方程第七章空間問題的基本理論思考題 在圖中，若點(diǎn)o的x向正應(yīng)力分量為 ，試表示點(diǎn) A , B 的x向正應(yīng)力分量。xxd zd xAd yoyBz第七章空間問題的基本理論 在空間問題中，同樣需要解決：由直在空間問題中，同樣需要解決：由直角坐標(biāo)的應(yīng)力分量角坐標(biāo)的應(yīng)力分量 ，來求出斜，來求出斜面面( (法線為法線為 ）上的應(yīng)力。上的應(yīng)力。xyz斜面應(yīng)力n7-2 7-2 物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)第七章空間問題的基本理論 斜面的全應(yīng)力p 可表示為兩種分量形式：(

4、,).xyzppppp沿坐標(biāo)向分量: p沿法向和切向分量:斜面應(yīng)力(,).nnp第七章空間問題的基本理論 取出如圖的包含斜面的微分四面體，斜面面積為ds, 則x面，y面和z面的面積分別為lds,mds,nds。 由四面體的平衡條件 ，得出坐標(biāo)向的應(yīng)力分量,1. 求),(0zyxFx , ( , , ).(a)xxyxzxplmnx y z),(zyxppppzyxppp第七章空間問題的基本理論2. 求),(nnp將),(zyxpppp向法向 投影，即得zyxnnpmplpnn222222 . (b)xyzyzzxxyl m n mnnllm,222222nnzyxpppp22222 . (c)

5、nxyznpppn得由第七章空間問題的基本理論 從式(b)、(c )可見, 當(dāng)六個(gè)坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量確定之后，任一斜面上的應(yīng)力也就完全確定了。nn第七章空間問題的基本理論 設(shè)在 邊界上，給定了面力分量 則可將微分四面體移動(dòng)到邊界點(diǎn)上，并使斜面與邊界重合。斜面應(yīng)力分量 應(yīng)代之為面力分量 ，從而得出空間空間問題的應(yīng)力邊界條件問題的應(yīng)力邊界條件:3. 在 上的應(yīng)力邊界條件s,zyxfffs),(zyxppp),(zyxfff() , ( , , ) . () ( )xyxzx sxlmnfx y zSd在 上應(yīng)力邊界條件第七章空間問題的基本理論 式(d)只用于 邊界點(diǎn)上，表示邊界面上的面力與坐標(biāo)面的

6、應(yīng)力之間的關(guān)系，所以必須將邊界面方程代入式(d)。 式(b), (c) 用于V內(nèi)任一點(diǎn)，表示斜面應(yīng)力與坐標(biāo)面應(yīng)力之間的關(guān)系； 注意注意: s第七章空間問題的基本理論1.1.假設(shè) 面(l , m , n)為主面，則此斜面上n . , 0pnn斜面上沿坐標(biāo)向的應(yīng)力分量為： zyxppp,. , ,npmplpzyx斜面應(yīng)力7-3 7-3 主應(yīng)力主應(yīng)力 最大與最小的應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力代入 , 得到：第七章空間問題的基本理論考慮方向余弦關(guān)系式，有. 1222nml 結(jié)論：式(a) , (b)是求主應(yīng)力及其方向余弦的方程。(b),(a ).xyxzxyzyxyzxzyzlmnlm nlm nlmn第七

7、章空間問題的基本理論2. 求主應(yīng)力求主應(yīng)力 將式(a)改寫為：。0)(, 0)(, 0)(nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx求主應(yīng)力第七章空間問題的基本理論 上式是求解上式是求解 l , m , n 的齊次代數(shù)方程。由于的齊次代數(shù)方程。由于l , m , n不全為不全為0，所以其系數(shù)行列式必須為零，得，所以其系數(shù)行列式必須為零，得, 0zyzxzzyyxyzxyxx展開，即得求主應(yīng)力的方程求主應(yīng)力的方程,求主應(yīng)力32222()()xyzy zz xx yyzzxxy . 0)2(222xyzxyzxyzzxyyzxzyx( c )第七章空間問題的基本理論3.3.應(yīng)力主向 設(shè)主應(yīng)力

8、 的主向?yàn)?。代入式(a)中的前兩式，整理后得1111,nml1111111111()0, (d)()0.yxzxxyzyxymnllmnll應(yīng)力主向第七章空間問題的基本理論由上兩式解出 。然后由式(b)得出1111,lnlm12211111.(e)1()()lmnll應(yīng)力主向再求出 及 。1m1n4. 4. 一點(diǎn)至少存在著三個(gè)互相垂直的主應(yīng)力一點(diǎn)至少存在著三個(gè)互相垂直的主應(yīng)力321,（證明見書上）。第七章空間問題的基本理論5.5.應(yīng)力不變量應(yīng)力不變量 若從式(c) 求出三個(gè)主應(yīng)力 ，則式(c)也可以用根式方程表示為，123()()()0 . (f) 因式(c) 和( f )是等價(jià)的方程，故

9、的各冪次系數(shù)應(yīng)相等，從而得出：應(yīng)力不變量321,第七章空間問題的基本理論1123212233122231232222.xyzyzzxxyyzzxxyxyzxyzyzxzxyyzzxxy , , (g)應(yīng)力不變量第七章空間問題的基本理論 所以分別稱 為第一、二、三應(yīng)力不變量。這些不變量常用于塑性力學(xué)之中。 式(g)中的各式，左邊是不隨坐標(biāo)選擇而變的；而右邊各項(xiàng)雖與坐標(biāo)的選擇有關(guān)，但其和也應(yīng)與坐標(biāo)選擇無關(guān)。 321,第七章空間問題的基本理論6.6.關(guān)于一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的結(jié)論：關(guān)于一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的結(jié)論： 6個(gè)坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量完全確定一點(diǎn) 的應(yīng)力狀態(tài)。只要6個(gè)坐標(biāo)面上的應(yīng)力 分量確定了，則通過此點(diǎn)的任何面

10、上的 應(yīng)力也完全確定并可求出。(2)一點(diǎn)存在著3個(gè)互相垂直的應(yīng)力主面及 主應(yīng)力。一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)第七章空間問題的基本理論(3) 3個(gè)主應(yīng)力包含了此點(diǎn)的最大和最小 正應(yīng)力。 (4) 一點(diǎn)存在3個(gè)應(yīng)力不變量.321,(5) 最大和最小切應(yīng)力為 ，作用于通過中間 主應(yīng)力、并且“平分最大和最小正應(yīng) 力的夾角”的平面上。13.2321 設(shè)第七章空間問題的基本理論思考題1.試考慮：對(duì)于平面問題若 則此點(diǎn)所有的正應(yīng)力均為 ,切應(yīng)力均 為0，即存在無數(shù)多的主應(yīng)力。,212. 試考慮：對(duì)于空間問題若 則此點(diǎn)所有的正應(yīng)力均為 ,切應(yīng)力均 為0，即存在無數(shù)多的主應(yīng)力。,321第七章空間問題的基本理論 空間問題的幾何方程

11、，空間問題的幾何方程，可以從平面問題推廣得出：,xux,yzwvyz),;,(wvuzyx(a)幾何方程7-4 7-4 幾何方程及物理方程幾何方程及物理方程),;,(wvuzyx第七章空間問題的基本理論 從幾何方程同樣可得出形變與位移之間的關(guān)系： 若位移確定，則形變完全確定。若位移確定，則形變完全確定。幾何方程 從數(shù)學(xué)上看，由位移函數(shù)求導(dǎo)數(shù)是完全確定的，故形變完全確定。第七章空間問題的基本理論-沿x , y , z 向的剛體平移； 若形變確定，則位移不完全確定。若形變確定，則位移不完全確定。 由形變求位移，要通過積分，會(huì)出現(xiàn)待定的函數(shù)。若 ，還存在對(duì)應(yīng)的位移分量，為：0yzx),(zyx 0,

12、yzuuzy( , , ; , , ).x y z u v w(b)000,wvu幾何方程zyx,-繞x , y , z軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。第七章空間問題的基本理論 若在 邊界上給定了約束位移分量 ，則空間問題的位移邊界條件為：空間問題的位移邊界條件為：uswvu,( ),suu( , , ).u v w( c )位移邊界條件第七章空間問題的基本理論zyxzyxzzyyxxzyxdddddd)d)(dd)(dd(d1)1)(1)(1 (zyx.zyx(d) 其中由于小變形假定，略去了形變的其中由于小變形假定，略去了形變的2 2、3 3次冪。次冪。體積應(yīng)變體積應(yīng)變體積應(yīng)變定義為：dvdvvd第七章空間

13、問題的基本理論空間問題的物理方程空間問題的物理方程 應(yīng)變用應(yīng)力表示，用于按應(yīng)力求解方法：應(yīng)變用應(yīng)力表示，用于按應(yīng)力求解方法：),(1zyxxE2(1),yzyzE( x ,y ,z ). (e)物理方程可表示為兩種形式：第七章空間問題的基本理論 應(yīng)力用應(yīng)變表示，用于按位移求解方法：應(yīng)力用應(yīng)變表示，用于按位移求解方法：),21(1xxE,(1)yzyzE (x ,y , z). ( f )由物理方程可以導(dǎo)出,21E（g） 是第一應(yīng)力不變量，又稱為體積應(yīng)力。21 E-稱為體積模量。第七章空間問題的基本理論 空間問題的應(yīng)力，形變，位移等15個(gè)未知函數(shù)，它們都是(x ,y ,z)的函數(shù)。這些函數(shù)在區(qū)域

14、V內(nèi)必須滿足3個(gè)平衡微分方程，6個(gè)幾何方程及6個(gè)物理方程，并在邊界上滿足3個(gè)應(yīng)力或位移的邊界條件。結(jié)論：結(jié)論第七章空間問題的基本理論思考題 若形變分量為零， 試導(dǎo)出對(duì)應(yīng)的位移分量。, )( 0 x,y,zyzx第七章空間問題的基本理論 空間軸對(duì)稱問題空間軸對(duì)稱問題 采用柱坐標(biāo) 表示。(,)z軸對(duì)稱問題 如果彈性體的幾何形狀，約束情況和所受的外力都為軸對(duì)稱，則應(yīng)力，形變和位移也是軸對(duì)稱的。7-5 7-5 軸對(duì)稱問題的基本方程軸對(duì)稱問題的基本方程第七章空間問題的基本理論 對(duì)于對(duì)于空間軸對(duì)稱問題：空間軸對(duì)稱問題：應(yīng)力中只有應(yīng)力中只有,zz。0; 0; 0uzz(a)形變中只有形變中只有,zz位移中只

15、有位移中只有,zuu軸對(duì)稱問題所有物理量?jī)H為所有物理量?jī)H為( (,z,z) )的函數(shù)。的函數(shù)。第七章空間問題的基本理論而由, 0F得出為 。 0, 0, (b)0, 0.zzzzZzFfzFfz平衡微分方程：平衡微分方程：第七章空間問題的基本理論 幾何方程幾何方程：其中, 00zu，幾何方程為, , , (c)zzzzuuuzuuz。第七章空間問題的基本理論物理方程：物理方程：應(yīng)變用應(yīng)力表示：應(yīng)變用應(yīng)力表示：。，（zzZEzE)1 (2),)(1(d)第七章空間問題的基本理論 應(yīng)力用應(yīng)變表示：應(yīng)力用應(yīng)變表示：(), , ),112 (e).2(1)zzEzE ，（其中。zuuuzz第七章空間問

16、題的基本理論邊界條件：邊界條件： 一般用柱坐標(biāo)表示時(shí)，邊界面均為坐標(biāo)面。所以邊界條件也十分簡(jiǎn)單。 在柱坐標(biāo)中，坐標(biāo)分量 的量綱、方向性、坐標(biāo)線的性質(zhì)不是完全相同的。因此，相應(yīng)的方程不具有對(duì)等性。z ,第七章空間問題的基本理論思考題 試由空間軸對(duì)稱問題的基本方程，簡(jiǎn)化導(dǎo)出平面軸對(duì)稱問題的基本方程。第七章空間問題的基本理論例題1例題2例題3例題例題第七章空間問題的基本理論例題 1設(shè)物體的邊界面方程為 試求出邊界面的應(yīng)力邊界條件；若面力為法向的分布拉力 應(yīng)力邊界條件是什么形式？, 0),(zyxF),(zyxq第七章空間問題的基本理論,/ kFnxx（x, y, z)，其中1 / 2222,.xxy

17、zFFxkFFF 解：當(dāng)物體的邊界面方程為時(shí)，它的表面法線的方向余弦 為zyxnnn,0),(zyxF第七章空間問題的基本理論當(dāng)面力為法向分布拉力q時(shí)，,xflq(x, y, z).因此，應(yīng)力邊界條件為 , ().xxyxyzzxxsFFFF qx,y,z代入應(yīng)力邊界條件，得 ,xxyyxzzxsxF F F kf(x, y, z).第七章空間問題的基本理論例題2 試求圖示空間彈性體中的應(yīng)力分量。 (a)正六面體彈性體置于剛體中，上邊界受均布?jí)毫作用，設(shè)剛性體與彈性體之間無摩擦力。 (b)半無限大空間體，其表面受均布?jí)毫的作用。qqooxxzz第七章空間問題的基本理論解：圖示的(a),(b

18、)兩問題是相同的應(yīng)力狀態(tài)：x向與y向的應(yīng)力、應(yīng)變和位移都是相同的，即等。yx 0yx0yx對(duì)于(a)，有約束條件； 對(duì)于(b)，有對(duì)稱條件。qqooxxzz第七章空間問題的基本理論則可解出：, 0)(1, 0)(1zxyyzyxxEE.11qzyx而兩者的，因此，由物理方程：qzqqooxxzz第七章空間問題的基本理論例題 圖示的彈性體為一長(zhǎng)柱形體，在頂面 z=0 上有一集中力 F 作用于角點(diǎn)，試寫出z=0 表面上的邊界條件。xyobbaaz圖7-5P第七章空間問題的基本理論解：本題是空間問題，z=0 的表面是小邊 界，可以應(yīng)用圣維南原理列出應(yīng)力的邊界條件。即在z=0的表面邊界上，使應(yīng)力的主矢量和主矩，分別等于面力的主矢量和主矩，兩者數(shù)值相等，方向一致。 由于面力的主矢量和主矩是給定的， 因此，應(yīng)力的主矢量和主矩的數(shù)值，