第八章復(fù)習(xí)課

1、一、一、 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 二、二、 典型例題典型例題 習(xí)題課習(xí)題課隨機(jī)事件與概率隨機(jī)事件與概率 第八八章 1.1.隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn) 定義定義1 對(duì)某種自然現(xiàn)象作一次觀察或進(jìn)行一次科對(duì)某種自然現(xiàn)象作一次觀察或進(jìn)行一次科學(xué)試驗(yàn)統(tǒng)稱為學(xué)試驗(yàn)統(tǒng)稱為試驗(yàn)試驗(yàn) . 如果這個(gè)試驗(yàn)如果這個(gè)試驗(yàn)“在相同的條件在相同的條件”下可以重復(fù)進(jìn)行下可以重復(fù)進(jìn)行, , 而且每次試驗(yàn)結(jié)果事前不能確定而且每次試驗(yàn)結(jié)果事前不能確定, 但卻呈現(xiàn)某種規(guī)律性但卻呈現(xiàn)某種規(guī)律性, ,則稱此試驗(yàn)稱為則稱此試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn) . 一、一、 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 2. 基本事件與樣本空間基本事件與樣本空間 定義定義2 試驗(yàn)試驗(yàn) e 中每一

2、個(gè)可能結(jié)果稱為中每一個(gè)可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件隨機(jī)事件. 而把不能再分的事件稱為而把不能再分的事件稱為基本事件基本事件. . 定義定義3 所有基本事件組成的集合稱為試驗(yàn)所有基本事件組成的集合稱為試驗(yàn)e 的的樣本樣本 空間空間, 記為記為. 定義定義4 在一定條件組下必然會(huì)發(fā)生的事件稱為在一定條件組下必然會(huì)發(fā)生的事件稱為必然必然 事件事件. 必然事件仍用必然事件仍用 表示表示 . 定義定義5 在一定條件組下必然不發(fā)生的事件稱為在一定條件組下必然不發(fā)生的事件稱為不可不可 能事件能事件 . 不可能事件用不可能事件用 表示表示 .3.3.事件間的關(guān)系與運(yùn)算事件間的關(guān)系與運(yùn)算 定義定義6 如果事件如果事件

3、a 發(fā)生必然導(dǎo)致事件發(fā)生必然導(dǎo)致事件 b 發(fā)生發(fā)生 , 則稱則稱 事件事件 b 包含包含事件事件 a , 記為記為.ab 若事件若事件 a 包含包含 b , 同時(shí)事件同時(shí)事件 b 也包含事件也包含事件 a , 即即 ba 且且 ,ab 則稱則稱 事件事件 a 與事件與事件 b 相等相等 , 記為記為 a = b . 定義定義7 設(shè)設(shè)a、b 為兩個(gè)事件為兩個(gè)事件, 事件事件 a, b 至少有一至少有一 個(gè)發(fā)生個(gè)發(fā)生 稱為稱為 a與與 b的的和事件和事件, 記為記為ab 或或 .ab 定義定義8 設(shè)設(shè) a、b 為兩個(gè)事件為兩個(gè)事件, 事件事件 a, b 兩事件同兩事件同 時(shí)發(fā)生時(shí)發(fā)生 稱為稱為 a

4、與與 b的的積事件積事件, 記為記為ab 或或 .ab定義定義9 設(shè)設(shè)a, b為兩個(gè)事件為兩個(gè)事件, 事件事件 a發(fā)生而發(fā)生而b不發(fā)生不發(fā)生 稱為稱為 a與與 b的的差事件差事件, 記為記為.ab 定義定義10 若事件若事件a 和和b 不能同時(shí)發(fā)生不能同時(shí)發(fā)生, 則稱則稱a與與b互不互不 相容相容或或互斥互斥 . 若若 a 與與 b 互不相容互不相容, 則有則有 .ab 定義定義11 設(shè)設(shè)a 是一個(gè)事件是一個(gè)事件, 令令 ,aa 對(duì)立事件對(duì)立事件. 稱稱 是是 a 的的a4. 事件間的運(yùn)算規(guī)律事件間的運(yùn)算規(guī)律 (1) 交換律交換律 ,abba abba (2) 結(jié)合律結(jié)合律 ()(),abca

5、bcabc ()()a bcab cabc (3) 分配律分配律 (),a bcabac ()()abcabac (4) 對(duì)偶公式對(duì)偶公式 _,abab _abab _,abcabc _abcabc 定義定義1 如果隨機(jī)事件如果隨機(jī)事件a在在n次試驗(yàn)中發(fā)生了次試驗(yàn)中發(fā)生了na次次, 稱稱 5. 頻頻 率率( )annfan 為事件為事件 a 發(fā)生的發(fā)生的頻率頻率 . 頻率具有下述性質(zhì)頻率具有下述性質(zhì) : (1) 非負(fù)性非負(fù)性 : fn(a) 0 ; (2) 規(guī)范性規(guī)范性 : 若若是必然事件是必然事件, 則則 fn() = 1 ; (3) 有限可加性有限可加性 : 若事件若事件a1, a2 ,

6、, ak互不相容互不相容, 12(.)nkfaaa則則: 6.6.概率的公理化定義概率的公理化定義 定義定義2 (概率的公理化定義概率的公理化定義) 設(shè)設(shè) e 是隨機(jī)試驗(yàn)是隨機(jī)試驗(yàn) , 是是 它的樣本空間它的樣本空間, 對(duì)于試驗(yàn)對(duì)于試驗(yàn) e 的每一個(gè)事件的每一個(gè)事件 a 賦予一賦予一 個(gè)實(shí)數(shù)個(gè)實(shí)數(shù), 記為記為 p(a) . 若若 p(a) 滿足下列三個(gè)條件滿足下列三個(gè)條件 : (1) 非負(fù)性非負(fù)性 : 對(duì)每一個(gè)事件對(duì)每一個(gè)事件a , 有有 0p(a) 1 ; p() =1 ; (2) 規(guī)范性規(guī)范性 : (3) 有限可加性有限可加性 : a1, a2 , 是兩兩互不相容的事件是兩兩互不相容的事件

7、() ,ijaaij 即即 則有則有 11()() .iiiipap a 則稱則稱 p(a) 為事件為事件 a 的的概率概率 . 概率的性質(zhì)概率的性質(zhì) : 性質(zhì)性質(zhì) 1 ()0;p 這個(gè)性質(zhì)說(shuō)明這個(gè)性質(zhì)說(shuō)明: 不可能事件的概率為不可能事件的概率為0 , 但逆命題但逆命題不一定成立不一定成立 . 性質(zhì)性質(zhì) 2 若若 a1, a2 an 是兩兩互不相容的事件是兩兩互不相容的事件則有則有 11 .nniiiipap a 特別地特別地, 若事件若事件 a 與事件與事件 b 互不相容互不相容, 則有則有()()().p abp ap b 性質(zhì)性質(zhì) 3 (1) 對(duì)任意事件對(duì)任意事件 a , 有有( )1(

8、 ).p ap a (2) 若若,ab ()() ,p abp ap b 則則 ()().p ap b 且且 性質(zhì)性質(zhì) 4 設(shè)設(shè) a, b 是兩個(gè)事件是兩個(gè)事件,則則(概率加法公式概率加法公式) ()()()().p abp ap bp ab 推廣到三個(gè)事件和事件的概率推廣到三個(gè)事件和事件的概率 : ()p abc ()()()p ap bp c ()()()()p abp acp bcp abc 定義定義3 對(duì)于某一隨機(jī)試驗(yàn)對(duì)于某一隨機(jī)試驗(yàn) , 如果具有下述特征如果具有下述特征 : (1) 樣本空間中的元素樣本空間中的元素 (基本事件基本事件) 只有有限個(gè)只有有限個(gè). 不妨設(shè)為不妨設(shè)為 n

9、個(gè)個(gè), 記為記為 1 , 2 , , n . (2) 每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性是相等的每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性是相等的 , 即即 121()()().npppn . 則稱其為則稱其為古典概率古典概率 . 6.6.古典概率古典概率 若事件若事件a 包含包含 m 個(gè)基本事件個(gè)基本事件 12,miii 即即 12.,miiia 12()(.)miiip ap 12()()()miiippp mn 所以所以 : 7.7.條件概率條件概率定義定義1 設(shè)設(shè)a, b為隨機(jī)試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)e 的兩個(gè)事件的兩個(gè)事件, 且且 p(a)0,為事件為事件 a 已發(fā)生的條件下已發(fā)生的條件下, ()(|)( )p abp

10、b ap a 則稱則稱事件事件 b 發(fā)生的發(fā)生的條件概率條件概率. 同理在事件同理在事件 b 發(fā)生的條件下發(fā)生的條件下, 事件事件 a 發(fā)生的條件發(fā)生的條件概率為概率為 :()(|), ( ( )0)( )p abp a bp bp b 注注: 條件概率與普通概率有相類似的性質(zhì)條件概率與普通概率有相類似的性質(zhì), 如如: (1)(|)1(|);p b ap b a (2) 若若 bc, 則則 p( (bc) | a ) = p( b|a ) + p( c|a ) . 8.8.乘法公式乘法公式由條件概率的公式由條件概率的公式 :()(|)()p abp a bp b ()(|)()p abp b

11、ap a ()()(|)p abp bp a b ()()(|)p abp ap b a 以上兩式稱為事件概率的以上兩式稱為事件概率的乘法公式乘法公式.12312312()() ()p a a ap a a p a a a 121312() () ().p a p a a p a a a 乘法公式推廣乘法公式推廣:9.9.獨(dú)立性獨(dú)立性設(shè)設(shè) a、b 是兩個(gè)事件是兩個(gè)事件, 若若 p(a)0 , (1) 若若 a 的發(fā)生對(duì)的發(fā)生對(duì) b 發(fā)生的概率有影響發(fā)生的概率有影響, 則則 ( | )( );p b ap b (2) 若若 a 的發(fā)生對(duì)的發(fā)生對(duì) b 發(fā)生的概率沒(méi)有影響發(fā)生的概率沒(méi)有影響, 則則

12、(|)( ).p b ap b 事件事件 a, b 之間互不影響之間互不影響, 稱稱 a 與與 b 相互獨(dú)立相互獨(dú)立. 定義定義3 設(shè)設(shè) a , b 是兩事件是兩事件. 如果滿足：如果滿足：()() (),p abp a p b 則稱事件則稱事件 a 與事件與事件 b 相互獨(dú)立相互獨(dú)立. 定理定理1 設(shè)試驗(yàn)設(shè)試驗(yàn) 的樣本空間為的樣本空間為, 設(shè)事件設(shè)事件a1, a2 , , an 為為的一個(gè)劃分的一個(gè)劃分, 且且 p(ai) 0 (i = 1, 2, , n). 則對(duì)任意事件則對(duì)任意事件b, 有有: 1()() (|)niiip bp a p b a 全概率公式全概率公式 10.10.全概率公

13、式全概率公式上式稱為上式稱為貝葉斯公式貝葉斯公式 .定理定理2 設(shè)設(shè) a1 , a2 , , an 為樣本空間為樣本空間的一個(gè)劃分的一個(gè)劃分, p(ai) 0 (i=1,2, , n) , 則對(duì)于任一事件則對(duì)于任一事件b (p(b)0), 有有:( ) (|)( ) (|)( )()(|)( )(|)p abp a bp a p b ap a p b app ba p b a (|)ip ab() (|)iip a p b a1(|) ()niiip b a p a (1,2, )in 11.11.貝葉斯公式貝葉斯公式例例1某人下班后開(kāi)車回家需途徑某人下班后開(kāi)車回家需途徑3個(gè)路口，以個(gè)路口，以

14、 表表 示第示第i個(gè)路口遇上紅燈（個(gè)路口遇上紅燈（1,2,3）試用）試用 表示下列事件：表示下列事件：（1）遇到）遇到3次紅燈；（次紅燈；（2）至少遇到一次紅燈；）至少遇到一次紅燈；（3）至多遇到）至多遇到2次紅燈；（次紅燈；（4）一路綠燈。）一路綠燈。iaia例例2 有有6個(gè)同學(xué)排成一隊(duì)，求某個(gè)同學(xué)排成一隊(duì)，求某2人排在一起的概率。人排在一起的概率。二、二、 典型例題典型例題 例例3 一個(gè)口袋中裝有大小相同的一個(gè)口袋中裝有大小相同的5個(gè)白球，個(gè)白球，4個(gè)黑球，個(gè)黑球， 從中任取從中任取2球。（球。（1）事件）事件 a為為取到的都是黑取到的都是黑 球球，求，求p(a)；(2)事件事件b為為至少

15、取到一個(gè)白球至少取到一個(gè)白球， 求求p(b)。例例4 已知袋中有已知袋中有5個(gè)大小相同的球，其中個(gè)大小相同的球，其中3個(gè)紅球個(gè)紅球2個(gè)個(gè) 黑球，現(xiàn)從袋中不放回地順序取出兩球，已知黑球，現(xiàn)從袋中不放回地順序取出兩球，已知 第一次取得紅球，求第二次取得黑球的概率。第一次取得紅球，求第二次取得黑球的概率。例例5 甲、乙、丙三個(gè)工廠生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分甲、乙、丙三個(gè)工廠生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的別占總產(chǎn)量的25%、35%、40%。從中任取一件產(chǎn)品發(fā)。從中任取一件產(chǎn)品發(fā)現(xiàn)不是丙廠生產(chǎn)的，求取到的產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的概率?，F(xiàn)不是丙廠生產(chǎn)的，求取到的產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的概率。例例6 一個(gè)筐子中有一個(gè)筐

16、子中有8只乒乓球，其中只乒乓球，其中4只新球，只新球，4只舊球。只舊球。 新球用過(guò)后就視為舊球，每次使用時(shí)隨意取一只，新球用過(guò)后就視為舊球，每次使用時(shí)隨意取一只， 用后放回筐中，求第二次所用球才是舊球的概率。用后放回筐中，求第二次所用球才是舊球的概率。 例例7 兩人獨(dú)立地破譯一組密碼，他們能譯出的概率兩人獨(dú)立地破譯一組密碼，他們能譯出的概率 分別為分別為0.3、0.4，求此密碼能譯出的概率。，求此密碼能譯出的概率。 例例8 某工廠有三條流水線生產(chǎn)同一產(chǎn)品，已知這三某工廠有三條流水線生產(chǎn)同一產(chǎn)品，已知這三 條流水線的生產(chǎn)能力分別占總量的條流水線的生產(chǎn)能力分別占總量的40%，35%， 25%，每條流水線的次品率分別為，每條流水線的次品率分別為1%，2%， 2%，那么該工廠的這種產(chǎn)品的合格率是多少？，那么該工廠的這種產(chǎn)品的合格率是多少？ 例