函數(shù)的單調(diào)性和凸凹性PPT課件

1、內(nèi)容提要內(nèi)容提要 1.1.函數(shù)函數(shù)單調(diào)性單調(diào)性判別法，判別法，不等式不等式的各種的各種證明證明方法；方法； 2.2.曲線的曲線的凸凹性凸凹性。教學(xué)要求教學(xué)要求 1.1.熟練掌握函數(shù)熟練掌握函數(shù)單調(diào)性單調(diào)性判別法，熟練判別法，熟練不等式不等式的的各種證明方法；各種證明方法； 2.2.熟練掌握函數(shù)極值的概念和必要條件，熟練熟練掌握函數(shù)極值的概念和必要條件，熟練掌握極值存在的第一，第二充分條件和求法。掌握極值存在的第一，第二充分條件和求法。 第1頁/共19頁 )(xfy xyoabAB0)( xf0)( xf)(xfy xyo abBA，內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在),(ba定理定理1 1上上在在那末函數(shù)那末函

2、數(shù),)(baxf上上連連續(xù)續(xù)，在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),)(baxf)(xf那末函數(shù)那末函數(shù)上上在在,ba一、單調(diào)性的判別法一、單調(diào)性的判別法內(nèi)內(nèi)如如果果在在）（),(1ba內(nèi)內(nèi)如果在如果在),()2(ba，0)( xf.單調(diào)增加單調(diào)增加，0)( xf.單調(diào)減少單調(diào)減少第2頁/共19頁例例1解解.1的單調(diào)性的單調(diào)性討論函數(shù)討論函數(shù) xeyx. 1 xey,)0 ,(內(nèi)內(nèi)在在 , 0 y函數(shù)單調(diào)減少；函數(shù)單調(diào)減少；,), 0(內(nèi)內(nèi)在在, 0 y.函數(shù)單調(diào)增加函數(shù)單調(diào)增加).,(:D又又第3頁/共19頁.3)(23的的單單調(diào)調(diào)性性討討論論函函數(shù)數(shù)例例xxxf 解解，函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域?yàn)闉?,( )(

3、xf033)(2 xxf令令1 x得得列表討論如下：列表討論如下：x)1,( )11(， )1( ，11 )(xf )(xfy 00為書寫簡(jiǎn)便為書寫簡(jiǎn)便: :單調(diào)增加單調(diào)增加 簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為 . .單調(diào)減少單調(diào)減少 簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為 . .332 x第4頁/共19頁例例3解解.)(32的的單單調(diào)調(diào)性性討討論論函函數(shù)數(shù)xxf ).,( 函函數(shù)數(shù)定定義義域域?yàn)闉?)(xf.,0導(dǎo)數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)不存在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x32xy oxy列表討論如下：列表討論如下：x)0 ,( )0( ，)(xf )(xfy 0不存在不存在劃分定義域，劃分定義域，的點(diǎn)的點(diǎn)用導(dǎo)數(shù)不存在用導(dǎo)數(shù)不存在0 x,1323x 第5頁/共19頁二

4、、單調(diào)區(qū)間求法二、單調(diào)區(qū)間求法定義定義:若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間.導(dǎo)數(shù)等于零導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間，可能是單調(diào)區(qū)間的的分界點(diǎn)分界點(diǎn)方法方法:.,)()(0)(數(shù)的符號(hào)數(shù)的符號(hào)然后判斷區(qū)間內(nèi)導(dǎo)然后判斷區(qū)間內(nèi)導(dǎo)的定義區(qū)間的定義區(qū)間來劃分函數(shù)來劃分函數(shù)不存在的點(diǎn)不存在的點(diǎn)的根及的根及用方程用方程xfxfxf 第6頁/共19頁例例4 4解解.31292)(23的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)確定函數(shù) xxxxf).,(:D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得，

5、得，解方程解方程0)( xf. 2, 121 xx時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 x, 0)( xf上上單單調(diào)調(diào)增增加加；在在1 ,( 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)21 x, 0)( xf上上單單調(diào)調(diào)減減少少；在在2 , 1 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) x2, 0)( xf上上單單調(diào)調(diào)增增加加；在在), 2 單調(diào)區(qū)間為單調(diào)區(qū)間為，1 ,(，2 , 1)., 2第7頁/共19頁指出：利用函數(shù)單調(diào)性的判定可以指出：利用函數(shù)單調(diào)性的判定可以證明某些不等式證明某些不等式. .例例5 5證證.tan,20 xxx 試證試證時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) .tan)(xxxf 設(shè)設(shè),2,0)(連連續(xù)續(xù)在在顯顯然然 xf內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，在在 2,0 1sec2 x )(xfx

6、2tan 0 .2,0)(上上單單調(diào)調(diào)增增加加在在故故 xf,20時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x)0()(fxf 0 .tanxx 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)即即20 x第8頁/共19頁證證.)1ln(,0. 1成立成立試證試證時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxx ),1ln()(xxxf 設(shè)設(shè).1)(xxxf 則則, 0)(), 0(,), 0)( xfxf可導(dǎo)，且可導(dǎo)，且且且上連續(xù)上連續(xù)在在上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在), 0 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0)1ln( xx即即).1ln(xx 故故)0()(fxf 練習(xí)練習(xí), 0 第9頁/共19頁三、曲線凹凸性的定義三、曲線凹凸性的定義問題問題:如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向?xyox

7、yo1x2x)(xfy 圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的上方于所張弦的上方xyo)(xfy 1x2x圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的下方于所張弦的下方ABC第10頁/共19頁定義定義);()(I)(,2)()()2(,I,I)(212121或凹弧或凹弧凹的凹的向上向上上的圖形是上的圖形是在在那末稱那末稱恒有恒有上任意兩點(diǎn)上任意兩點(diǎn)如果對(duì)如果對(duì)內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間設(shè)設(shè)xfxfxfxxfxxxf );()()(,2)()()2(,212121或凸弧或凸弧凸的凸的向上向上內(nèi)的圖形是內(nèi)的圖形是在在那末稱那末稱恒有恒有內(nèi)任意兩點(diǎn)內(nèi)任意兩點(diǎn)如果如果IxfxfxfxxfxxI 第11

8、頁/共19頁四、曲線凹凸的判定四、曲線凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB遞增遞增)(xf abBA0 y遞減遞減)(xf 0 y定理定理1.,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上的圖形是凸的上的圖形是凸的在在則則上的圖形是凹的上的圖形是凹的在在則則內(nèi)內(nèi)若在若在二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有內(nèi)具有在在上連續(xù)上連續(xù)在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 第12頁/共19頁xyo3xy 例例6 6.3的凹凸性的凹凸性判斷曲線判斷曲線xy 解解,32xy ,6xy 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y為凸的；為凸的；在在曲線曲線0 ,(時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x

9、, 0 y為凹的；為凹的；在在曲線曲線), 0 .)0 , 0(點(diǎn)點(diǎn)是曲線由凸變凹的分界是曲線由凸變凹的分界點(diǎn)點(diǎn)注意到注意到, ,第13頁/共19頁五、曲線的拐點(diǎn)及其求法五、曲線的拐點(diǎn)及其求法連續(xù)曲線上凹凸的分界點(diǎn)稱為連續(xù)曲線上凹凸的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)曲線的拐點(diǎn). 1.定義定義2.拐點(diǎn)的求法拐點(diǎn)的求法方法方法1:1:, 0)(,)(00 xfxxf且且的鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)的鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù);)(,(,)()1(000即為拐點(diǎn)即為拐點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)變號(hào)變號(hào)兩近旁兩近旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不是拐點(diǎn)不是拐點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)不變號(hào)不變號(hào)兩近旁兩近旁xfxxfx 第14頁/共19頁例例7.1

10、4334凹、凸的區(qū)間凹、凸的區(qū)間的拐點(diǎn)及的拐點(diǎn)及求曲線求曲線 xxy解解),(: D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,( ),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn))1 , 0()2711,32().,32,32, 0,0 ,(凹凸區(qū)間為凹凸區(qū)間為第15頁/共19頁方法方法2:2:.)()(,(,0)(, 0)(,)(00000的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)線線是曲是曲那末那末而而且且的鄰域內(nèi)三階可導(dǎo)的鄰域內(nèi)三階可導(dǎo)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xfyxfxxfxfxxf 例例8 8.)2 , 0(cossin的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)內(nèi)內(nèi)求曲線求曲線 xxy 解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令.47,4321 xx得得2)43( f, 0 2)47( f, 0 內(nèi)曲線有拐點(diǎn)為內(nèi)曲線有拐點(diǎn)為在在2 , 0 ).0 ,47(),0 ,43( 第16頁/共19頁.)()(,(,)(000的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)是連續(xù)曲線是連續(xù)曲線也可能也可能點(diǎn)點(diǎn)不存在不存在若若xfyxfxxf 注意注意: :例例9 9.3的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)求曲線求曲線xy 解解,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,3132 xy,9435 xy.,0均不存在均不存在是不可導(dǎo)點(diǎn)