數(shù)學(xué)建模第三講

1、第三講第三講 微分法建模微分法建模3.1 存貯模型存貯模型3.2 森林救火森林救火工廠工廠貯備原材料。貯備原材料。存貯的普遍性存貯的普遍性存貯問題是人類社會活動(dòng)，存貯問題是人類社會活動(dòng)，特別是生產(chǎn)活動(dòng)中一個(gè)普遍特別是生產(chǎn)活動(dòng)中一個(gè)普遍存在的問題。存在的問題。商店商店存貯商品。存貯商品。農(nóng)業(yè)部門農(nóng)業(yè)部門貯備種子，化貯備種子，化肥等。肥等。軍事部門軍事部門存貯武器彈藥存貯武器彈藥等。等。信息時(shí)代信息時(shí)代存貯大量的信存貯大量的信息息 。3.1 存貯模型存貯模型v驚人的資金占用驚人的資金占用據(jù)有關(guān)資據(jù)有關(guān)資料表明，到料表明，到1993年底，我國年底，我國全民庫存積壓產(chǎn)品達(dá)全民庫存積壓產(chǎn)品達(dá)2700億億

2、元，到元，到1995年初，我國國有年初，我國國有企業(yè)閑置資產(chǎn)和積壓產(chǎn)品高企業(yè)閑置資產(chǎn)和積壓產(chǎn)品高達(dá)達(dá)5000億元。億元。存貯存在的風(fēng)險(xiǎn)存貯存在的風(fēng)險(xiǎn)v大量的庫存物資還會引起某大量的庫存物資還會引起某貨物劣化變質(zhì)，造成巨大損貨物劣化變質(zhì)，造成巨大損失（藥品，水果，蔬菜等）。失（藥品，水果，蔬菜等）。v在市場經(jīng)濟(jì)條件下，過多地在市場經(jīng)濟(jì)條件下，過多地存貯物資將承受市場價(jià)格波存貯物資將承受市場價(jià)格波動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)。動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)。 存貯需要解決的主要問題存貯需要解決的主要問題要解決的主要問題：要解決的主要問題：v何時(shí)補(bǔ)充？何時(shí)補(bǔ)充？v每次補(bǔ)充多少庫存？每次補(bǔ)充多少庫存？ 根據(jù)前面的分析知道，一個(gè)工商企業(yè)為了為了

3、根據(jù)前面的分析知道，一個(gè)工商企業(yè)為了為了使生產(chǎn)和經(jīng)營活動(dòng)有條不紊地進(jìn)行，需要貯備物資使生產(chǎn)和經(jīng)營活動(dòng)有條不紊地進(jìn)行，需要貯備物資 ，但過多又有巨大的風(fēng)險(xiǎn)。那么，究竟應(yīng)存放多少物但過多又有巨大的風(fēng)險(xiǎn)。那么，究竟應(yīng)存放多少物資為最適宜呢？資為最適宜呢？ 存貯系統(tǒng)存貯系統(tǒng)存貯存貯補(bǔ)充補(bǔ)充需求需求信息反饋信息反饋 補(bǔ)充時(shí)間和補(bǔ)充數(shù)量稱為補(bǔ)充時(shí)間和補(bǔ)充數(shù)量稱為存貯策略存貯策略。 存貯策略的存貯策略的優(yōu)劣衡量標(biāo)準(zhǔn)優(yōu)劣衡量標(biāo)準(zhǔn)，最直接的是計(jì)算該，最直接的是計(jì)算該策略所耗用的平均費(fèi)用多少。策略所耗用的平均費(fèi)用多少。存貯策略執(zhí)行所涉及的費(fèi)用存貯策略執(zhí)行所涉及的費(fèi)用u存貯費(fèi)：占用資金應(yīng)付的利息，使用倉庫、保管存貯

4、費(fèi)：占用資金應(yīng)付的利息，使用倉庫、保管貨物、損壞變質(zhì)等支出的費(fèi)用。貨物、損壞變質(zhì)等支出的費(fèi)用。 u訂貨費(fèi)：（訂貨費(fèi)：（1 1）訂購費(fèi)訂購費(fèi)手續(xù)費(fèi)、電信往來、人員手續(xù)費(fèi)、電信往來、人員外出費(fèi)；（外出費(fèi)；（2 2）貨物的成本費(fèi)（可變費(fèi)）貨物的成本費(fèi)（可變費(fèi)） 。u生產(chǎn)費(fèi)：（生產(chǎn)費(fèi)：（1 1）裝配費(fèi)，如更換模具等（固定）；裝配費(fèi)，如更換模具等（固定）；（2 2）材料費(fèi)、加工費(fèi)（可變費(fèi)）。材料費(fèi)、加工費(fèi)（可變費(fèi)）。 u缺貨費(fèi)：當(dāng)存貯供不應(yīng)求時(shí)所引起的損失，如失缺貨費(fèi)：當(dāng)存貯供不應(yīng)求時(shí)所引起的損失，如失去銷售機(jī)會的損失、停工待料的損失、不能履行合去銷售機(jī)會的損失、停工待料的損失、不能履行合同而繳納罰款等

5、。同而繳納罰款等。 配件廠配件廠存貯模型存貯模型問問 題題 配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時(shí)因更換設(shè)備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)，產(chǎn)量大產(chǎn)品時(shí)因更換設(shè)備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)，產(chǎn)量大于需求時(shí)要付貯存費(fèi)。該廠生產(chǎn)能力非常大，于需求時(shí)要付貯存費(fèi)。該廠生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時(shí)間內(nèi)產(chǎn)出。即所需數(shù)量可在很短時(shí)間內(nèi)產(chǎn)出。 已知某產(chǎn)品日需求量已知某產(chǎn)品日需求量100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)每日每件元，貯存費(fèi)每日每件1元。試安排該產(chǎn)品元。試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，即多少天生產(chǎn)一次（生產(chǎn)周的生產(chǎn)計(jì)劃，即多少天生產(chǎn)一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費(fèi)用最小。

6、期），每次產(chǎn)量多少，使總費(fèi)用最小。要要 求求 不只是回答問題，而且要建立生產(chǎn)周期、不只是回答問題，而且要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與需求量、準(zhǔn)備費(fèi)、貯存費(fèi)之間的關(guān)系。產(chǎn)量與需求量、準(zhǔn)備費(fèi)、貯存費(fèi)之間的關(guān)系。問題分析問題分析 每天生產(chǎn)一次每天生產(chǎn)一次，每次，每次100件，無貯存費(fèi)，準(zhǔn)件，無貯存費(fèi)，準(zhǔn)備費(fèi)備費(fèi)5000元。元。 日需求日需求100件，準(zhǔn)備費(fèi)件，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)每元，貯存費(fèi)每日每件日每件1元。元。每天費(fèi)用每天費(fèi)用5000元元 50天生產(chǎn)一次天生產(chǎn)一次，每次，每次5000件，貯存費(fèi)件，貯存費(fèi)4900+4800+100 =122500元，準(zhǔn)備費(fèi)元，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，元，總計(jì)總計(jì)127500

7、元。元。平均每天費(fèi)用平均每天費(fèi)用2550元元1010天生產(chǎn)一次平均每天費(fèi)用最小嗎天生產(chǎn)一次平均每天費(fèi)用最小嗎? ? 10天生產(chǎn)一次天生產(chǎn)一次，每次，每次1000件，貯存費(fèi)件，貯存費(fèi)900+800+100 =4500元，準(zhǔn)備費(fèi)元，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，元，總計(jì)總計(jì)9500元。元。平均每天費(fèi)用平均每天費(fèi)用950元元 這是一個(gè)優(yōu)化問題，關(guān)鍵在建立目標(biāo)函數(shù)。這是一個(gè)優(yōu)化問題，關(guān)鍵在建立目標(biāo)函數(shù)。顯然不能用一個(gè)周期的總費(fèi)用作為目標(biāo)函數(shù)顯然不能用一個(gè)周期的總費(fèi)用作為目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)每天總費(fèi)用的平均值每天總費(fèi)用的平均值 周期短，產(chǎn)量小周期短，產(chǎn)量小 周期長，產(chǎn)量大周期長，產(chǎn)量大貯存費(fèi)少，準(zhǔn)備費(fèi)多貯存費(fèi)少

8、，準(zhǔn)備費(fèi)多準(zhǔn)備費(fèi)少，貯存費(fèi)多準(zhǔn)備費(fèi)少，貯存費(fèi)多尋找最佳的周期和產(chǎn)量，使總費(fèi)用（二者尋找最佳的周期和產(chǎn)量，使總費(fèi)用（二者之和）最小。之和）最小。模模 型型 假假 設(shè)設(shè) 1. 產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù)產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù) r； 2. 每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為 c1, 每天每件產(chǎn)品貯每天每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為存費(fèi)為 c2； 3. T天生產(chǎn)一次（周期）天生產(chǎn)一次（周期）, 每次生產(chǎn)每次生產(chǎn)Q件，件，當(dāng)貯存量為零時(shí)，當(dāng)貯存量為零時(shí)，Q件產(chǎn)品立即到來（生產(chǎn)時(shí)件產(chǎn)品立即到來（生產(chǎn)時(shí)間不計(jì)）；間不計(jì)）； 4. 為方便起見，時(shí)間和產(chǎn)量都作為連續(xù)為方便起見，時(shí)間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理。量處理。模模 型型 建建

9、立立0tq 設(shè)設(shè)q(t)表示表示t時(shí)刻的時(shí)刻的貯存量，貯存量，t=0生產(chǎn)生產(chǎn)Q件，件，q(0)=Q， q(t)以需求速以需求速率率r遞減，遞減，q(T)=0。TQr一周期一周期總費(fèi)用總費(fèi)用TQccC221AcdttqcT202)(一周期貯存費(fèi)為一周期貯存費(fèi)為A=QT/22221rTcc rTQ 模型求解模型求解Min2)(21rTcTcTC求求 T 使使0dTdC212crcrTQ212rccT 模型分析模型分析QTc,1QTc,2QTr,每天總費(fèi)用平均每天總費(fèi)用平均值（目標(biāo)函數(shù)）值（目標(biāo)函數(shù)）2)(21rTcTcTCTC模型應(yīng)用模型應(yīng)用c1=5000, c2=1，r=100T=10(天天),

10、 Q=1000(件件), C=1000(元元) 回答問題回答問題 經(jīng)濟(jì)批量訂貨公式經(jīng)濟(jì)批量訂貨公式（EOQ公式公式）用于訂貨、供應(yīng)、存貯情形用于訂貨、供應(yīng)、存貯情形 每天需求量每天需求量 r，每次訂貨費(fèi)，每次訂貨費(fèi) c1,每天每件每天每件貯存費(fèi)貯存費(fèi) c2 ，T天訂貨一次天訂貨一次(周期周期), 每次訂貨每次訂貨Q件，件，當(dāng)貯存量降到零時(shí)，當(dāng)貯存量降到零時(shí)，Q件立即到貨件立即到貨。不允許缺貨的存貯模型不允許缺貨的存貯模型212rccT 212crcrTQ允許缺貨的存貯模型允許缺貨的存貯模型 當(dāng)貯存量降到零時(shí)仍有需求當(dāng)貯存量降到零時(shí)仍有需求r, 出現(xiàn)缺貨，出現(xiàn)缺貨，造成損失。造成損失。原模型假設(shè)

11、：貯存量降到零時(shí)原模型假設(shè)：貯存量降到零時(shí)Q件立即生產(chǎn)件立即生產(chǎn)出來出來(或立即到貨或立即到貨)。AB0qQrT1t現(xiàn)假設(shè)現(xiàn)假設(shè)：允許缺貨：允許缺貨, 每每天每件缺貨損失費(fèi)天每件缺貨損失費(fèi) c3 , 缺貨需補(bǔ)足缺貨需補(bǔ)足。T1rTQ 周期周期T, t=T1貯存量降到零。貯存量降到零。AcdttqcT2021)(一周期貯存費(fèi)一周期貯存費(fèi)BcdttqcTT331)(一周期缺貨費(fèi)一周期缺貨費(fèi)2)(2213121TTrcQTccC一周期總費(fèi)用一周期總費(fèi)用rTQrTcrTQcTcTCQTC2)(2),(232210,0QCTC每天總費(fèi)用平均值（目標(biāo)函數(shù)）每天總費(fèi)用平均值（目標(biāo)函數(shù)）Min),(QTC求求

12、 T ,Q 使使332212cccrccT323212ccccrcQ為與為與不允許缺貨的存貯模型不允許缺貨的存貯模型相比，相比，T記作記作T , Q記作記作Q212rccT 212crcrTQ不允不允許缺許缺貨模貨模型型QQTT,332ccc 記記1QQTT,13cQQTT,332212cccrccT323212ccccrcQ允許允許缺貨缺貨模型模型不不允允許許缺缺貨貨3c第一，第一，調(diào)節(jié)氣候調(diào)節(jié)氣候，改善，改善環(huán)境環(huán)境。 調(diào)節(jié)調(diào)節(jié)了林了林區(qū)區(qū)和周和周圍環(huán)圍環(huán)境的境的氣氣候，候，創(chuàng)創(chuàng)造造了一了一個(gè)個(gè)森林生境。森林生境。 第二，涵第二，涵養(yǎng)養(yǎng)水源，保持水土。水源，保持水土。 五五萬畝萬畝森林的森

13、林的儲儲水量水量 = 一百一百萬萬立方立方米米的小型水的小型水庫庫。二十公分厚的表土二十公分厚的表土層層，如果被雨水，如果被雨水沖沖刷刷干凈干凈，林地需要，林地需要57.7萬萬年年 草地需草地需要要8.2萬萬年年 耕地耕地46年年 裸地裸地18年。年。第三，防第三，防風(fēng)風(fēng)固沙，保固沙，保護(hù)農(nóng)護(hù)農(nóng)田。田。 一條一條防防護(hù)護(hù)林帶，可使林帶，可使樹樹高高20至至25倍倍范范圍圍的的風(fēng)風(fēng)速降低速降低50%。 第四，第四，凈化凈化大大氣氣，防治，防治污染污染。 森林的吸碳量占森林的吸碳量占70%，空，空氣氣中氧中氧氣氣的的60%是來自森林是來自森林植被植被。 3.2 森林救火森林救火森林的功能森林的功能

14、 從從20102010年年7月月30日開日開始俄羅斯森林發(fā)生的大始俄羅斯森林發(fā)生的大火，除了大片草木化為火，除了大片草木化為片片焦土，更引發(fā)連鎖片片焦土，更引發(fā)連鎖反應(yīng)：俄羅斯經(jīng)濟(jì)分析反應(yīng)：俄羅斯經(jīng)濟(jì)分析師估計(jì)，火災(zāi)導(dǎo)致的短師估計(jì)，火災(zāi)導(dǎo)致的短期損失可能為期損失可能為150億美元，億美元，相當(dāng)于俄羅斯相當(dāng)于俄羅斯2010年國內(nèi)年國內(nèi)生產(chǎn)總值的生產(chǎn)總值的1%; 首都莫首都莫斯科也未能逃脫火災(zāi)的斯科也未能逃脫火災(zāi)的影響，整座城市籠罩在影響，整座城市籠罩在大火產(chǎn)生的煙霧中大火產(chǎn)生的煙霧中 森林大火的影響森林大火的影響森林火災(zāi)有償撲救森林火災(zāi)有償撲救我國部分省林業(yè)廳規(guī)定：我國部分省林業(yè)廳規(guī)定：森林火災(zāi)

15、取消義務(wù)撲救，森林火災(zāi)取消義務(wù)撲救，實(shí)行補(bǔ)償制。實(shí)行補(bǔ)償制。一旦發(fā)生森林大火，森一旦發(fā)生森林大火，森林消防隊(duì)撲救森林火災(zāi)所林消防隊(duì)撲救森林火災(zāi)所發(fā)生的費(fèi)用，將由森林火發(fā)生的費(fèi)用，將由森林火災(zāi)的肇事單位和個(gè)人災(zāi)的肇事單位和個(gè)人“埋埋單單”?；馂?zāi)原因不清的，。火災(zāi)原因不清的，由林權(quán)所有者支付。由林權(quán)所有者支付。 有利于森林消防隊(duì)伍的有利于森林消防隊(duì)伍的生存和發(fā)展，有利于增強(qiáng)生存和發(fā)展，有利于增強(qiáng)人們的森林防火意識。人們的森林防火意識。 森林救火隊(duì)員派出模型森林救火隊(duì)員派出模型森林失火后，要確定派出消防隊(duì)員的數(shù)量。森林失火后，要確定派出消防隊(duì)員的數(shù)量。隊(duì)員多，森林損失小，救援費(fèi)用大；隊(duì)員隊(duì)員多，森林

16、損失小，救援費(fèi)用大；隊(duì)員少，森林損失大，救援費(fèi)用小。少，森林損失大，救援費(fèi)用小。綜合考慮綜合考慮損失費(fèi)和救援費(fèi)，確定隊(duì)員數(shù)量。損失費(fèi)和救援費(fèi)，確定隊(duì)員數(shù)量。問題分析問題分析問問題題 記隊(duì)員人數(shù)記隊(duì)員人數(shù)x, 失火時(shí)刻失火時(shí)刻t=0, 開始救火時(shí)刻開始救火時(shí)刻t1, 滅火時(shí)刻滅火時(shí)刻t2, 時(shí)刻時(shí)刻t森林燒毀面積森林燒毀面積B(t)。 損失費(fèi)損失費(fèi)f1(x)是是x的減函數(shù)，由燒毀面積的減函數(shù)，由燒毀面積B(t2)決決定定。 關(guān)鍵是對關(guān)鍵是對B(t)作出合理的簡化假設(shè)作出合理的簡化假設(shè). 失火時(shí)刻失火時(shí)刻t=0, 開始救火時(shí)刻開始救火時(shí)刻t1, 滅火時(shí)刻滅火時(shí)刻t2, 畫出時(shí)刻畫出時(shí)刻 t 森林燒

17、毀面積森林燒毀面積B(t)的大致圖形的大致圖形t1t20tBB(t2)分析分析B(t)比較困比較困難，轉(zhuǎn)而討論森難，轉(zhuǎn)而討論森林燒毀速度林燒毀速度dB/dt. 救援費(fèi)救援費(fèi)f2(x)是是x的增函數(shù)的增函數(shù), 由隊(duì)員人數(shù)和救火時(shí)由隊(duì)員人數(shù)和救火時(shí)間決定間決定.存在恰當(dāng)?shù)拇嬖谇‘?dāng)?shù)膞，使，使f1(x), f2(x)之和最小。之和最小。模型假設(shè)模型假設(shè)解釋解釋 rB火勢以失火點(diǎn)為中心，火勢以失火點(diǎn)為中心，均勻向四周呈圓形蔓均勻向四周呈圓形蔓延，半徑延，半徑 r與與 t 成正成正比比面積面積 B與與 t2成正比，成正比， dB/dt與與 t成正比成正比.1）0 t t1, dB/dt 與與 t成正比，

18、系數(shù)成正比，系數(shù) (火勢蔓延火勢蔓延速度）。速度）。dtdBb0t1tt2xdtdB= tx(t t1)，(t1 t t2)dtdB= t， (0 t t1)2）t1 t t2, 降為降為 - x ( 為隊(duì)員的平均滅火為隊(duì)員的平均滅火速速度度)； 3） f1(x)與與B(t2)成正比，系數(shù)成正比，系數(shù)c1 (燒毀單位面積燒毀單位面積損失費(fèi)）；損失費(fèi)）； 4）每個(gè)每個(gè)隊(duì)員的單位時(shí)間滅火費(fèi)用隊(duì)員的單位時(shí)間滅火費(fèi)用c2, 一次性費(fèi)一次性費(fèi)用用c3 。xbtt12202)()(tdtdttdBtB模型建立模型建立dtdBb0t1tt2x假設(shè)假設(shè)1）,1tbxcttxcxftBcxf31222211)(

19、)(),()(目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)總費(fèi)用總費(fèi)用)()()(21xfxfxC假設(shè)假設(shè)3）4）xttt112假設(shè)假設(shè)2）)(222212212xttbt0dxdCxcxxtcxtctcxC3122121211)(22)(模型建立模型建立目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)總費(fèi)用總費(fèi)用模型求解模型求解求求 x使使 C(x)最小最小231221122ctctcx / 是火勢不繼續(xù)蔓延的最少隊(duì)員數(shù)。是火勢不繼續(xù)蔓延的最少隊(duì)員數(shù)。其中其中 c1,c2,c3, t1, , 為已知參數(shù)為已知參數(shù)3.3 血血 管管 分分 支支問題：問題： 血液在血管中流動(dòng)時(shí)所消耗的能量分成血液在血管中流動(dòng)時(shí)所消耗的能量分成兩部分，一部分用于兩部分，一

20、部分用于供給血管壁以營養(yǎng)供給血管壁以營養(yǎng)，一，一部分用來部分用來克服流動(dòng)阻力克服流動(dòng)阻力。在長期的進(jìn)化中，。在長期的進(jìn)化中，qq1q1ABB CHLll1rr1 血管的幾何形狀已達(dá)到血管的幾何形狀已達(dá)到了消耗能量最小的優(yōu)化了消耗能量最小的優(yōu)化狀態(tài)。有時(shí)，一條粗血狀態(tài)。有時(shí)，一條粗血管會分成兩條細(xì)血管，管會分成兩條細(xì)血管，試確定粗細(xì)血管半徑的試確定粗細(xì)血管半徑的比例和分岔角度。比例和分岔角度。q=2q1r/r1, ?模型假設(shè)模型假設(shè)1）一條粗血管和兩條細(xì)血管在分支點(diǎn)對稱地）一條粗血管和兩條細(xì)血管在分支點(diǎn)對稱地處于同一平面；處于同一平面；2）血液流動(dòng)近似于粘性流體在剛性管道中的）血液流動(dòng)近似于粘性

21、流體在剛性管道中的運(yùn)動(dòng)；運(yùn)動(dòng)；3）血液給血管壁的能）血液給血管壁的能量隨管壁的內(nèi)表面積量隨管壁的內(nèi)表面積和體積的增加而增加，和體積的增加而增加，管壁厚度近似與血管管壁厚度近似與血管半徑成正比。半徑成正比。qq1q1ABB CHLll1rr1 模型建立模型建立qq1q1ABB CHLll1rr1 粘性流體在剛性管道中的運(yùn)動(dòng)粘性流體在剛性管道中的運(yùn)動(dòng)：利用流：利用流體力學(xué)知，粘性流體在剛性管道中流動(dòng)時(shí)所體力學(xué)知，粘性流體在剛性管道中流動(dòng)時(shí)所受阻力與流量的平方成正比，與半徑的受阻力與流量的平方成正比，與半徑的4次方次方成反比。設(shè)粗、細(xì)血管中的流量分別為成反比。設(shè)粗、細(xì)血管中的流量分別為q，q1，則所受阻力分別為則所受阻力分別為,42rqk,4121rqk k為比例常數(shù)。為比例常數(shù)。提供營養(yǎng)消耗能量提供營養(yǎng)消耗能量：管壁內(nèi)表面積管壁內(nèi)表面積 S=2 rl管壁體積管壁體積qq1q1ABB CHLll1rr1 lrdrv)(22. )2(2lrdd 由于管壁厚度由于管壁厚度d與與r成