信號(hào)系統(tǒng)第4章

1、信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-1 1 1頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院第四章第四章連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-2 2 2頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院從本章開(kāi)始由時(shí)域轉(zhuǎn)入變換域分析，首先討論傅里從本章開(kāi)始由時(shí)域轉(zhuǎn)入變換域分析，首先討論傅里葉變換。傅里葉變換是在傅里葉級(jí)數(shù)正交函數(shù)展開(kāi)的基葉變換。傅里葉變換是在傅里葉級(jí)數(shù)正交函數(shù)展開(kāi)的基礎(chǔ)上發(fā)展而產(chǎn)生的，這方面的問(wèn)題也稱為傅里葉分析礎(chǔ)上發(fā)展而產(chǎn)生的，這方面的問(wèn)題也稱為傅里葉分析（頻域分析）。將信號(hào)進(jìn)行正交分解，即分解為三角函（頻域分析）。將信號(hào)進(jìn)行正交分解，即分解為三

2、角函數(shù)或復(fù)指數(shù)函數(shù)的組合。數(shù)或復(fù)指數(shù)函數(shù)的組合。頻域分析將時(shí)間變量變換成頻率變量，揭示了信號(hào)頻域分析將時(shí)間變量變換成頻率變量，揭示了信號(hào)內(nèi)在的頻率特性以及信號(hào)時(shí)間特性與其頻率特性之間的內(nèi)在的頻率特性以及信號(hào)時(shí)間特性與其頻率特性之間的密切關(guān)系，從而導(dǎo)出了信號(hào)的頻譜、帶寬以及濾波、調(diào)密切關(guān)系，從而導(dǎo)出了信號(hào)的頻譜、帶寬以及濾波、調(diào)制和頻分復(fù)用等重要概念。制和頻分復(fù)用等重要概念。 引言引言信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-3 3 3頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院l時(shí)域分析中，將任意信號(hào)分解成沖激函數(shù)的加時(shí)域分析中，將任意信號(hào)分解成沖激函數(shù)的加權(quán)積分；權(quán)積分；l變換域分析中，將任意信

3、號(hào)分解成虛指數(shù)函數(shù)變換域分析中，將任意信號(hào)分解成虛指數(shù)函數(shù)的加權(quán)積分；的加權(quán)積分； l將任意信號(hào)表示為不同頻率正弦分量的線性組將任意信號(hào)表示為不同頻率正弦分量的線性組合稱為信號(hào)的頻譜分析；合稱為信號(hào)的頻譜分析；l用頻譜分析的觀點(diǎn)來(lái)分析系統(tǒng)稱為系統(tǒng)的頻域用頻譜分析的觀點(diǎn)來(lái)分析系統(tǒng)稱為系統(tǒng)的頻域分析法或傅里葉變換分析法。分析法或傅里葉變換分析法。引言引言信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-4 4 4頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院第四章第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析4.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)4.3 4.3 周

4、期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜4.4 4.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜傅里葉變換傅里葉變換4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)4.6 4.6 周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)的傅里葉變換4.7 lti4.7 lti系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析4.8 4.8 取樣定理取樣定理點(diǎn)擊目錄點(diǎn)擊目錄 ，進(jìn)入相關(guān)章節(jié)，進(jìn)入相關(guān)章節(jié)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-5 5 5頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院第四章第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析 時(shí)域分析時(shí)域分析，以，以沖激函數(shù)沖激函數(shù)為基本信號(hào)，任意為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列沖激函數(shù)；從而系統(tǒng)輸入信號(hào)可分

5、解為一系列沖激函數(shù)；從而系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：的零狀態(tài)響應(yīng)為：yf(t) = h(t)*f(t)。 本章將以本章將以正弦信號(hào)正弦信號(hào)和和虛指數(shù)信號(hào)虛指數(shù)信號(hào)ejt為基本為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列不同頻率不同頻率的正弦信號(hào)或虛指數(shù)信號(hào)之和。的正弦信號(hào)或虛指數(shù)信號(hào)之和。 這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是頻率頻率。故稱為故稱為頻域分析頻域分析。 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-6 6 6頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院第四章第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析4.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函

6、數(shù)一、矢量正交與正交分解一、矢量正交與正交分解矢量矢量vx = ( vx1, vx2, vx3)與與vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定義：正交的定義：其其內(nèi)積內(nèi)積為為0。即。即031iyixityxvvvv由兩兩正交的矢量組成的矢量集合由兩兩正交的矢量組成的矢量集合-稱為稱為正交矢量集。正交矢量集。信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-7 7 7頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)如三維空間中，以矢量如三維空間中，以矢量vx=（2，0，0）、）、vy=（0，2，0）、）、vz=（0，0，2)所組成的集合就是一個(gè)所組成的

7、集合就是一個(gè)正交矢量集正交矢量集。 例如對(duì)于一個(gè)三維空間的矢量例如對(duì)于一個(gè)三維空間的矢量a =(2，5，8)，可以，可以用一個(gè)三維正交矢量集用一個(gè)三維正交矢量集 vx，vy，vz分量的線性組合分量的線性組合表示。即表示。即 a= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空間正交分解的概念可推廣到矢量空間正交分解的概念可推廣到信號(hào)信號(hào)空間，空間，在信號(hào)空間找到若干個(gè)在信號(hào)空間找到若干個(gè)相互正交的信號(hào)相互正交的信號(hào)作為基本信號(hào)，作為基本信號(hào)，使得信號(hào)空間中任意信號(hào)均可表示成它們的線性組合。使得信號(hào)空間中任意信號(hào)均可表示成它們的線性組合。 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-8 8 8頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案

8、西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)二、信號(hào)正交與正交函數(shù)集二、信號(hào)正交與正交函數(shù)集1. 定義：定義： 定義在定義在(t1，t2)區(qū)間的兩個(gè)函數(shù)區(qū)間的兩個(gè)函數(shù) 1(t)和和 2(t),若滿足若滿足 210d)()(*21ttttt即兩函數(shù)的內(nèi)積為即兩函數(shù)的內(nèi)積為0則稱則稱 1(t)和和 2(t) 在區(qū)間在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)內(nèi)正交正交。 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-9 9 9頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)2. 正交函數(shù)集：正交函數(shù)集： 若若n個(gè)函數(shù)個(gè)函數(shù) 1(t)， 2(t

9、)， n(t)構(gòu)成一個(gè)函數(shù)集，構(gòu)成一個(gè)函數(shù)集，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)滿足內(nèi)滿足 21, 0, 0d)()(*ttijijikjittt則稱此函數(shù)集為在區(qū)間則稱此函數(shù)集為在區(qū)間(t1，t2)的的正交函數(shù)集正交函數(shù)集。 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-101010頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)3. 完備正交函數(shù)集：完備正交函數(shù)集： 如果在正交函數(shù)集如果在正交函數(shù)集 1(t)， 2(t)， n(t)之外，之外，不存在函數(shù)不存在函數(shù)(t)( )滿足滿足 則稱此函數(shù)集為則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集完備正交函

10、數(shù)集。210d)()(ttittt( i =1，2，n)dtttt)(0212信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-111111頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)三角函數(shù)集三角函數(shù)集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2, 和和虛指數(shù)函數(shù)集虛指數(shù)函數(shù)集ejnt，n=0，1，2，是否為是否為區(qū)間區(qū)間(t0，t0+t)(t=2/)上的完備正交函數(shù)集？上的完備正交函數(shù)集？思考：思考：信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-121212頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)三、

11、信號(hào)的正交分解三、信號(hào)的正交分解設(shè)有設(shè)有n個(gè)函數(shù)個(gè)函數(shù) 1(t)， 2(t)， n(t)在區(qū)間在區(qū)間(t1，t2)構(gòu)成一個(gè)正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)構(gòu)成一個(gè)正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)f(t)用這用這n個(gè)正交個(gè)正交函數(shù)的線性組合來(lái)近似，可表示為函數(shù)的線性組合來(lái)近似，可表示為 f(t) c1 1+ c2 2+ cn n 如何選擇各系數(shù)如何選擇各系數(shù) cj 使使f(t)與近似函數(shù)之間的誤差與近似函數(shù)之間的誤差在區(qū)間在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)為最??？?jī)?nèi)為最??？通常使誤差的均方值通常使誤差的均方值(稱為均方誤差稱為均方誤差)最小。最小。信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-131313頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院

12、通信與信息工程學(xué)院4.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)均方誤差為：均方誤差為： ttctfttttnjjjd )()(121211220d)()(21122ttnjjjiittctfcc為使上式最小，為使上式最小， 展開(kāi)上式中的被積函數(shù)，注意到由序號(hào)不同的展開(kāi)上式中的被積函數(shù)，注意到由序號(hào)不同的正交函數(shù)相乘的各項(xiàng)，其積分均為零，而且所有不正交函數(shù)相乘的各項(xiàng)，其積分均為零，而且所有不包含包含ci的各項(xiàng)對(duì)的各項(xiàng)對(duì)ci求導(dǎo)也等于零。求導(dǎo)也等于零。 這樣，上式中只有兩項(xiàng)不為這樣，上式中只有兩項(xiàng)不為0，寫(xiě)為，寫(xiě)為 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-141414頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)

13、院通信與信息工程學(xué)院4.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)210d)()()(222ttiiiiittcttfcc即即 21210d)(2d)()(22ttiittittctttf求得求得212121d)()(1d)(d)()(2ttiittittiitttfktttttfc最終求得最小均方誤差為：最終求得最小均方誤差為：0d)(112212221njjjttkcttftt信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-151515頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)在用正交函數(shù)去近似在用正交函數(shù)去近似f(t)時(shí)，所取得項(xiàng)數(shù)越多，

14、即時(shí)，所取得項(xiàng)數(shù)越多，即n越越大，則均方誤差越小。當(dāng)大，則均方誤差越小。當(dāng)n時(shí)（為完備正交函數(shù)時(shí)（為完備正交函數(shù)集），均方誤差為零。此時(shí)有集），均方誤差為零。此時(shí)有 12221d)(jjjttkcttf上式稱為上式稱為(parseval)巴塞瓦爾公式巴塞瓦爾公式，表明：表明：在區(qū)間在區(qū)間(t1,t2) 信號(hào)信號(hào)f(t)所含能量恒等于所含能量恒等于f(t)在完備在完備 正交函數(shù)集中分解的各正交分量能量的總和。正交函數(shù)集中分解的各正交分量能量的總和。 1)()(jjjtctf函數(shù)函數(shù)f(t)可分解為無(wú)窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和?？煞纸鉃闊o(wú)窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和。信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-16161

15、6頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院u 三角函數(shù)集三角函數(shù)集 u 虛指數(shù)函數(shù)集虛指數(shù)函數(shù)集 .3 , 2 , 1),sin(),cos(, 1 ntntn ,.2, 1, 0, netjn任意函數(shù)任意函數(shù)f(t)f(t)可表示為無(wú)窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和。可表示為無(wú)窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和。 兩個(gè)完備的正交函數(shù)集：兩個(gè)完備的正交函數(shù)集：回回 顧顧信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-171717頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 頻域分析的基本思想：頻域分析的基本思想： 周期信號(hào)周期信號(hào) 表示成表示成tjne tntn sin,cos對(duì)周期信號(hào)對(duì)周期信號(hào)的分析處理的分析處理 轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化

16、為對(duì)正弦信號(hào)對(duì)正弦信號(hào)的分析處理的分析處理信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-181818頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 將信號(hào)表示為不同頻率正弦分量的線性組合的意義：將信號(hào)表示為不同頻率正弦分量的線性組合的意義：u 從信號(hào)分析從信號(hào)分析 的角度，將信號(hào)表示為不同頻率正弦的角度，將信號(hào)表示為不同頻率正弦 分量的線性組合，為不同信號(hào)之間進(jìn)行比較提供了分量的線性組合，為不同信號(hào)之間進(jìn)行比較提供了 方便。方便。u 從系統(tǒng)分析的角度，已知單頻正弦信號(hào)激勵(lì)下的從系統(tǒng)分析的角度，已知單頻正弦信號(hào)激勵(lì)下的 響應(yīng)，利用疊加特性可求得多個(gè)不同頻率正弦信號(hào)響應(yīng)，利用疊加特性可求得多個(gè)不同頻率正弦信

17、號(hào) 同時(shí)激勵(lì)下的總響應(yīng)，而且每個(gè)正弦分量通過(guò)系統(tǒng)同時(shí)激勵(lì)下的總響應(yīng)，而且每個(gè)正弦分量通過(guò)系統(tǒng) 后的變化都很清楚。后的變化都很清楚。信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-191919頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù) 由上節(jié)可知，周期信號(hào)由上節(jié)可知，周期信號(hào) f(t) 在區(qū)間在區(qū)間(t0，t0+t)可以可以展開(kāi)成在完備正交信號(hào)空間中的無(wú)窮級(jí)數(shù)。展開(kāi)成在完備正交信號(hào)空間中的無(wú)窮級(jí)數(shù)。 如果完備的正交函數(shù)集是三角函數(shù)集，則周期信號(hào)如果完備的正交函數(shù)集是三角函數(shù)集，則周期信號(hào)所展開(kāi)的無(wú)窮級(jí)數(shù)就稱為所展開(kāi)的無(wú)窮級(jí)數(shù)就稱為“

18、三角型傅里葉級(jí)數(shù)三角型傅里葉級(jí)數(shù)”。 如果完備的正交函數(shù)集是指數(shù)函數(shù)集，則周期信號(hào)如果完備的正交函數(shù)集是指數(shù)函數(shù)集，則周期信號(hào)所展開(kāi)的無(wú)窮級(jí)數(shù)就稱為所展開(kāi)的無(wú)窮級(jí)數(shù)就稱為“指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)”。 “三角型傅里葉級(jí)數(shù)三角型傅里葉級(jí)數(shù)”和和“指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)”統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)。信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-202020頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)一、周期信號(hào)的分解一、周期信號(hào)的分解-傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式 設(shè)周期信號(hào)設(shè)周期信號(hào)f(t)，其周期為，其周期為t，角頻率，角頻率 =

19、2 /t，當(dāng)，當(dāng)滿足滿足狄里赫利狄里赫利(dirichlet)條件時(shí)，它可分解為如下三條件時(shí)，它可分解為如下三角級(jí)數(shù)角級(jí)數(shù) 稱為稱為f(t)的的傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù) 。110)sin()cos(2)(nnnntnbtnaatf系數(shù)系數(shù)an , bn稱為稱為傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù)。 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-212121頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù) 22d)cos()(2ttnttntfta 22d)sin()(2ttnttntftb bn是是n的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。 110)sin()cos(2)(nnnntnbtnaatfan 是是

20、n的偶函數(shù)，的偶函數(shù)，整理得整理得 10)cos(2)(nnntnaatf a0 = a022nnnbaa nnnabarctan an是是n的偶函數(shù)，的偶函數(shù)， n是是n的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-222222頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù) 物理意義物理意義：u 周期信號(hào)可分解為直流和許多余弦分量。周期信號(hào)可分解為直流和許多余弦分量。u 其中，其中， a0/2為為直流分量直流分量；u a1cos( t+ 1)稱為稱為基波或一次諧波基波或一次諧波，它的角頻率與，它的角頻率與 原周期信號(hào)相同；原周期信號(hào)相同；u a2

21、cos(2 t+ 2)稱為稱為二次諧波二次諧波，它的頻率是基波的，它的頻率是基波的2倍；倍；u 一般而言，一般而言，ancos(n t+ n)稱為稱為n次諧波次諧波。 10)cos(2)(nnntnaatf 周期信號(hào)的分解周期信號(hào)的分解信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-232323頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)吉布斯現(xiàn)象：吉布斯現(xiàn)象： 由周期的方波分解可見(jiàn)，當(dāng)它包含的諧波分量愈多時(shí)，由周期的方波分解可見(jiàn)，當(dāng)它包含的諧波分量愈多時(shí)，除間斷點(diǎn)外，合成波形越接近于原來(lái)的方波信號(hào)，除間斷點(diǎn)外，合成波形越接近于原來(lái)的方波信號(hào)，其均方誤差越小。其均方誤

22、差越小。在間斷點(diǎn)附近，隨著所含諧波次數(shù)的增加，合成波形在間斷點(diǎn)附近，隨著所含諧波次數(shù)的增加，合成波形的尖峰越靠近間斷點(diǎn)，但尖峰幅度并未明顯減小。的尖峰越靠近間斷點(diǎn)，但尖峰幅度并未明顯減小。即使合成波形所含諧波次數(shù)即使合成波形所含諧波次數(shù) 時(shí)，在間斷點(diǎn)時(shí)，在間斷點(diǎn)處仍有約處仍有約9%的偏差，這種現(xiàn)象稱為吉布斯現(xiàn)象。的偏差，這種現(xiàn)象稱為吉布斯現(xiàn)象。 n吉布斯現(xiàn)象吉布斯現(xiàn)象信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-242424頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)二、波形的對(duì)稱性與諧波特性二、波形的對(duì)稱性與諧波特性1、若、若f(t)為偶函數(shù)，即為偶函數(shù)，即)()

23、(tftf波形相對(duì)于縱坐標(biāo)軸對(duì)稱。波形相對(duì)于縱坐標(biāo)軸對(duì)稱。22d)cos()(2ttnttntfta22d)sin()(2ttnttntftb20)cos()(4tndttntfta0nb被積函數(shù)為偶函數(shù)被積函數(shù)為偶函數(shù)被積函數(shù)為奇函數(shù)被積函數(shù)為奇函數(shù)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-252525頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)2 . .若若f(t)為奇函數(shù)，即為奇函數(shù)，即)()(tftf波形相對(duì)于原點(diǎn)對(duì)稱。波形相對(duì)于原點(diǎn)對(duì)稱。22d)cos()(2ttnttntfta22d)sin()(2ttnttntftb20)sin()(4tndttn

24、tftb0na被積函數(shù)為奇函數(shù)被積函數(shù)為奇函數(shù)被積函數(shù)為偶函數(shù)被積函數(shù)為偶函數(shù)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-262626頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院實(shí)際上，實(shí)際上，任意函數(shù)任意函數(shù)f(t)都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分分，即，即 由于由于()()()( )( )odevodevftftftftft ( )( )( )odevf tftft 所以所以( )()( )2odf tftft ( )()( )2evf tftft 4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-272727頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息

25、工程學(xué)院3 . .f(t)為奇諧函數(shù)為奇諧函數(shù)f(t)t0tt/2偶次諧波分量為偶次諧波分量為0，只含奇次諧波分量，只含奇次諧波分量 ( )()2tf tf t 00a 2,4,6n kn0nab時(shí)時(shí)1,3,5n k時(shí)時(shí)204( )cos()dtnaf tn ttt 204( )sin()dtnbf tn ttt 4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-282828頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4 . .f(t)為偶諧函數(shù)為偶諧函數(shù)奇次諧波分量為奇次諧波分量為0，只含偶次諧波分量，只含偶次諧波分量( )()2tf tf t1,3,5n kn0na

26、b時(shí)時(shí)2,4,6n k時(shí)時(shí)204( )cos()dtnaf tn ttt 204( )sin()dtnbf tn ttt 4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-292929頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院例例1： 利用奇偶性判斷下圖所示各周期信號(hào)的傅里葉利用奇偶性判斷下圖所示各周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)中所含的頻率量。級(jí)數(shù)中所含的頻率量。偶、奇諧函數(shù)偶、奇諧函數(shù)包含奇次余弦包含奇次余弦分量分量奇函數(shù)，包含奇函數(shù)，包含正弦分量正弦分量4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-303030頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息

27、工程學(xué)院偶、偶諧函數(shù)偶、偶諧函數(shù)包含偶次余弦包含偶次余弦分量分量奇諧函數(shù)，包奇諧函數(shù)，包含奇次的正弦、含奇次的正弦、余弦分量余弦分量4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-313131頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)三、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式三、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式三角形式三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，含義比較明確，但運(yùn)算常感的傅里葉級(jí)數(shù)，含義比較明確，但運(yùn)算常感不便，因而經(jīng)常采用不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)。的傅里葉級(jí)數(shù)?？蓮娜切问酵瞥觯豪每蓮娜切问酵瞥觯豪?(21cosjxjxeex 1)()

28、(0ee22ntnjtnjnnnaa 110ee21ee212ntjnjnntjnjnnnaaa 10)cos(2)(nnntnaatf 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-323232頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù) 110ee21ee212)(ntjnjnntjnjnnnaaatf 110ee21ee212)(ntjnjnntjnjnnnaaatf 令令a0=a0ej 0ej0 t ， 0=0 ntjnjnnatfee21)( 上式中第三項(xiàng)的上式中第三項(xiàng)的n用用n代換，代換，nn nnaa 令復(fù)數(shù)令復(fù)數(shù)njnjnffann ee21稱其為稱

29、其為復(fù)傅里葉系數(shù)復(fù)傅里葉系數(shù)，簡(jiǎn)稱傅里葉系數(shù)。，簡(jiǎn)稱傅里葉系數(shù)。 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-333333頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù))(21)sincos(2121nnnnnnjnnjbajaaeafn 222222de)(1d)sin()(1d)cos()(1tttjnttttttftttntftjttntft ntjnnftfe)( n = 0, 1, 2， 22de)(1tttjnnttftf表明：表明：任意周期信號(hào)任意周期信號(hào) f(t) 可分解為許多不同頻率的可分解為許多不同頻率的 虛指數(shù)虛指數(shù) 信號(hào)之和。信號(hào)之和。 f0

30、 = a0/2為直流分量。為直流分量。ejn t 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-343434頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院四兩種傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系四兩種傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)222121nnnnnbaaff nnnaff *nnff )arctan(nnnab nnnaa cos nnnab sin )(21nnjnnjbaeffn an an 是實(shí)函數(shù)，是實(shí)函數(shù)，fn fn 一般是復(fù)函數(shù)一般是復(fù)函數(shù)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-353535頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院例例2： 用直接計(jì)算傳里葉系數(shù)的方法

31、，求下圖所示周用直接計(jì)算傳里葉系數(shù)的方法，求下圖所示周期函數(shù)的傳里葉系數(shù)（三角形式或和指數(shù)形式）。期函數(shù)的傳里葉系數(shù)（三角形式或和指數(shù)形式）。 解：首先計(jì)算周期函數(shù)的周期解：首先計(jì)算周期函數(shù)的周期24,2tt 4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-363636頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院再根據(jù)公式計(jì)算傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)再根據(jù)公式計(jì)算傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)（1）三角形式）三角形式222221( )cos()( )cos()22ttnn taf tn t dtf tdtt 1112cos()sin(),0,1,2222ln tndtnn 222( )si

32、n()0,1,2ttnbf tn t dtnt l22111( )()sin(),0, 1, 222tjn ttnnnnff t edtajbntn l（2）指數(shù)形式）指數(shù)形式4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-373737頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)四、周期信號(hào)的功率四、周期信號(hào)的功率parseval等式等式nnnntfaadttft2122002|21)2()(1直流和直流和n次諧波分量在次諧波分量在1 電阻上消耗的平均功率之和。電阻上消耗的平均功率之和。 n0時(shí)，時(shí)， |fn| = an/2。周期信

33、號(hào)一般是功率信號(hào)，其平均功率為周期信號(hào)一般是功率信號(hào)，其平均功率為:返回返回信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-383838頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜及特點(diǎn)周期信號(hào)的頻譜及特點(diǎn)一、信號(hào)頻譜的概念一、信號(hào)頻譜的概念 周期信號(hào)周期信號(hào) 可以分解為不同頻率的正弦信號(hào)或可以分解為不同頻率的正弦信號(hào)或 虛指數(shù)信號(hào)之和。虛指數(shù)信號(hào)之和。( )f t 10)cos(2)(nnntnaatf ntjnnftfe)( 不同的時(shí)域信號(hào)，只是不同的時(shí)域信號(hào)，只是傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)不同，因不同，因此此可通過(guò)研究

34、可通過(guò)研究傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)來(lái)研究信號(hào)的頻域特性。來(lái)研究信號(hào)的頻域特性。|fn| = an/2。 為角頻率。為角頻率。信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-393939頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜：周期信號(hào)的頻譜： 傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù) 或或 是頻率的函數(shù)，它們反映是頻率的函數(shù)，它們反映 了周期信號(hào)各次諧波的幅度、相位隨頻率變化的關(guān)系，了周期信號(hào)各次諧波的幅度、相位隨頻率變化的關(guān)系， 即即 將將 、 和和 的關(guān)系分別畫(huà)在的關(guān)系分別畫(huà)在 以以 為橫軸的平面上得到圖形，分別稱為為橫軸的平面上得到圖形

35、，分別稱為振幅頻譜圖振幅頻譜圖 和和相位頻譜圖相位頻譜圖。nfna na n nf na n 和和 的關(guān)系，因?yàn)榈年P(guān)系，因?yàn)閚0，稱這種頻譜為，稱這種頻譜為單邊譜單邊譜。和和 的關(guān)系，稱為的關(guān)系，稱為雙邊譜雙邊譜。 nf n當(dāng)當(dāng) 為實(shí)數(shù)時(shí)，用為實(shí)數(shù)時(shí)，用 的正負(fù)來(lái)表示相位為的正負(fù)來(lái)表示相位為0 或或 。 nfnf 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-404040頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-414141頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜例例1：

36、周期信號(hào)周期信號(hào) f(t) =試求該周期信號(hào)的基波周期試求該周期信號(hào)的基波周期t，基波角頻率，基波角頻率，畫(huà)，畫(huà)出它的單邊頻譜圖，并求出它的單邊頻譜圖，并求f(t) 的平均功率。的平均功率。 63sin41324cos211 tt解：解： 首先應(yīng)用三角公式改寫(xiě)首先應(yīng)用三角公式改寫(xiě) f(t) 的表達(dá)式，的表達(dá)式， 263cos41324cos211)( tttf 10)cos(2)(nnntnaatf 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-424242頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜故故f(t)的周期的周期t = 24，基波角頻率，基波角頻

37、率=2/t = /12根據(jù)根據(jù)帕斯瓦爾等式帕斯瓦爾等式，其功率為，其功率為 :323741212121122 p 34cos21 t的周期的周期t1 = 8 323cos41 t的周期的周期t2 = 6顯然顯然1是該信號(hào)的直流分量。是該信號(hào)的直流分量。)323cos(41)34cos(211)( tttf 帕斯瓦爾等式帕斯瓦爾等式 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-434343頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜 34cos21 t是是f(t)的的/4/12 =3次諧波分量；次諧波分量； 323cos41 t是是f(t)的的/3/12 =

38、4次諧波分量；次諧波分量； jennnff nnnaff21 )323cos(41)34cos(211)( tttf120 a01 a02 a213 a414 a00 01 02 33 324 4133 ff8144 ff 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-444444頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-454545頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜nf例例2：周期信號(hào)：周期信號(hào)f(t)的雙邊頻譜的雙邊頻譜 如下圖所示，求其如下圖所示，求其 三角函

39、數(shù)表達(dá)式。三角函數(shù)表達(dá)式。tjtjtjtjtjtjtjefefefefefefeftf 33221100)1(1)2(2)3(3)(說(shuō)明說(shuō)明tjjtjjtjjtjjeeeeeeee 30301111 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-464646頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜jennnff 當(dāng)當(dāng) 為實(shí)數(shù)時(shí)，用為實(shí)數(shù)時(shí)，用 的正負(fù)來(lái)表示相位為的正負(fù)來(lái)表示相位為0 或或 ，這時(shí)，這時(shí) 常把幅度譜常把幅度譜 和相位譜和相位譜 畫(huà)在一張圖上。畫(huà)在一張圖上。nfnf ntjnnftfe)(返回返回)3cos(2)cos(2)(tttf nf

40、n信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-474747頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜二、周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)二、周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)例例3：有一幅度為：有一幅度為1，脈沖寬，脈沖寬度為度為 的周期矩形脈沖，其的周期矩形脈沖，其周期為周期為t，如右圖，求頻譜。，如右圖，求頻譜。 f(t)t0t-t122ttttftftjntttjnnde1de)(12222 令令sa(x)=sin(x)/x (取樣函數(shù)）取樣函數(shù)） 22sin nnt nntjnttjn)2sin(2e122 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-484848頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安

41、郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜)2( nsatfn, n = 0 ,1，2， fn為實(shí)數(shù)，可直接畫(huà)成一個(gè)頻譜圖。設(shè)為實(shí)數(shù)，可直接畫(huà)成一個(gè)頻譜圖。設(shè)t = 4畫(huà)圖。畫(huà)圖。求各零點(diǎn)：求各零點(diǎn)：mn2令求得求得mn2，m為整數(shù)。為整數(shù)。即各零點(diǎn)依次為：即各零點(diǎn)依次為：8,6,4,22422t由由可知，可知，n=4時(shí)為第一零點(diǎn)。時(shí)為第一零點(diǎn)。信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-494949頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜特點(diǎn)特點(diǎn)： (1) 周期信號(hào)的頻譜具有諧波周期信號(hào)的頻譜具有諧波(離散離散)性。性。

42、各條譜線位置是基波頻率各條譜線位置是基波頻率的整數(shù)倍；的整數(shù)倍；(2)一般具有收斂性?？傏厔?shì)減小。一般具有收斂性?？傏厔?shì)減小。n=2n=3n=0n=4n=1信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-505050頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系：譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系：(a)若若t一定，一定， 變小，此時(shí)變小，此時(shí) （譜線間隔）不變。（譜線間隔）不變。 兩零點(diǎn)之間的譜線數(shù)目（兩零點(diǎn)之間的譜線數(shù)目（2 / ）/(2 /t)=t/ 增多。增多。(b)若若 一定，一定，t增大，間隔增大，間隔 減小，頻譜變密。減小，頻譜變

43、密。如果周期如果周期t無(wú)限增長(zhǎng)（這時(shí)就成為非周期信號(hào)），那么，無(wú)限增長(zhǎng)（這時(shí)就成為非周期信號(hào)），那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號(hào)的譜線間隔將趨近于零，周期信號(hào)的離散頻譜離散頻譜就過(guò)渡到就過(guò)渡到非周期信號(hào)的非周期信號(hào)的連續(xù)頻譜連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于各頻率分量的幅度也趨近于無(wú)窮小無(wú)窮小。)2( nsatfn, n = 0 ,1，2， 演示演示1演示演示2信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-515151頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院周期信號(hào)的頻帶寬帶（帶寬）周期信號(hào)的頻帶寬帶（帶寬）：在允許一定失真的條件：在允許一定失真的條件下，信號(hào)可以用某段頻率范圍的信號(hào)表示，此頻率

44、范圍下，信號(hào)可以用某段頻率范圍的信號(hào)表示，此頻率范圍稱為信號(hào)帶寬。一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為信號(hào)帶寬。稱為信號(hào)帶寬。一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為信號(hào)帶寬。 1b 信號(hào)的帶寬與信號(hào)時(shí)域的持續(xù)時(shí)間信號(hào)的帶寬與信號(hào)時(shí)域的持續(xù)時(shí)間 成反比，成反比，即即 越大，越大，b越??；越??； 越小，越小，b越大。越大。 4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-525252頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院 物理意義物理意義：在信號(hào)的有效帶寬內(nèi)，集中了信號(hào)的絕大部：在信號(hào)的有效帶寬內(nèi)，集中了信號(hào)的絕大部分諧波分量。若信號(hào)丟失有效帶寬以外的諧波成份，不分諧波分量。若信號(hào)丟失有效帶

45、寬以外的諧波成份，不會(huì)對(duì)信號(hào)產(chǎn)生明顯影響。會(huì)對(duì)信號(hào)產(chǎn)生明顯影響。 說(shuō)明說(shuō)明：當(dāng)信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)時(shí)，信號(hào)與系統(tǒng)的有效帶寬必須當(dāng)信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)時(shí)，信號(hào)與系統(tǒng)的有效帶寬必須 “匹配匹配”。 4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-535353頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換4.4 4.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜傅里葉變換傅里葉變換一、傅里葉變換一、傅里葉變換 非周期信號(hào)非周期信號(hào) f(t) 可看成是周期可看成是周期t時(shí)的周期信號(hào)。時(shí)的周期信號(hào)。 前已指出當(dāng)前已指出當(dāng)周期周期t趨近于無(wú)窮大趨近于無(wú)窮大時(shí)，時(shí)，

46、譜線間隔譜線間隔 趨近于無(wú)窮小趨近于無(wú)窮小，從而信號(hào)的頻譜變?yōu)?，從而信?hào)的頻譜變?yōu)檫B續(xù)頻譜連續(xù)頻譜。 各頻率分量的幅度也趨近于各頻率分量的幅度也趨近于無(wú)窮小無(wú)窮小，不過(guò)，這些，不過(guò)，這些 無(wú)窮小量之間仍有差別。無(wú)窮小量之間仍有差別。 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-545454頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換為了描述非周期信號(hào)的頻譜特性，引入為了描述非周期信號(hào)的頻譜特性，引入頻譜密度頻譜密度的概念。令的概念。令 tftfjfntnt lim/1lim)( (單位頻率上的頻譜）單位頻率上的頻譜） 根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù) 22de)(tt

47、tjnnttftf ntjnnttftf1e)(考慮到：考慮到：t，無(wú)窮小，記為無(wú)窮小，記為d； n （由離散量變?yōu)檫B續(xù)量）（由離散量變?yōu)檫B續(xù)量）頻譜密度函數(shù)頻譜密度函數(shù)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-555555頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換 2d21 t同時(shí)，同時(shí)， 于是，于是， ttftfjftjntde)(lim)( de)(21)(tjjftf傅里葉變換式傅里葉變換式傅里葉反變換式傅里葉反變換式f(j)稱為稱為f(t)的的傅里葉變換傅里葉變換或或頻譜密度函數(shù)頻譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱頻譜頻譜。f(t)稱為稱為f(j)的的傅里葉反變

48、換傅里葉反變換或或原函數(shù)原函數(shù)。信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-565656頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院也可簡(jiǎn)記為也可簡(jiǎn)記為如果上述變換中的自變量不用角頻率而用頻率如果上述變換中的自變量不用角頻率而用頻率 ,則則上述變換對(duì)可寫(xiě)為上述變換對(duì)可寫(xiě)為f2()( )jftf jff t edt 2( )()jftf tf jf edf () ( )f jf f t 1( )()f tff j ( )()f tf j 4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-575757頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換

49、f(j)一般是復(fù)函數(shù)，寫(xiě)為一般是復(fù)函數(shù)，寫(xiě)為: 說(shuō)明說(shuō)明 :(1)前面推導(dǎo)并未遵循嚴(yán)格的數(shù)學(xué)步驟。可證明，函數(shù)前面推導(dǎo)并未遵循嚴(yán)格的數(shù)學(xué)步驟?？勺C明，函數(shù) f(t)的傅里葉變換存在的的傅里葉變換存在的充分條件充分條件: ttfd)(2)用下列關(guān)系還可方便計(jì)算一些積分用下列關(guān)系還可方便計(jì)算一些積分: dttff)()0( d)(21)0(jff()()()jf jf je ( )( )rjx()d2(0)f jf 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-585858頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院例例1 1：如圖所示信號(hào)如圖所示信號(hào) 的傅里葉變換記為的傅里葉變換記為 ， 試求試求 和和

50、 。 ( )f t()f j (0)f()f jd 4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-595959頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換二、常用函數(shù)的傅里葉變換二、常用函數(shù)的傅里葉變換1. 單邊指數(shù)函數(shù)單邊指數(shù)函數(shù) f(t) = e t(t)， 0實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)10tf(t) 0dee)(tjftjt jjtj 1e10)(信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-606060頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換2. 雙邊指數(shù)函數(shù)雙邊指數(shù)函數(shù) f(t) = et , 0 10tf

51、(t) 00deedee)(ttjftjttjt 22211 jj信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-616161頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換3. 門(mén)函數(shù)門(mén)函數(shù)(矩形脈沖矩形脈沖) 2, 02, 1)( tttg10tg(t)22 jtjfjjtj 222/2/eede)()2sa()2sin(2 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-626262頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換4. 沖激函數(shù)沖激函數(shù) (t)、 (t)1de)()( ttttj jttttttjtj 0eddde)( )( 信

52、號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-636363頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換5. 常數(shù)常數(shù)1有一些函數(shù)不滿足絕對(duì)可積這一充分條件，如有一些函數(shù)不滿足絕對(duì)可積這一充分條件，如1， (t) 等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解。等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解?？蓸?gòu)造一函數(shù)序列可構(gòu)造一函數(shù)序列fn(t)逼近逼近f (t) ，即，即而而fn(t)滿足絕對(duì)可積條件，并且滿足絕對(duì)可積條件，并且fn(t)的傅里葉變換所的傅里葉變換所形成的序列形成的序列fn(j )是極限收斂的。則可定義是極限收斂的。則可定義f(t)的傅的傅里葉變換里葉

53、變換f (j )為為)(lim)(tftfnn )(lim)( jfjfnn 這樣定義的傅里葉變換也稱為這樣定義的傅里葉變換也稱為廣義傅里葉變換廣義傅里葉變換。 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-646464頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換)(lim1)(0tftf 所以所以 0,0, 02lim)(lim)(2200 jfjf 2arctan2lim12lim2lim020220 dd構(gòu)造構(gòu)造222)(0,)( jfetft)(21 時(shí)域無(wú)限寬，頻域無(wú)限窄時(shí)域無(wú)限寬，頻域無(wú)限窄信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-656565頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案

54、西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換 另一種求法另一種求法： (t)1(t)1代入反變換定義式，有代入反變換定義式，有)(de21ttj 將將 tt，tt- - )(de21 ttj再根據(jù)傅里葉變換定義式，得再根據(jù)傅里葉變換定義式，得)(2)(2de1 ttj信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-666666頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院6. 符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù)4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換 0, 10, 1)sgn(ttt10tsgn(t)-100,e0,e)( tttftt)(lim)sgn(0tft 22211)()( jjjjftf jj

55、jft22lim)(lim)sgn(2200 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-676767頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換7. 階躍函數(shù)階躍函數(shù) (t) jtt1)()sgn(2121)( 10t(t)(21 jt2)sgn(信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-686868頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換歸納記憶：1. 傅里葉傅里葉變換對(duì)變換對(duì)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-696969頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換2. 常用函數(shù)常用函

56、數(shù)傅里葉傅里葉變換對(duì)：變換對(duì)： j1)( j1g(t) 2 sasgn (t) j2222 1 1)(tet )(t )(2 )(t te 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-707070頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)一、線性一、線性 ttbftaftjde)()(21 ttfttftjtjde)(bde)(a21 若若)()(11 jftf)()(22 jftf )()()()(2121 jbfjaftbftaf )()(21 jbfjaf 證明：證明： )()(21tbftaff

57、 則則信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-717171頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)例例1：0f ( t )t1-11解：解：=0f 1( t )t10g2 ( t )t1-11- -)(f)( jtf如如下下圖圖示示，求求)()()(21tgtftf )(21)(1 tf)(2)(2 satg)(2)(2)( sajf 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-727272頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)二、時(shí)移性質(zhì)二、時(shí)移性質(zhì)證明證明: tttftjde)(0 00ede

58、)(tjjttf )(e0 jftj 若若)()( jftf)(e)(00 jfttftj 則則t0為常數(shù)為常數(shù))(0ttff 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-737373頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì) 56e)3sa(6)5(jtg 52e)sa(2)5(jtg 5e)sa(2)3sa(6)(jjf 0f ( t )t2-1214680f1 ( t )t221468+)(f)( jtf如如下下圖圖示示，求求例例2：=解解:)5()5()()()(2621 tgtgtftftf信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-747474

59、頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)三、對(duì)稱性質(zhì)三、對(duì)稱性質(zhì)證明證明: de)(21)(tjjftf將上式中的自變將上式中的自變量量t 換為換為 t ,得得: de)(21)(tjjftf將上式中的將上式中的t換為換為w,將原有的將原有的w換為換為t,得得: tjtfftjde)(21)( 若若)()( jftf則則)(2)( fjtf)(2de)( ftjtftj信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-757575頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)例例3:?)(11)(2 jftt

60、f解解:22|2e t2| |12e t則則|2e212 t|2e11 t1 令令信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-767676頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案西安郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)例例4: 求取樣函數(shù)求取樣函數(shù)tttsasin)( 的頻譜函數(shù)。的頻譜函數(shù)。解：解：直接利用定義式不易求出直接利用定義式不易求出sa(t)的傅里葉變換，的傅里葉變換， 利用對(duì)稱性則比較方便。利用對(duì)稱性則比較方便。)2()( satg已已知知，令令2 ,)(2)(2 satg則則)()(212 satg)(212)(2 gtsa)()(2 gtsa信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4