高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品教學(xué)案9.7空間向量的應(yīng)用學(xué)生版新人教版

1、2013年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品教學(xué)案9.7 空間向量的應(yīng)用【考綱解讀】1理解直線的方向向量與平面的法向量2.能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系3.能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）4.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問(wèn)題，了解向量方法在研究立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】高考對(duì)此部分內(nèi)容考查的熱點(diǎn)與命題趨勢(shì)為:1.立體幾何是歷年來(lái)高考重點(diǎn)內(nèi)容之一,在選擇題、填空題與解答題中均有可能出現(xiàn)，難度不大，主要考查空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系的判定與證明，考查表面積與體積的求解，考查三視圖等知識(shí)，在考查立體

2、幾何基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，又考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想，以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.2.2013年的高考將會(huì)繼續(xù)保持穩(wěn)定,堅(jiān)持考查立體幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，命題形式相對(duì)會(huì)較穩(wěn)定.【要點(diǎn)梳理】1空間中各種角包括：異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角。 （1）異面直線所成的角的范圍是。求兩條異面直線所成的角的大小一般方法是通過(guò)平行移動(dòng)直線，把異面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面問(wèn)題來(lái)解決。具體步驟如下：利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選擇在特殊的位置上；證明作出的角即為所求的角；利用三角形來(lái)求角。（2）直線與平面所成的角的范圍是。求直線和平面所成的角用的是射影

3、轉(zhuǎn)化法。dbac具體步驟如下：找過(guò)斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線；連結(jié)垂足和斜足，得出斜線在平面的射影，確定出所求的角；把該角置于三角形中計(jì)算。注：斜線和平面所成的角，是它和平面內(nèi)任何一條直線所成的一切角中的最小角，即若為線面角，為斜線與平面內(nèi)任何一條直線所成的角，則有；（3）確定點(diǎn)的射影位置有以下幾種方法：斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影必在斜線在平面的射影上；如果一個(gè)角所在的平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上；如果一條直線與一個(gè)角的兩邊的夾角相等，那么這一條直線在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上；兩個(gè)平面相互垂直，一個(gè)平面上的點(diǎn)在另一個(gè)平面上的射影一定落在這兩個(gè)

4、平面的交線上；利用某些特殊三棱錐的有關(guān)性質(zhì)，確定頂點(diǎn)在底面上的射影的位置：a.如果側(cè)棱相等或側(cè)棱與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果頂點(diǎn)到底面各邊距離相等或側(cè)面與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的內(nèi)心(或旁心)；c. 如果側(cè)棱兩兩垂直或各組對(duì)棱互相垂直，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的垂心；（4）二面角的范圍在課本中沒(méi)有給出，一般是指，解題時(shí)要注意圖形的位置和題目的要求。作二面角的平面角常有三種方法棱上一點(diǎn)雙垂線法：在棱上任取一點(diǎn)，過(guò)這點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角，就是二面角的平面角；面上一點(diǎn)三垂線法：自二面

5、角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)（即垂足），斜足與面上一點(diǎn)連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角；空間一點(diǎn)垂面法：自空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角。斜面面積和射影面積的關(guān)系公式：(為原斜面面積,為射影面積,為斜面與射影所成二面角的平面角)這個(gè)公式對(duì)于斜面為三角形,任意多邊形都成立.是求二面角的好方法.當(dāng)作二面角的平面角有困難時(shí),如果能找得斜面面積的射影面積,可直接應(yīng)用公式,求出二面角的大小。2空間的距離（1）點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn)到直線的距離為點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)，常先找或作直線所在平面的垂線，得垂足為，過(guò)

6、作的垂線，垂足為連，則由三垂線定理可得線段即為點(diǎn)到直線的距離。在直角三角形中求出的長(zhǎng)即可。點(diǎn)到平面的距離：點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)到平面的垂線段的長(zhǎng)常用求法作出點(diǎn)到平面的垂線后求出垂線段的長(zhǎng)；轉(zhuǎn)移法，如果平面的斜線上兩點(diǎn)，到斜足的距離，的比為，則點(diǎn)，到平面的距離之比也為特別地，時(shí)，點(diǎn)，到平面的距離相等；體積法（2）異面直線間的距離：異面直線間的距離為間的公垂線段的長(zhǎng)常有求法先證線段為異面直線的公垂線段，然后求出的長(zhǎng)即可找或作出過(guò)且與平行的平面，則直線到平面的距離就是異面直線間的距離找或作出分別過(guò)且與，分別平行的平面，則這兩平面間的距離就是異面直線間的距離根據(jù)異面直線間的距離公式求距離。（3）直線到平

7、面的距離：只存在于直線和平面平行之間為直線上任意一點(diǎn)到平面間的距離。（4）平面與平面間的距離：只存在于兩個(gè)平行平面之間為一個(gè)平面上任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離。以上所說(shuō)的所有距離：點(diǎn)線距，點(diǎn)面距，線線距，線面距，面面距都是對(duì)應(yīng)圖形上兩點(diǎn)間的最短距離。所以均可以用求函數(shù)的最小值法求各距離。3空間向量的應(yīng)用（1）用法向量求異面直線間的距離如右圖所示，a、b是兩異面直線，是a和b 的法向量，點(diǎn)ea，fb，則異面直線 a與b之間的距離是 ；（2）用法向量求點(diǎn)到平面的距離如右圖所示，已知ab是平面的 一條斜線，為平面的法向量，則 a到平面的距離為；（3）用法向量求直線到平面間的距離首先必須確定直線與平面平

8、行，然后將直線到平面的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化成直線上一點(diǎn)到平面的距離問(wèn)題。（4）用法向量求兩平行平面間的距離首先必須確定兩個(gè)平面是否平行，這時(shí)可以在一個(gè)平面上任取一點(diǎn)，將兩平面間的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離問(wèn)題。（5）用法向量求二面角如圖，有兩個(gè)平面與，分別作這兩個(gè)平面的法向量與，則平面與所成的角跟法向量與所成的角相等或互補(bǔ)，所以首先必須判斷二面角是銳角還是鈍角。（6）法向量求直線與平面所成的角要求直線a與平面所成的角，先求這個(gè)平面的法向量與直線a的夾角的余弦，易知=或者?！纠}精析】考點(diǎn)一 空間角例1.(2012年高考陜西卷理科5)如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱，則直線與直線夾角的余弦值為（ ）

9、（a） （b） （c） （d） 【變式訓(xùn)練】1. (2012年高考浙江卷理科20) (本小題滿分15分)如圖，在四棱錐pabcd中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，且bad120°，且pa平面abcd，pa，m，n分別為pb，pd的中點(diǎn)()證明：mn平面abcd；() 過(guò)點(diǎn)a作aqpc，垂足為點(diǎn)q，求二面角amnq的平面角的余弦值考點(diǎn)二 空間距離例2.（2011年高考全國(guó)卷文科8)已知直二面角，點(diǎn)為垂足，為垂足，若則到平面的距離等于( )（a） （b） （c） （d）【變式訓(xùn)練】2.(2012年高考重慶卷理科19)如圖，在直三棱柱 中，ab=4，ac=bc=3，d為ab的中點(diǎn)（）求點(diǎn)c到平面 的

10、距離;（）若,求二面角 的平面角的余弦值?！疽族e(cuò)專區(qū)】問(wèn)題：綜合應(yīng)用例.(廣東省六校2012年2月高三第三次聯(lián)考理)（本小題滿分14分）如圖，四邊形中（圖1），是的中點(diǎn)，將（圖1）沿直線折起，使二面角為（如圖2）（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角的余弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離.【課時(shí)作業(yè)】1. (2012年高考全國(guó)卷文科8)已知正四棱柱中 ，為的中點(diǎn)，則直線與平面的距離為（ ）（a） （b） （c） （d）2.(2012年高考四川卷文科19) (本小題滿分12分) 如圖，在三棱錐中，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在上。（）求直線與平面所成的角的大??；（）求二面角的大小。3. (2012年高考廣東卷

11、理科18)如圖5所示，在四棱錐p-abcd中，底面abcd為矩形，pa平面abcd，點(diǎn) e在線段pc上，pc平面bde。證明：bd平面pac；若ph=1，ad=2，求二面角b-pc-a的正切值；4(2012年高考北京卷理科16)如圖1，在rtabc中，c=90°，bc=3，ac=6，d，e分別是ac，ab上的點(diǎn)，且debc，de=2，將ade沿de折起到a1de的位置，使a1ccd,如圖2.(i)求證：a1c平面bcde；(ii)若m是a1d的中點(diǎn)，求cm與平面a1be所成角的大??；(iii)線段bc上是否存在點(diǎn)p，使平面a1dp與平面a1be垂直？說(shuō)明理由【考題回放】1. (201

12、2年高考全國(guó)卷文科16)已知正方體中，、分別為的中點(diǎn)，那么異面直線與所成角的余弦值為_(kāi).2.(2012年高考四川卷文科14)如圖，在正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的大小是_。3. (2012年高考浙江卷文科20)如圖，在側(cè)棱錐垂直底面的四棱錐abcd-a1b1c1d1中，adbc，adab，ab=。ad=2，bc=4,aa1=2，e是dd1的中點(diǎn)，f是平面b1c1e與直線aa1的交點(diǎn)。（1）證明：（i）efa1d1；（ii）ba1平面b1c1ef；（2）求bc1與平面b1c1ef所成的角的正弦值。4.(2012年高考重慶卷文科20)已知直三棱柱中，為的中點(diǎn)。（）求異面直線和的

13、距離；（）若，求二面角的平面角的余弦值.5. (2012年高考天津卷文科17)如圖，在四棱錐p-abcd中，底面abcd是矩形，adpd，bc=1，pc=2，pd=cd=2.（i）求異面直線pa與bc所成角的正切值；（ii）證明平面pdc平面abcd；（iii）求直線pb與平面abcd所成角的正弦值。6.(2012年高考全國(guó)卷文科19)如圖，四棱錐中，底面為菱形，底面，是上的一點(diǎn)，。（）證明：平面；（）設(shè)二面角為，求與平面所成角的大小.7. (2012年高考上海卷文科19) 如圖，在三棱錐中，底面，是的中點(diǎn)，已知，求：（1）三棱錐的體積；（2）異面直線與所成的角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

14、.8 (2012年高考湖北卷理科19)如圖1，acb=45°，bc=3，過(guò)動(dòng)點(diǎn)a作adbc，垂足d在線段bc上且異于點(diǎn)b，連接ab，沿ad將abd折起，使bdc=90°（如圖2所示），（1）當(dāng)bd的長(zhǎng)為多少時(shí)，三棱錐a-bcd的體積最大；（2）當(dāng)三棱錐a-bcd的體積最大時(shí)，設(shè)點(diǎn)e，m分別為棱bc，ac的中點(diǎn)，試在棱cd上確定一點(diǎn)n，使得enbm，并求en與平面bmn所成角的大小9(2012年高考上海卷理科19)如圖，在四棱錐中，底面是矩形，底面，是的中點(diǎn)，已知，求：（1）三角形的面積；（2）異面直線與所成的角的大小.10.(2012年高考山東卷理科18)在如圖所示的幾何體中，四邊形abcd是等腰梯形，abcd，dab=60&#