九年級數(shù)學下冊_26.2二次函數(shù)知識點總結__人教新課標版

1、知識點大全人教版九年級數(shù)學下二次函數(shù)最全的中考知識點總結相關概念及定義二次函數(shù)的概念： 一般地， 形如 yax2bxc（ a，b ，c 是常數(shù)， a0 ）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。 這里需要強調： 和一元二次方程類似，二次項系數(shù) a0 ，而 b ，c可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù)二次函數(shù) yax2bxc的結構特征： 等號左邊是函數(shù)，右邊是關于自變量x 的二次式， x 的最高次數(shù)是 2a ，b ，c 是常數(shù)， a 是二次項系數(shù)，b 是一次項系數(shù)，c 是常數(shù)項二次函數(shù)各種形式之間的變換二次函數(shù) yax 2bxc 用配方法可化成：ya xh 2k 的形式，其中hb ， k4acb 2.2a4a二次函

2、數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：yax2 ； yax 2k ； y a x h 2 ； y a xh 2k ； y ax2bx c .二次函數(shù)解析式的表示方法一般式： yax2bxc （ a ， b ， c 為常數(shù)， a0 ）；頂點式： ya (xh)2k （ a ， h ， k 為常數(shù)， a0 ）；兩根式： ya( xx1 )( xx2 ) （ a0， x1， x2 是拋物線與 x 軸兩交點的橫坐標） .注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與x 軸有交點，即24ac0 時，拋物線的解析式b才可以用交點式表示二次函數(shù)解析式的這

3、三種形式可以互化.二次函數(shù) y ax2bxc 圖象的畫法五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)yax2bxc 化為頂點式 ya( x h)2k ，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與y 軸的交點0 ，c、以及0 ，c關于對稱軸對稱的點2h ，c、與 x 軸的交點 x1 ，0 ， x2 ，0（若與 x 軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點）.畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與x 軸的交點，與y 軸的交點 .二次函數(shù) y ax 2的性質a 的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質a0x0 時， y 隨 x 的增大而增大； x0時

4、， y 隨向上0 ，0y 軸x 0 時， y 有最小值 0 x 的增大而減??；a0x0 時， y 隨 x 的增大而減??； x0時， y 隨向下0 ，0y 軸x 0 時， y 有最大值 0 x 的增大而增大；知識點大全二次函數(shù) yax2c 的性質a 的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質a0向上0 ，cy 軸x0 時， y 隨 x 的增大而增大； x0時， y 隨x 的增大而減??；x 0 時， y 有最小值 c a0向下0 ，cy 軸x0 時， y 隨 x 的增大而減?。?x0時， y 隨x 的增大而增大；x 0 時， y 有最大值 c 二次函數(shù) ya xh2的性質：a 的符號開口方向頂點坐標對稱軸性

5、質a0向上h ，0X=hxh 時， y 隨 x 的增大而增大；x h 時， y隨 x 的增大而減??；x h 時， y 有最小值 0 a0h ，0X=hxh 時， y 隨 x 的增大而減?。粁 h 時， y向下隨 x 的增大而增大；x h 時， y 有最大值 0 二次函數(shù) ya xh2k 的性質a 的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質a0h ，kX=hxh 時， y 隨 x 的增大而增大；x h 時， y向上隨 x 的增大而減??；x h 時， y 有最小值 k a0向下h ，kX=hxh 時， y 隨 x 的增大而減??；x h 時， y隨 x 的增大而增大；x h 時， y 有最大值 k 拋物線 y

6、ax2bxc 的三要素：開口方向、對稱軸、頂點 .a 的符號決定拋物線的開口方向：當 a0 時，開口向上； 當 a 0時，開口向下；a 相等，拋物線的開口大小、形狀相同 .對稱軸：平行于 y 軸（或重合）的直線記作 xb. 特別地， y 軸記作直線 x 0 .22a頂點坐標：（b 4ac b，4a）2a頂點決定拋物線的位置. 幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù) a 相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.拋物線 yax 2bxc 中， a,b, c 與函數(shù)圖像的關系二次項系數(shù) a二次函數(shù) yax2bxc 中， a 作為二次項系數(shù)，顯然a 0 當 a0時，拋物線開口向上

7、，a 越大，開口越小，反之a(chǎn) 的值越小，開口越大； 當 a0時，拋物線開口向下，a 越小，開口越小，反之a(chǎn) 的值越大，開口越大總結起來，a 決定了拋物線開口的大小和方向，a 的正負決定開口方向，a 的大小決定開口的大小一次項系數(shù)b知識點大全在二次項系數(shù)a 確定的前提下，b 決定了拋物線的對稱軸 在 a0 的前提下，當 b0 時，b0，即拋物線的對稱軸在y 軸左側；2a當 b0 時，b0，即拋物線的對稱軸就是y 軸；2a當 b0時，b0 ，即拋物線對稱軸在 y 軸的右側2a 在 a0的前提下，結論剛好與上述相反，即當 b0時，b0 ，即拋物線的對稱軸在y 軸右側；2a當 b0時，b0 ，即拋物線

8、的對稱軸就是y 軸；2a當 b0時，b0 ，即拋物線對稱軸在 y 軸的左側2a總結起來，在 a 確定的前提下， b 決定了拋物線對稱軸的位置總結：常數(shù)項 c 當 c0時，拋物線與y 軸的交點在 x 軸上方，即拋物線與 當 c0時，拋物線與y 軸的交點為坐標原點，即拋物線與 當 c0時，拋物線與y 軸的交點在 x 軸下方，即拋物線與總結起來，c 決定了拋物線與y 軸交點的位置總之，只要a，b ，c 都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的y 軸交點的縱坐標為正；y 軸交點的縱坐標為0 ；y 軸交點的縱坐標為負求拋物線的頂點、對稱軸的方法b2b 2公式法：y ax2bx ca x4ac2a，頂點是4a

9、（b4acb2xb，）.2a4a，對稱軸是直線2aa x h 2配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為yk 的形式，得到頂點為 ( h ,k ) ，對稱軸是直線 xh .運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.用配方法求得的頂點，再用公式法或對稱性進行驗證，才能做到萬無一失.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式一般式： yax2bxc . 已知圖像上三點或三對x 、 y 的值，通常選擇一般式 .頂點式： ya xh 2k . 已知圖像的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.交 點 式 ： 已 知 圖 像 與 x

10、 軸 的 交 點 坐 標 x1 、 x2 ， 通 常 選 用 交 點 式 ：y a x x1xx2 .直線與拋物線的交點y 軸與拋物線 yax 2bx c 得交點為 (0, c ).知識點大全與 y 軸 平 行 的 直 線 xh 與 拋 物 線 yax 2bx c 有 且 只 有 一 個 交 點(h ,ah 2bhc ).拋物線與 x 軸的交點 : 二次函數(shù) yax 2bxc 的圖像與 x 軸的兩個交點的橫坐標 x1、 x2 ，是對應一元二次方程ax 2bxc0 的兩個實數(shù)根 . 拋物線與 x 軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個交點0拋物線與 x 軸相交；有一個交點（

11、頂點在x 軸上）0拋物線與 x 軸相切；沒有交點0拋物線與 x 軸相離 .平行于 x 軸的直線與拋物線的交點可能有 0 個交點、 1 個交點、 2 個交點 . 當有 2 個交點時，兩交點的縱坐標相等，設縱坐標為 k ，則橫坐標是 ax 2bx ck 的兩個實數(shù)根 .一次函數(shù) ykxn k0的圖像 l 與二次函數(shù)yax 2bxc a0 的圖像G 的交點， 由方程組ykxn的解的數(shù)目來確定： 方程組有兩組不同yax2bxc的解時l 與 G 有兩個交點 ; 方程組只有一組解時l 與 G 只有一個交點； 方程組無解時l 與 G 沒有交點 .拋物線與x 軸兩交點之間的距離：若拋物線yax2bxc 與 x

12、 軸兩交點為A x ， B x ， ，由于x1 、 x2 是方程 ax2bxc0的兩個根，故1 020x1x2bx2c, x1aab24cb24acABxx2xx 2xx224x x211211aaaa二次函數(shù)圖象的對稱: 二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達關于 x 軸對稱yax2bxc 關于 x 軸對稱后，得到的解析式是yax2bxc ；yax2k 關于 x 軸對稱后，得到的解析式是yax h2k ；h關于y 軸對稱yax2bxc 關于 y 軸對稱后，得到的解析式是y ax2bxc ；yax2k 關于 y 軸對稱后，得到的解析式是yaxh2k ；h關于原點對稱yax2

13、bxc 關于原點對稱后，得到的解析式是yax2bxc；yax2k 關于原點對稱后，得到的解析式是yaxh2k ；h關于頂點對稱yax2bxc 關于頂點對稱后，得到的解析式是yax2bxcb 2；222ayaxk 關于頂點對稱后，得到的解析式是yaxhk h知識點大全關于點m，n 對稱2k 關于點2y a x hm，n 對稱后，得到的解析式是 y a x h 2m2n k總結： 根據(jù)對稱的性質， 顯然無論作何種對稱變換， 拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此 a 永遠不變求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則， 選擇合適的形式， 習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）

14、的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式二次函數(shù)圖象的平移平移步驟： 將拋物線解析式轉化成頂點式2h，k ；y a x hk ，確定其頂點坐標 保持拋物線 yax2 的形狀不變，將其頂點平移到h，k 處，具體平移方法如下：y=ax2向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|個單位y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|個單位平移|k|個單位平移|k|個單位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|個單位

15、y=a(x-h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|個單位y=a(x-h)2+k平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎上“h 值正右移，負左移；k 值正上移，負下移”概括成八個字“左加右減，上加下減”根據(jù)條件確定二次函數(shù)表達式的幾種基本思路。三點式。1，已知拋物線y=ax 2+bx+c 經(jīng)過 A（ 3 ，0）， B（ 23 ，0）， C（ 0， -3 ）三點，求拋物線的解析式。2，已知拋物線y=a(x-1)+4 ， 經(jīng)過點 A（ 2， 3），求拋物線的解析式。頂點式。1，已知拋物線y=x2-2ax+a 2+b 頂點為 A（2， 1），求拋物線的解析式。2，已知拋物線y=4(x+a)2-2

16、a 的頂點為（ 3， 1），求拋物線的解析式。交點式。1，已知拋物線與x軸兩個交點分別為（ 3， 0）,(5,0),求拋物線 y=(x-a)(x-b)的解析式。2，已知拋物線線與x 軸兩個交點（ 4，0），（ 1，0）求拋物線 y= 1 a(x-2a)(x-b)的解析式。2定點式。1，在直角坐標系中，不論a 取何值，拋物線 y1 x 2 5 a x 2a2 經(jīng)過 x 軸上一22知識點大全定點 Q，直線 y(a2) x2經(jīng)過點 Q,求拋物線的解析式。2，拋物線 y= x2 +(2m-1)x-2m與 x 軸的一定交點經(jīng)過直線y=mx+m+4，求拋物線的解析式。3，拋物線 y=ax2+ax-2 過直

17、線 y=mx-2m+2上的定點 A，求拋物線的解析式。平移式。1， 把拋物線y= -2x2 向左平移 2 個單位長度，再向下平移1 個單位長度，得到拋物線y=a( x-h)2 +k, 求此拋物線解析式。2， 拋物線 yx 2x 3 向上平移 , 使拋物線經(jīng)過點 C(0,2), 求拋物線的解析式 .距離式。1，拋物線 y=ax2+4ax+1(a 0) 與 x 軸的兩個交點間的距離為2，求拋物線的解析式。2，已知拋物線y=m x 2+3mx-4m(m 0) 與 x 軸交于 A、B 兩點，與 軸交于 C點，且 AB=BC,求此拋物線的解析式。對稱軸式。1、拋物線 y=x2 -2x+(m 2-4m+4) 與 x 軸有兩個交點，這兩點間的距離等于拋物線頂點到y(tǒng) 軸距離的 2 倍，求拋物線的解析式。2、 已知拋物線y=-x 2+ax+4,交 x 軸于 A,B （點 A 在點 B 左邊）兩點，交 y 軸于點 C, 且OB-OA=3 OC，求此拋物線的解析式。4對稱式。1， 平行四邊形ABCD對角線 AC在 x 軸上，且 A（ -10 ，0）， AC=16，D（ 2， 6）。AD交 y 軸于E，將三角形ABC沿 x 軸折疊， 點 B 到 B1 的位置， 求經(jīng)過 A,B,E 三點的