變化率與導數(shù)上課

1、 一創(chuàng)設情景一創(chuàng)設情景 為了描述現(xiàn)實世界中運動、過程等變化著的現(xiàn)為了描述現(xiàn)實世界中運動、過程等變化著的現(xiàn)象，在數(shù)學中引入了象，在數(shù)學中引入了函數(shù)函數(shù)，隨著對函數(shù)的研究，產(chǎn)，隨著對函數(shù)的研究，產(chǎn)生了生了微積分微積分，微積分的創(chuàng)立以自然科學中四類問題，微積分的創(chuàng)立以自然科學中四類問題的處理直接相關：的處理直接相關： 一、已知物體運動的路程作為時間的函數(shù)一、已知物體運動的路程作為時間的函數(shù),求物求物體在任意時刻的速度與加速度等體在任意時刻的速度與加速度等; 二、求曲線的切線二、求曲線的切線; 三、求已知函數(shù)的最大值與最小值三、求已知函數(shù)的最大值與最小值; 四、求長度、面積、體積和重心等。四、求長度、

2、面積、體積和重心等。 導數(shù)導數(shù)是微積分的是微積分的核心核心概念之一它是研究函數(shù)增減、概念之一它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大（?。┲档葐栴}最一般、最有效的變化快慢、最大（小）值等問題最一般、最有效的工具。工具。 導數(shù)導數(shù)研究的問題即研究的問題即變化率問題變化率問題：研究某個變量相：研究某個變量相對于另一個變量變化的快慢程度對于另一個變量變化的快慢程度氣氣球球膨膨脹脹率率問問題題1 ,):(:,334rrvdmrlv 之間的函數(shù)關系是位單與半徑單位氣球的體積我們知道 .,343vvrvr 那么的函數(shù)表示為體積如果把半徑 在吹氣球的過程中在吹氣球的過程中, 可發(fā)現(xiàn)可發(fā)現(xiàn),隨著氣球內空氣隨著氣球內空

3、氣容量的增加容量的增加, 氣球的半徑增加得越來越慢氣球的半徑增加得越來越慢. 從數(shù)從數(shù)學的角度學的角度, 如何描述這種現(xiàn)象呢如何描述這種現(xiàn)象呢? ,.,cmrrlv6200110 氣球半徑增加了時增加到從當空氣容積 ./.ldmrr6200101 氣球的平均膨脹率為 ,.,dmrrll1601221 增加了氣球半徑時增加到當空氣容量從類似地 ./.ldmrr1601212 氣球的平均膨脹率為.,脹率逐漸變小了它的平均膨隨著氣球體積逐漸變大可以看出?,均膨脹率是多少均膨脹率是多少氣球的平氣球的平時時增加到增加到當空氣的容量從當空氣的容量從思考思考21vv 2121r vr vrvvv 問題問題1

4、 氣球膨脹率氣球膨脹率 我們都吹過氣球回憶一下吹氣球我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程的過程,可以發(fā)現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內空氣容隨著氣球內空氣容量的增加量的增加,氣球的半徑增加越來越慢氣球的半徑增加越來越慢.從數(shù)學角度從數(shù)學角度,如何描述這種現(xiàn)象呢如何描述這種現(xiàn)象呢?高臺跳水高臺跳水問題問題2 .:,1056942 ttthstmh存在函數(shù)關系存在函數(shù)關系單位單位與起跳后的時間與起跳后的時間單位單位面的高度面的高度運動員相對于水運動員相對于水在高臺跳水運動中在高臺跳水運動中人們發(fā)現(xiàn)人們發(fā)現(xiàn)那么述其運動狀態(tài)描時間內的平均速度如果我們用運動員某段,v ;/.,.smhhvt054050050500

5、 這段時間里在 ./.,smhhvt28121221 這段時間里在2121hththvttt 65049,:1?2?t探究計算運動員在這段時間里的平均速度 并思考下面的問題運動員在這段時間里是靜止的嗎你認為用平均速度描述運動員運動狀態(tài)有什么問題嗎探究過程：如圖是函數(shù)探究過程：如圖是函數(shù)h(t)= -4.9t2+6.5t+10的圖像，結合圖形可知，的圖像，結合圖形可知， ，所以，所以，) 0 ()4965(hh)/(004965)0()4965(mshhv雖然運動員在雖然運動員在 這段時間里的平均這段時間里的平均速度為速度為 ，但實際情況是運動員仍然，但實際情況是運動員仍然運動，并非靜止，可以說

6、明用平均速度不運動，并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運動員的運動狀態(tài)能精確描述運動員的運動狀態(tài)49650 t)/(0mstho65496598t ,.,1212211212xxxxxxchangeofrateaveragexxxfxxxfxfxf即表示用習慣上的到從數(shù)我們把這個式子稱為函示表式子那么問題中變化率可用表示函數(shù)關系用如果上述兩個問題中的平均變化率平均變化率.,相乘與而不是是一個整體符號xx11221,;,.xxxxxyf xf x 可把看作是相對于的一個 增量 可用代替類似地,.yx于是 平均變化率可表示為 ?,1 . 1 . 11212表示什么變化率平均圖的圖象觀察函數(shù)思

7、考xxxfxfxyxfoxy 1xf 2xf xfy 12xfxf 12xx 1x2x111 .圖圖直線直線ab的斜率的斜率ab 一創(chuàng)設情景一創(chuàng)設情景（一）平均變化率（二）探究：探究： 在高臺跳水運動中在高臺跳水運動中,平均速度不能反映他在平均速度不能反映他在這段時間里運動狀態(tài)，需要用瞬時速度描這段時間里運動狀態(tài)，需要用瞬時速度描述運動狀態(tài)。我們把物體在某一時刻的速述運動狀態(tài)。我們把物體在某一時刻的速度稱為度稱為瞬時速度瞬時速度.又如何求又如何求瞬時速度呢瞬時速度呢? ?,?,.).tan(.,時時的的瞬瞬時時速速度度是是多多少少比比如如度度呢呢如如何何求求運運動動員員的的瞬瞬時時速速那那么么

8、度度在在某某時時刻刻的的瞬瞬時時速速她她他他度度不不一一定定能能反反映映運運動動員員的的平平均均速速的的速速度度稱稱為為我我們們把把物物體體在在某某一一時時刻刻是是不不同同的的度度運運動動員員在在不不同同時時刻刻的的速速在在高高臺臺跳跳水水運運動動中中2 tvelociyeousins瞬時速度瞬時速度 .,.,;,.,.可以得到如下表格內平均速度和區(qū)間計算區(qū)間之后在時當之前在時當?shù)粸橐部梢允秦撝嫡悼梢允鞘菚r間的改變量任意取一個時刻之前或之后在附近的情況我們先考察vtttttttttt 22222202200222二新課講授二新課講授1瞬時速度瞬時速度t0時時, 在在2, 2 +t 這段時這

9、段時間內間內1 .139 . 4tv1 .139 . 4tv13.051v 當t = 0.01時,13.149v 當t = 0.01時,0951.13v當t = 0.001時,1049.13v當t =0.001時,13.09951v 當t = 0.0001時,13.10049v 當t =0.0001時,099951.13vt = 0.00001,100049.13vt = 0.00001,13.0999951v t = 0.000001,13.1000049v t =0.000001, 平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區(qū)間上的變化趨平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區(qū)間上的變化趨勢勢.l如何精確

10、地刻畫曲線在一點處的變化趨勢呢如何精確地刻畫曲線在一點處的變化趨勢呢?105 . 69 . 4)(2ttth當當t趨近于趨近于0時時,平均平均速度有什么變化趨勢速度有什么變化趨勢?.,1132220 個確定的值平均速度都趨近于一時一邊趨近于還是從大于的一邊從小于即無論時趨近于當我們發(fā)現(xiàn)tt./.,.,|,smttvt11322 時的瞬時速度是員在運動因此時的瞬時速度就無限趨近于速度平均無限變小時時間間隔從物理的角度看 .,.lim,11302113220 定值趨近于確平均速度時趨勢近于當表示我們用為了表述方便vttththt .時的極限時的極限趨近于趨近于當當是是我們稱確定值我們稱確定值022

11、113tthth 探探 究究:1.運動員在某一時刻運動員在某一時刻 t0 的瞬時速度怎樣表示的瞬時速度怎樣表示?2.函數(shù)函數(shù)f (x)在在 x = x0 處的瞬時變化率怎樣表示處的瞬時變化率怎樣表示?5 . 68 . 9)5 . 68 . 99 . 4(lim)5 . 68 . 9()(9 . 4lim)()(lim000020000ttttttttthtthttt定義定義:函數(shù)函數(shù) y = f (x) 在在 x = x0 處的瞬時變化率是處的瞬時變化率是xxxfxxfxx ylim )()(lim 0000稱為函數(shù)稱為函數(shù) y = f (x) 在在 x = x0 處的處的導數(shù)導數(shù), 記作記作

12、0000( )() ()lim. xf xxf xfxx )(0 xf 或或 , 即即0|xxy。其導數(shù)值一般也不相同的值有關，不同的與000)(. 1xxxf 的具體取值無關。與 xxf)(. 20一概念的兩個名稱。瞬時變化率與導數(shù)是同. 3定義定義:函數(shù)函數(shù) y = f (x) 在在 x = x0 處的瞬時變化率是處的瞬時變化率是xfxxfxxfxx lim )()(lim 0000稱為函數(shù)稱為函數(shù) y = f (x) 在在 x = x0 處的處的導數(shù)導數(shù), 記作記作. )()(lim)(0000 xxfxxfxfx)(0 xf 或或 , 即即0|xxy由導數(shù)的定義可知由導數(shù)的定義可知, 求函數(shù)求函數(shù) y = f (x)的導數(shù)的一般方法的導數(shù)的一般方法:1.求函數(shù)的改變量求函數(shù)的改變量2. 求平均變化率求平均變化率3. 求值求值);()(00 xfxxfy.lim)(00 xyxfx;)()(00 xxfxxfxy一差、二比、三極限一差、二比、三極限 .,62).80(157:,.,220并說明它們的意義的瞬時變化率原油溫度時和第計算第為單位的溫度原油時如果在和加熱行冷卻油進對原需要品產(chǎn)柴油、塑膠等各種不同將原油精煉為汽油、例hhxxxxfcxh,根據(jù)導數(shù)的定義 xfxfxy22 .6f和 262,fhh就是原油溫度的瞬時變化率時和