拓?fù)淇臻gPPT課件

1、2.1 拓 撲 空 間 重點(diǎn)：拓?fù)淇臻g定義的理解 難點(diǎn)：拓?fù)淇臻g定義的理解第1頁(yè)/共125頁(yè)(1) T,X;TBA,(2) 如果，則TBA；TT 1(3) 若,則11TTAA.T即 是X的一個(gè)子集族.如果 滿足如下條件:集),T則稱 是X的一個(gè)拓?fù)?T定義定義2.1.1 設(shè)X是一個(gè)集合,)(XPT ( 表示X的冪( )XP第2頁(yè)/共125頁(yè)(1) X的任意有限開(kāi)集族的交是開(kāi)集.(3) 任何開(kāi)集族的并是開(kāi)集.撲空間X中的開(kāi)集，因此拓?fù)淇臻gX的定義可以理解為：一個(gè)集合X的拓?fù)涫荴的一個(gè)開(kāi)集族滿足條件：,X(1)是開(kāi)集(2) 任意兩個(gè)開(kāi)集的交集是開(kāi)集()XTP是X的拓?fù)涞臈l件可以敘述為: (2) X

2、的任意開(kāi)集族的并是開(kāi)集.中的每一個(gè)元素是拓T設(shè)T是X的一個(gè)拓?fù)?，由于?頁(yè)/共125頁(yè)例2.1.1 平庸空間是X的一個(gè)拓?fù)洌Q之為X的平庸拓?fù)?，并且我?間中只有兩個(gè)開(kāi)集，即X自身和空集例2.1.2 離散空間是開(kāi)集. 為一個(gè)離散空間,在離散空間中, X的每一個(gè) 子集都, XT是一個(gè)集合，令X設(shè) ，易驗(yàn)證T個(gè)拓?fù)? 稱之為X的離散拓?fù)?并且稱拓?fù)淇臻g (X, ) T)為一個(gè)平庸空間.顯然在平庸空T稱拓?fù)淇臻g(X,設(shè)X是一個(gè)集合,令)(XPT ,顯然,T是X的一第4頁(yè)/共125頁(yè) 例例2.1.3 設(shè)X是一個(gè)三元素集合, , , ,Xa b c我們X上可以構(gòu)造不同的拓?fù)?下面我們介紹其中一些拓?fù)?,

3、1XT,2XbaaT,3XcbbabT,4XbT第5頁(yè)/共125頁(yè) ,5XcbaT ,8XbabaT)(9XPT ,7XbaT,6XcbbacbT當(dāng)然，通過(guò)對(duì)以上拓?fù)渲衋,b,c的不同排列，我們?cè)赬上還可建立其它拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).但是,并不是X的每個(gè)子集族都是X的拓?fù)? 第6頁(yè)/共125頁(yè)例2.1.4 有限補(bǔ)拓?fù)湓O(shè)X是一個(gè)集合，首先注意，當(dāng)我們考慮的問(wèn)題 中的全集自明時(shí)，在求補(bǔ)集運(yùn)算時(shí)我們并不每次 提起，因此在本例中，A的補(bǔ)集A即為XA.令 | )(的一個(gè)有限子集是XUXUf PT例如，下面的兩個(gè)X的子集族就不是X的拓?fù)?A1=a,b,X, A2=a,b,b,c,X,不滿足定義2.1.1條件(3),

4、A1不滿足定義2.1.1條件(2) A2第7頁(yè)/共125頁(yè)|的一個(gè)有限子集是XUXXUfT即 ,XXfT(1) 根據(jù)定義,此外，由于因此fXT.(2) 設(shè)fBAT,， AB若或者，則 BA,fBAT； 假定，由De Morgan)()()(BXAXBAX定律BXAX,以及fBAT)(BAX為有限集可知是有限集，因此.1TfAATT1fTT 1(3) 設(shè),如果,則.是X的一個(gè)拓?fù)?先驗(yàn)證fT第8頁(yè)/共125頁(yè)1T1TfAATT1如果,當(dāng)時(shí), ;1T1T10TA當(dāng)時(shí),取,這時(shí)0)(11AXAXAXAATT. fAT00A由于且，0AX 因此是有限集， AXA1T 從而是有限集，因fAATT1. 此

5、fT根據(jù)上述(1),(2),(3),是X的一個(gè)拓?fù)?稱之為X的有fT限補(bǔ)拓?fù)?拓?fù)淇臻g(X, )稱為一個(gè)有限補(bǔ)空間.讀者不難驗(yàn)證,有限集X的有限補(bǔ)拓?fù)涫荴的離散拓?fù)?( ).fXTP即若X是一個(gè)有限集,那么第9頁(yè)/共125頁(yè)例2.1.5 可數(shù)補(bǔ)拓?fù)?設(shè)X是一個(gè)集合，令CT=UX|X-U是X的一個(gè)可數(shù)即可數(shù)集合X的可數(shù)補(bǔ)拓?fù)涫荴的離散拓?fù)?子集通過(guò)與例2.1.4中完全類似的作法易驗(yàn)是X的一個(gè)拓?fù)?留作習(xí)題),稱之為X的可數(shù)補(bǔ)拓T證)稱為一個(gè)可數(shù)補(bǔ)空間.撲,拓?fù)淇臻g(X, CT讀者自行驗(yàn)證，若X是一個(gè)可數(shù)集，則( ).CXTP第10頁(yè)/共125頁(yè)否則，就稱為不可比較的. 當(dāng)然，同集合上不可比較的拓

6、撲是存在的，例如定義2.1.2 設(shè) 是集合X上的兩個(gè)拓?fù)?,如果 T,TT或稱 比 粗,如果 T,我們稱 比 細(xì), TTTT,TT我們稱 比 嚴(yán)格細(xì),或稱 比 嚴(yán)格地粗.如果 TTTTT我們稱拓?fù)?與 是可比較的.T或,TTTT,是X顯然，對(duì)于集合X來(lái)講，粘合撲拓 =X,T 上最粗的拓?fù)?，離散拓?fù)?=P (X)是X上最細(xì)的拓?fù)?T 與 就是X的兩個(gè)不可比較的拓?fù)?1T2T,cbaX ,1XbaaT,Xcbb，那么2T第11頁(yè)/共125頁(yè)間.T習(xí) 題 2.1|nmZmAnZn2. 對(duì)每一個(gè)正整數(shù)，令，證明 |ZnAnT是正整數(shù)集Z+的一個(gè)拓?fù)? X上的兩個(gè)給定拓?fù)?令,XXXTT,證明),(TX

7、是一個(gè)拓?fù)淇胀負(fù)?1. 驗(yàn)證例2.1.5中集族 是X上的拓?fù)?cT3. 設(shè)(X, )是一個(gè)拓?fù)淇臻g, 是任何一個(gè)不屬于X的元素, , ,baaX,cbaX (3) 設(shè)， 1T 也是X的2T1T4. (1)設(shè) 和 是集合X上的兩個(gè)拓?fù)?證明 1T2T2T1T 可以不是X上的拓?fù)?，其?， 是(2) 舉例說(shuō)明1T2T第12頁(yè)/共125頁(yè)是集合X上的一族拓?fù)?證明在X上存在一JT5. 設(shè).T拓?fù)浒總€(gè)之中,在X上存在一個(gè)最粗的T個(gè)最細(xì)的拓?fù)淇臻g包含于每個(gè)JTJT(提示:設(shè)是X上一族拓?fù)?則是X上的一個(gè)拓?fù)?.2T于 和 的最細(xì)的拓?fù)?1T, ,cbaX2T2T找出包含 和 的最粗的拓?fù)浜桶?T

8、第13頁(yè)/共125頁(yè)難點(diǎn)：由鄰域系決定拓?fù)浞椒ǖ淖C明 2.2 拓?fù)浠c鄰域系,鄰域基重點(diǎn)：鄰域的定義，性質(zhì)，鄰域基的定義第14頁(yè)/共125頁(yè)構(gòu)成的X的子集族稱為點(diǎn)x的鄰域系.易見(jiàn)，如果U是包含著點(diǎn)x的一個(gè)開(kāi)集，那么一定是x的一個(gè)鄰域，此時(shí)我們稱U是點(diǎn)x的一個(gè)開(kāi)鄰域.點(diǎn)x的所有鄰域VU,則稱U是點(diǎn)x的一個(gè)鄰域. 得xU是X的一個(gè)子集且滿足條件: 存在一個(gè)開(kāi)集V 使TX，如果定義定義2.2.1 設(shè)(X, )是一個(gè)拓?fù)淇臻g,xT第15頁(yè)/共125頁(yè)故U,U便是x的一個(gè)鄰域.只要x證明:必要性.若U是開(kāi)集，則對(duì)每點(diǎn)xX,U即是x的一個(gè)開(kāi)鄰域., 充分性.若U=，顯然U是開(kāi)集，若U 則對(duì)xU， 由于U是

9、鄰域，由定義2.2.1，必存在開(kāi)集 .xx Ux UUxUUUx使得xUxU.因此，.x UxUU 由定義2.1.1(3)知U是一個(gè)開(kāi)集. 充分必要條件是U是它的每一點(diǎn)在(X, )中的鄰域.即T定理定理2.2.1 拓?fù)淇臻g(X, )的一個(gè)子集U是開(kāi)集的T第16頁(yè)/共125頁(yè)鄰域系,則:證明 : (1) 對(duì)于任何,xX由于X是一個(gè)開(kāi)集,因此X是定理定理2.2.2 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g,記 為點(diǎn)xX的xU;xUUV(2) 如果U,V ,則xUU;x ，則xU,并且如果U (1) 對(duì)于任何xX, xU滿足條件 xUV,則存在U(4) 如果xUV( ) i;VU( )iiVy對(duì)于,有.yUVVU (3)

10、 如果U ,并且,則xU;xU第17頁(yè)/共125頁(yè)00,x UU x VU 使得,因此 00,x UVUV由定理2.2.1一個(gè)點(diǎn)的鄰域必包含這個(gè)點(diǎn)本身. 此外根據(jù). xU,因此x的一個(gè)開(kāi)鄰域,因此 XxUUV00VU 于是一個(gè)開(kāi)集,因此.xU,由定義2.2.1則存在開(kāi)集U0，V0 (2) 設(shè),U VxUVVUx00,xUU從而有,因此.xU使得0U則存在開(kāi)集,UV且U(3) 設(shè),xU由于 ,xVU因此V是x的開(kāi)鄰域.因此V.xU使得 V由定義2.1.1則存在開(kāi)集U(4) 設(shè),xU第18頁(yè)/共125頁(yè)V是開(kāi)集，因此由定理2.2.1可知V是它每一點(diǎn)的鄰域,即對(duì)每個(gè) ,.Uyy VV了X的子集族U

11、x,并且它們滿足定理2.2.2中的條件(1)證明:|,xUXxUU如果則TU即|是它的每一點(diǎn)的鄰域UXU T拓?fù)淇臻g(x, )中的鄰域系. T定理2.2.3 設(shè)X是一個(gè)集合, 又設(shè)對(duì)于每一點(diǎn)xX指定X則 是T,UxU,則UX|如果x-(4),令UT = 唯一,xX的一個(gè)拓?fù)涫沟脤?duì)于每一點(diǎn) xU子集族 是點(diǎn)x在第19頁(yè)/共125頁(yè) . ,UxXx(i)顯然T;對(duì)于任意,由條件(1),取xX,xUX,UxU顯然有由條件(3)可知是點(diǎn)TX的鄰域,因此.,xABTBA,(ii)設(shè),如果因此,xAxB因此xBAU必有xBAU, 由條件(2)可知,由x的任ABT意性可知.,xU由于TT 1U， 且1, T

12、AUA由條件(3)有 下面驗(yàn)證 是X的一個(gè)拓?fù)?T，使得TU,則存在AxA1T對(duì)任意(iii)設(shè) 1TT,第20頁(yè)/共125頁(yè) X的一個(gè)拓?fù)?中的鄰域系.下面證明*.xxUU(i)設(shè),UxU由條件(4)可知存在UxV使得,UyVVy,VU且對(duì)任意有因此,TV從而,UVx且,TV由定義2.2.1可知*,UxU因此*.xxUU因此我們證明了 是xAA UT1.因此，TTAA1.T*xU,X對(duì)每一點(diǎn)x以記點(diǎn)x在拓?fù)淇臻g(X, ) T第21頁(yè)/共125頁(yè) ,TV*,xUU(ii)設(shè)由定義2.2.1可知存在*.xxUU,xUU(3)可知 因此從而我們證明了.*T = T*T撲空間(X,)的鄰域系,然后證

13、明是X的又一個(gè)拓?fù)涫沟脤?duì)于,XxxU是點(diǎn)x在拓*TU(i)設(shè),TU即是拓?fù)淇臻g(X,)中的開(kāi)集, 又假定xU是x點(diǎn)在(X, *T)中的鄰域 系,因此由 *,xxUU即子集族xU恰是點(diǎn)x在(X, )中的鄰域系. T由條件,xVU使得*, x VU顯然根據(jù) 的定義 T下面證明拓?fù)?的唯一性,為此我們假定*TT第22頁(yè)/共125頁(yè) ,TU義有因此TT .*TxU必有,xUU然而又假定是x點(diǎn)在（X,）中的鄰*.TT域系，由定理2.2.1的充分性可知 ,TU因此*.T = T綜合(i)(ii)知(ii)設(shè),TU即U是（X， ）中的開(kāi)集，又已證明T,xUU,Ux由定理2.2.1可知對(duì)于任意再由 的定T,U

14、xxU是x點(diǎn)在（X， ）中的鄰域系，因此對(duì)于任意 T第23頁(yè)/共125頁(yè).VUxVB對(duì)每個(gè) ,xUU存在使得則稱xB為點(diǎn)顯然,|UxUxTB, 即所有包含點(diǎn)x的開(kāi)集且滿足條件：xxUBxU是x點(diǎn)在(X, )中的鄰域系,如果T定義2.2.2 設(shè)(X, )是一個(gè)拓?fù)淇臻g,對(duì)每個(gè) ,xXT構(gòu)成的集族,是x點(diǎn)在(X, )中的一個(gè)鄰域基. Tx在(X, )中的一個(gè)鄰域基. T第24頁(yè)/共125頁(yè)難點(diǎn)：由拓?fù)浠鶝Q定拓?fù)涞姆椒ㄗC明 2.2 鄰域系,鄰域基與拓?fù)浠攸c(diǎn)：由拓?fù)浠鶝Q定拓?fù)涞姆椒ㄅc應(yīng)用第25頁(yè)/共125頁(yè) ， AUA U U 滿足條件:對(duì)于每個(gè)TU，存在B 使得是拓?fù)淇臻gX的一B的一個(gè)基，也稱B則

15、稱是拓?fù)銽個(gè)基.例2.2.1 在離散拓?fù)淇臻gX中, =P (X)，顯然B=x|TB如果BT,定義定義2.2.3 設(shè)(X, )是一個(gè)拓?fù)淇臻g,TXx 就是X的一個(gè)拓?fù)浠?T第26頁(yè)/共125頁(yè) , B使得x(1) 對(duì)每個(gè)x X,存在U;U(2)如果B1,B2B, x12,BB那么存在B3B使得xB3B1B2. UU U因此對(duì)每個(gè)xX， 即x存在UU,使得x U，由B, U 于U因此UB. 撲基，則 滿足下列條件:BTB定理2.2.4 設(shè)(X, )是一個(gè)拓?fù)淇臻g, 是 的一個(gè)拓T,UUUB,使得X=證明(1) 由于X ,因此存在U T第27頁(yè)/共125頁(yè) 12BBUB,使得U ,因此若12,xBB

16、則存在B3U使得xB312.BBB, 使X |存在U =U 2.2.6中的條件(1)(2),則 T,因此存在 12BBT ,因此(ii)若B1,B2B,由于B T是X的唯一拓?fù)涫沟?是 的一個(gè)拓?fù)浠?此得U=U BT定理定理2.2.5 設(shè)X是一個(gè)集合, BP(X), 且 滿足定理B時(shí)我們稱 是由基 生成的拓?fù)?TB證明:先驗(yàn)證 是X的一個(gè)拓?fù)?T第28頁(yè)/共125頁(yè) 由條TAA(i)由于B且,因此;又對(duì) ,xXXT.BUx | x X，因此xUUxB2112.ABUUBx 顯然U1U2=，且 12ABUU2UB,使得U2=U2，因此12UU(),ABU2使得 U1,B設(shè)x U1U2,則存在Ax

17、AB1UB ，使得U1= ，則存在U1(ii)設(shè)U1，U2 T1,U存在,xx XUX,顯然X= xUx 使得 件(1):存在 xUB且U2,又由于A，BB 由條件(2)可知存在BxB 使得x第29頁(yè)/共125頁(yè)Bx |x U1U2B,因此 T21UU . 圖2.2.1BAABAAAAUAAAU)(因此 A=， 由于B|BUA,AA的關(guān)系如圖2.2.112, , ,xUUA B BB,因此A T.B使得A=存在UAA ， 則對(duì)A(iii)設(shè)A T,A ,第30頁(yè)/共125頁(yè)下面,我們?cè)趯?shí)直線上給出幾種拓?fù)?由這個(gè)基生成的拓?fù)浞Q為實(shí)數(shù)集合上的通常拓?fù)?，帶有通常拓?fù)涞目臻g稱為實(shí)數(shù)空間。 為拓?fù)浠?/p>

18、另一個(gè)拓?fù)?讀者不難證明 . B*T = T*TT由 的定義即可知 是 的一個(gè)拓?fù)浠?再設(shè) 是以TB例2.2.2 設(shè) 是由實(shí)直線R上的全部開(kāi)區(qū)間構(gòu)成，即B理2.2.7中條件(1)(2),從而 是R上的一個(gè)拓?fù)浠? B =(a,b)| ab=x|axb|ab,容易驗(yàn)證 滿足定BB第31頁(yè)/共125頁(yè))B 例例2.2.3 設(shè)=a,bR|ab=axbR|aM時(shí)只能有xxi.xxiMi 使得ZM件是存在時(shí),.第108頁(yè)/共125頁(yè)(2) 如果A是X中的一個(gè)不可數(shù)子集,則d(A)=X,即X中每一點(diǎn)都是A的極限點(diǎn).,這是因?yàn)榧偃鏤A數(shù)集,因此UA,則有X,)()(XUXAXXUA)( 即由于A是不可數(shù)集而

19、XUXAX)()(XU是可數(shù)集.因此是不可能的.UA從而只有,由于A是不可數(shù)集,從而A-x仍,因此xd(A),因此( )AxU 是不可數(shù)集,從而 ,則XU是一個(gè)可Xx設(shè),對(duì)任意UBx,由于BxcT第109頁(yè)/共125頁(yè)d(A)=X.,其中 0 x立.令A(yù)=X-Xx 0,它是一個(gè)不可數(shù)集,根據(jù)是A的一個(gè)極限點(diǎn),然0 x,也就是說(shuō))(0Adx (2) 我們有0 x0 x而根據(jù)(1),在A(即X-)中不可能有序列收斂于.Ziix 定理定理2.6.3 設(shè)(X,)是一個(gè)度量空間, 是X中的一.則以下條件等價(jià): Xx個(gè)序列，現(xiàn)在說(shuō)明定理2.6.2的逆命題在拓?fù)淇臻g(X, )中不成cT第110頁(yè)/共125頁(yè)

20、(1) 序列Ziix 收斂于x;Ni ,ZN, 0(2) 對(duì)于任意給定實(shí)數(shù)存在當(dāng)時(shí),有),(xxi.(3) 0),(limxxii證明由讀者自己完成.第111頁(yè)/共125頁(yè) 習(xí) 題 2.6Ziix 1. 設(shè)X是一個(gè)離散空間,設(shè)是X中的一個(gè)序列,收斂當(dāng)且僅當(dāng)存在Ziix 證明：序列ZM使得當(dāng)jixx Mji,時(shí),有.2. 設(shè)(X,d)是一個(gè)度量空間,證明(1) X中的每一個(gè)收斂序列只有唯一的一個(gè)極限點(diǎn),(2) 定理2.7.2的逆命題成立.3*. 舉出定理2.7.2和定理2.7.3的逆命題不成立的例子,第112頁(yè)/共125頁(yè)使得所涉及的空間只含有可數(shù)個(gè)點(diǎn). 21TT ),(),(21TTXX4.

21、設(shè)是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，并且，Ziix 證明：若X中序列在拓?fù)淇臻g),(2TX收斂于x，中也收斂于x.),(1TX在拓?fù)淇臻gZiix 則序列第113頁(yè)/共125頁(yè)設(shè)X是一個(gè)有序集,我們可以像實(shí)數(shù)集R那樣在X上定義標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)?我們稱之為序拓?fù)?定義2.7.1 設(shè)是X上的一個(gè)序關(guān)系,a,bX,ab,以下四種形式的子集叫做X中的區(qū)間.(a,b)=x|axb 叫做X中的開(kāi)區(qū)間,(ba=x|axb 叫做左開(kāi)右閉區(qū)間,),ba=x|axb 叫做左閉右開(kāi)區(qū)間,b 叫做閉區(qū)間.,ba=x|ax 2.7序 拓 撲第114頁(yè)/共125頁(yè)定理2.7.1 設(shè)1時(shí)，n=(n-1,n+1)是一個(gè)基成員,當(dāng)n=1時(shí),1= )2 ,

22、 1也是一個(gè)基成員. 證明:檢驗(yàn) 滿足定理2.2.7中條件(1)-(2),由讀者自B例2.7.2 是一個(gè)有最小元(在通常序下)的有序集，Z是其 上的序拓?fù)涫请x散拓?fù)?因?yàn)?nnZB = |第116頁(yè)/共125頁(yè)X上的序拓?fù)洳皇请x散拓?fù)?雖然在這個(gè)字典序拓?fù)淇臻g中大多數(shù)幾乎全部的單點(diǎn)集都是開(kāi)集,但單點(diǎn)有直接前行. 例2.7.3 設(shè)X=1,2 是字典序集,該序集有一個(gè)最Z小元,但沒(méi)有最大元,我們用 表示(1,n),用 表示(2,n),nanb則X可表示如下:1212, , , ,.a ab b集 不是開(kāi)集,因?yàn)槿魏我粋€(gè)包含 的基成員必定1b1b包含 從某一項(xiàng)以后的全部項(xiàng),這是因?yàn)?沒(méi)1b12, ,

23、a a第117頁(yè)/共125頁(yè)B，A則開(kāi)區(qū)間(A,B)=(a,b),(c,d)如圖2.7.1所示,讀格地細(xì).例2.7.4 我們給實(shí)平面 上賦予字典序.在字典序下, 2R2R 即無(wú)最大元,亦無(wú)最小元,因此 上的序拓?fù)浠?R2R的一個(gè)基,因此 上的字典序拓?fù)浔?上的標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)鋰?yán)2R第一種類型的開(kāi)區(qū)間構(gòu)成的集族是 上字典序拓?fù)?R者自行驗(yàn)證集族 =(a,b),(a,d)|ba和xX|xa為X中的開(kāi)射線, 分別記作和),(a,稱X的子集x|xa和xX|xa為X中的閉射(, .a線,分別記作),a和第119頁(yè)/共125頁(yè)定理2.7.2 設(shè)X是一個(gè)有序集,并且X至少有兩個(gè)元素,全部開(kāi)射線構(gòu)成的集族,即(, )|aaXS = 是X上序拓?fù)涞囊粋€(gè)子基.( ,)|bbX