空間幾何向量法之點(diǎn)到平面的距離

1、_空間幾何向量法之點(diǎn)到平面的距離1.要求一個點(diǎn)到平面的距離，可以分為三個步驟：(1) 找出從該點(diǎn)出發(fā)的平面的任意一條斜線段對應(yīng)的向量；(2) 求出該平面的法向量；(3) 求出法向量與斜線段對應(yīng)的向量的數(shù)量積的絕對值，再除以法向量的模，這就是該店到平面的距離。ABn例子： 點(diǎn) A 到面的距離 d（注： AB 為點(diǎn) A 的斜向量，n 是面的法向量，n點(diǎn) B 是面內(nèi)任意一點(diǎn)。）2.求立體幾何體積（向量法）體積公式：1、柱體體積公式：VSh.2、椎體體積公式：V1 S.h33、球體體積公式：V4R33課后練習(xí)題例題：在三棱錐 B ACD 中，平面 ABD 平面ACD ，若棱長 AC=CD=AD=AB=

2、1，且BAD=30 0 ，求點(diǎn) D 到平面 ABC 的距離。精品資料_要求平面外一點(diǎn) P 到平面的距離，可以在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，則點(diǎn) P 到平面的距離即為d=| PA | |PA n |PA n |PA | |n |n |建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則A （21 ,0,0）， B （ 321 ,0,21 ）， C （ 0, 23 ,0 ）， D（ 21 ,0,0)AC(21 , 23 ,0) , AB( 23 ,0,21) , DC(12 , 23 ,0)設(shè) n =(x,y,z) 為平面的一個法向量，則nAB23 x12 z0nAC21x23 y033x，可取 n (3,1,3)y3 x, z代入

3、 d| DCn|得， d3339|n|221313 ，即點(diǎn) D 到平面 ABC 的距離是 1339 。1. 已知 A(2,3,1) 、B(4,1,2) 、C(6,3,7) 、D(-5,-4,8) 是空間不共面的四點(diǎn), 求點(diǎn) D 到平面ABC 的距離 .解：設(shè) n(x, y, z) 是平面 ABC 的一個法向量，則由n AB 0 及1,得n BC 0y22x2yz0x3,取 x=3,得 n (3,2,2) ,于是點(diǎn) D 到平面 ABC的距離為2x2y5z02 xz3DA nd=n精品資料_49 49 17= .17172.已知四邊形ABCD 是邊長為4 的正方形， E 、 F 分別是 AB 和

4、AD 的中點(diǎn)， GC 平面ABCD ，且 GC=2 ，求點(diǎn) B 到平面 EFG 的距離 .解： 建立如圖 2 所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz ，則G(0,0,2),E(2,4,0),B(0,4,0), F(4, 2,0)，GE =(2,4,-2),GF =(4,2,-2), BE =(2,0,0).設(shè)平面 EFG 的一個法向量為 n(x, y, z) ，則由n GE 0 及 n GF2x+4y2z00 ，得2y2z04xx=yBE n22 11,取 y=1, 得 n(1,1,3), 于是點(diǎn) B 到平面 EFG 的距離為 d=.z 3yn11113.在棱長為 1 的正方體ABCD-A 1 B 1

5、 C 1 D 1 中，求點(diǎn)C 1 到平面 A 1 BD 的距離。解：建立如圖3 所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz ，則 A 1 (1,0,1),B(1,1,0),C1 (0, 1,1).設(shè)平面 A 1 BD 的一個法向量為 n(x, y, z) ，則由 n DA 1 0 及 n DB0 ，得xz0xy0精品資料_z=-x,取 x=-1, 得 n =(-1,1, 1), 于是點(diǎn) C 1 到平面 A 1 BD 的距離為 d=C1D n22 3y=-x=3=.n34.如圖 4 ，四面體 ABCD 中，O、E 分別是 BD 、BC 的中點(diǎn)，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=2 ，求點(diǎn) E 到平面

6、ACD 的距離 .解：由題設(shè)易知 AO BD，OC BD ，OA=1 ，OC= 3 ，OA 2 +OC 2 =AC 2，AOC=90，即 OA OC.以 O 為原點(diǎn)， OB、 OC 、OA 所在直線為 x、y、z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz ，則A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,3 ,0),D(-1,0,0),E(1,3,0), AD =(-1,0,-1),AC =(0,3 ,-1), ED =(- 3 ,-32,0).222設(shè)平面 ACD 的一個法向量為n(x, y, z) ，則由 n AD0 及 n AC 0 ，得xz03yz0x=-zED n3,取 z= 3 , 得 n

7、=(-3 ,1,3 ),于是點(diǎn) E 到平面 ACD 的距離為 d=y=3 zn7321.75. 如圖，在直三棱柱ABC A1B1 C1 中，ABC 90°，AB BC AA1 2， M、 N 分別是精品資料_A1C1、 BC1 的中點(diǎn)()求證： BC1平面 A1B1 C；()求證： MN平面A1ABB 1；()求三棱錐M BC 1B1 的體積()ABC A1 B1 C1 是直三棱柱， BB1 平面 A1B1C1，B1 BA1B1又 B1C1A1B1，A1B1平面 BCC1B1 ，BC1A1B1BB 1 CB 2，BC1B1C，BC1 平面 A1B1C()連接 A1 B，由 M、 N

8、分別為 A1C1、 BC1 的中點(diǎn)，得MNA1B，又A1B平面，MN平面， 平面A1ABB1A1 ABB 1A1ABB 1 MN()取 C1B1 中點(diǎn) H，連結(jié) MHM 是 A1 C1 的中點(diǎn)，MH A1B1，又 A1B1平面 BCC 1B1，MH 平面 BCC 1B1，MH 是三棱錐 M BC 1B1 的高，三棱錐 M BC1B1 的體積 V1S BC1B1 MH114 1233236.如圖，在三棱柱1 1 1ACBC1ABC ABC 中，,AB BBAC BC BB12, D 為 AB 中點(diǎn)，且 CDDA1精品資料_（ 1 ）求證： BB1 平面 ABC（ 2 ）求證： BC1 平面CA1 D(3) 求三棱椎 B1 -A 1DC 的體積A1C1B1ACDB7. 如圖，在棱長為2 的正方體中，E