全國通用版高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.1 合情推理與演繹推理 2.1.1 合情推理學(xué)案 新人教A版選修22

1、21.1合情推理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理.2.了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用知識(shí)點(diǎn)一歸納推理思考(1)銅、鐵、鋁、金、銀等金屬都能導(dǎo)電，猜想：一切金屬都能導(dǎo)電(2)統(tǒng)計(jì)學(xué)中，從總體中抽取樣本，然后用樣本估計(jì)總體以上屬于什么推理？答案屬于歸納推理梳理(1)定義：由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理(簡稱歸納)(2)特征：由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理知識(shí)點(diǎn)二類比推理思考科學(xué)家對(duì)火星進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)火星與地球有許多類似的特征：(1)火星也是繞太陽公轉(zhuǎn)、繞軸自轉(zhuǎn)的行星；(

2、2)有大氣層，在一年中也有季節(jié)更替；(3)火星上大部分時(shí)間的溫度適合地球上某些已知生物的生存，等等由此，科學(xué)家猜想：火星上也可能有生命存在他們使用了什么樣的推理？答案類比推理梳理(1)定義：由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理(2)特征：由特殊到特殊的推理知識(shí)點(diǎn)三合情推理思考?xì)w納推理與類比推理有何區(qū)別與聯(lián)系？答案區(qū)別：歸納推理是由特殊到一般的推理；而類比推理是由個(gè)別到個(gè)別的推理或是由特殊到特殊的推理聯(lián)系：在前提為真時(shí)，歸納推理與類比推理的結(jié)論都可真可假梳理(1)定義：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)

3、想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理通俗地說，合情推理就是合乎情理的推理(2)推理的過程1類比推理得到的結(jié)論可作為定理應(yīng)用(×)2由個(gè)別到一般的推理為歸納推理()3在類比時(shí)，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對(duì)象較為合適(×)類型一歸納推理例1(1)觀察下列等式：112×1，(21)(22)22×1×3，(31)(32)(33)23×1×3×5，照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為_(2)已知f(x)，設(shè)f1(x)f(x)，fn(x)fn1(fn1(x)(n>1，且nn*)，則f3(

4、x)的表達(dá)式為_，猜想fn(x)(nn*)的表達(dá)式為_考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用答案(1)(n1)(n2)(nn)2n×1×3××(2n1)(2)解析(1)觀察規(guī)律可知，左邊為n項(xiàng)的積，最小項(xiàng)和最大項(xiàng)依次為(n1)，(nn)，右邊為連續(xù)奇數(shù)之積乘以2n，則第n個(gè)等式為(n1)(n2)(nn)2n×1×3××(2n1)(2)f(x)，f1(x).又fn(x)fn1(fn1(x)，f2(x)f1(f1(x)，f3(x)f2(f2(x)，f4(x)f3(f3(x)，f5(x)f4(f4(x)，根據(jù)

5、前幾項(xiàng)可以猜想fn(x).引申探究在本例(2)中，若把“fn(x)fn1(fn1(x)”改為“fn(x)f(fn1(x)”，其他條件不變，試猜想fn(x) (nn*)的表達(dá)式解f(x)，f1(x).又fn(x)f(fn1(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x).因此，可以猜想fn(x).反思與感悟(1)已知等式或不等式進(jìn)行歸納推理的方法要特別注意所給幾個(gè)等式(或不等式)中項(xiàng)數(shù)和次數(shù)等方面的變化規(guī)律；要特別注意所給幾個(gè)等式(或不等式)中結(jié)構(gòu)形成的特征；提煉出等式(或不等式)的綜合特點(diǎn)；運(yùn)用歸納推理得出一般結(jié)論(2)數(shù)列中的歸納推理：在數(shù)列問題中，常常用

6、到歸納推理猜測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和通過已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)或前n項(xiàng)和；根據(jù)數(shù)列中的前幾項(xiàng)或前n項(xiàng)和與對(duì)應(yīng)序號(hào)之間的關(guān)系求解；運(yùn)用歸納推理寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式跟蹤訓(xùn)練1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，a13，滿足sn62an1(nn*)(1)求a2，a3，a4的值；(2)猜想an的表達(dá)式考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)列中的應(yīng)用解(1)因?yàn)閍13，且sn62an1(nn*)，所以s162a2a13，解得a2，又s262a3a1a23，解得a3，又s362a4a1a2a33，解得a4.(2)由(1)知a13，a2，a3，a4，猜想an(nn*)例2有兩種花色的正六邊形地面磚，按

7、下圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案，則第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是()a26 b31 c32 d36考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在圖形中的應(yīng)用答案b解析有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)如下表：圖案123個(gè)數(shù)61116由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)依次組成一個(gè)以6為首項(xiàng)，以5為公差的等差數(shù)列，所以第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是65×(61)31.故選b.反思與感悟歸納推理在圖形中的應(yīng)用策略跟蹤訓(xùn)練2用火柴棒擺“金魚”，如圖所示：按照上面的規(guī)律，第n個(gè)“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為()a6n2 b8n2c6n2 d8n2考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在圖形中的應(yīng)用答案c解析歸納“金

8、魚”圖形的構(gòu)成規(guī)律知，后面“金魚”都比它前面的“金魚”多了去掉尾巴后6根火柴組成的魚頭部分，故各“金魚”圖形所用火柴棒的根數(shù)構(gòu)成一首項(xiàng)為8，公差是6的等差數(shù)列，所以第n個(gè)“金魚”圖需要的火柴棒的根數(shù)為an8(n1)×66n2.類型二類比推理例3設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，則s4，s8s4，s12s8，s16s12成等差數(shù)列，類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)積為tn，則t4，_，_，成等比數(shù)列考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的類比答案解析由于等差數(shù)列與等比數(shù)列具有類比性，且等差數(shù)列與和差有關(guān)，等比數(shù)列與積商有關(guān)，因此當(dāng)?shù)炔顢?shù)列依次每4項(xiàng)的和仍成等差數(shù)列時(shí)，類比等比

9、數(shù)列為依次每4項(xiàng)的積成等比數(shù)列下面證明該結(jié)論的正確性：設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，首項(xiàng)為b1，則t4bq6，t8bq127bq28，t12bq1211bq66，t16bq1215bq120，bq22，bq38，bq54，即2·t4，2·，故t4，成等比數(shù)列反思與感悟已知等差數(shù)列與等比數(shù)列有類似的性質(zhì)，在類比過程中也有一些規(guī)律，如下表所示的部分結(jié)論(其中d，q分別是公差和公比)：等差數(shù)列等比數(shù)列定義anan1d(n2)an÷an1q(n2)通項(xiàng)公式ana1(n1)dana1qn1性質(zhì)若mnpq，則amanapaq若mnpq，則am·anap·aq跟

10、蹤訓(xùn)練3若數(shù)列an(nn*)是等差數(shù)列，則有數(shù)列bn(nn*)也是等差數(shù)列；類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：若數(shù)列cn是等比數(shù)列，且cn>0，則有數(shù)列dn_(nn*)也是等比數(shù)列考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的類比答案解析數(shù)列an(nn*)是等差數(shù)列，則有數(shù)列bn(nn*)也是等差數(shù)列類比猜想：若數(shù)列cn是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，則當(dāng)dn時(shí)，數(shù)列dn也是等比數(shù)列例4如圖，在rtabc中，c90°.設(shè)a，b，c分別表示三條邊的長度，由勾股定理，得c2a2b2.類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)平面幾何與立體幾何之間的類比解如題圖

11、，在rtabc中，c90°.設(shè)a，b，c分別表示3條邊的長度，由勾股定理，得c2a2b2.類似地，如圖所示，在四面體pdef中，pdfpdeedf90°.設(shè)s1，s2，s3和s分別表示pdf，pde，edf和pef的面積，相對(duì)于直角三角形的兩條直角邊a，b和1條斜邊c，圖中的四面體有3個(gè)“直角面”s1，s2，s3和1個(gè)“斜面”s.于是類比勾股定理的結(jié)構(gòu)，我們猜想s2sss成立反思與感悟(1)類比推理的一般步驟(2)中學(xué)階段常見的類比知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列，向量與實(shí)數(shù)，空間與平面，圓與球等等，比如平面幾何的相關(guān)結(jié)論類比到立體幾何的相關(guān)類比點(diǎn)如下平面圖形空間圖形點(diǎn)直線直線平

12、面邊長面積面積體積三角形四面體線線角面面角跟蹤訓(xùn)練4在長方形abcd中，對(duì)角線ac與兩鄰邊所成的角分別為，cos2cos21，則在立體幾何中，給出類比猜想并證明考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)平面幾何與立體幾何之間的類比解在長方形abcd中，cos2cos2221.于是類比到長方體中，猜想其體對(duì)角線與共頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為，則cos2cos2cos21.證明如下：cos2cos2cos22221.1已知扇形的弧長為l，半徑為r，類比三角形的面積公式s，可推知扇形面積公式s扇等于()a. b.c. d不可類比考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)平面曲線的類比答案c解析扇形的弧類比三角形的底邊，扇形的半徑類比三角形

13、的高，則s扇.2如圖為一串白黑相間排列的珠子，按這種規(guī)律往下排起來，那么第36顆珠子的顏色為()a白色 b黑色c白色可能性大 d黑色可能性大考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在圖形中的應(yīng)用答案a解析由題圖知，三白二黑周而復(fù)始相繼排列，根據(jù)36÷57余1，可得第36顆應(yīng)與第1顆珠子的顏色相同，即白色3觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則a10b10等于()a28 b76c123 d199考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用答案c解析利用歸納法：ab1，a2b23，a3b3314，a4b4437，a5b57411，a6b611718，a7b

14、7181129，a8b8291847，a9b9472976，a10b107647123，規(guī)律為從第三組開始，其結(jié)果為前兩組結(jié)果的和4在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長的比為12，則它們的面積比為14，類似地，在空間上，若兩個(gè)正四面體的棱長的比為12，則它們的體積比為_考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)平面幾何與立體幾何之間的類比答案18解析設(shè)兩個(gè)正四面體的體積分別為v1，v2，則v1v2s1h1s2h2s1h1s2h218.5按照?qǐng)D1、圖2、圖3的規(guī)律，第10個(gè)圖中圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在圖形中的應(yīng)用答案40解析圖1中的點(diǎn)數(shù)為41×4，圖2中的點(diǎn)數(shù)為82×4，圖3中的

15、點(diǎn)數(shù)為123×4，所以圖10中的點(diǎn)數(shù)為10×440.1合情推理主要包括歸納推理和類比推理數(shù)學(xué)研究中，在得到一個(gè)新結(jié)論前，合情推理能幫助猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，在證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為證明提供思路與方向2合情推理的過程概括為一、選擇題1下面使用類比推理，得出的結(jié)論正確的是()a若“a·3b·3，則ab”類比出“若a·0b·0，則ab”b“若(ab)cacbc”類比出“(a·b)cac·bc”c“若(ab)cacbc”類比出“(c0)”d“(ab)nanbn”類比出“(ab)nanbn”考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)類

16、比推理的方法、形式和結(jié)論答案c解析顯然a，b，d不正確，只有c正確2.觀察圖形規(guī)律，在其右下角的空格內(nèi)畫上合適的圖形為()a. bc. d考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在圖形中的應(yīng)用答案a解析觀察可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：每行、每列中，方、圓、三角三種形狀均各出現(xiàn)一次，每行、每列有兩陰影一空白，即得結(jié)果3根據(jù)給出的數(shù)塔猜測(cè)123 456×97等于()1×921112×93111123×941 1111 234×9511 11112 345×96111 111a1 111 110 b1 111 111c1 111 112 d1 111 113考點(diǎn)歸納

17、推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用答案b解析由數(shù)塔猜測(cè)應(yīng)是各位都是1的七位數(shù)，即1 111 111.4類比平面內(nèi)“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的性質(zhì)，可推出下列空間結(jié)論：垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行；垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行；垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行則其中正確的結(jié)論是()a bc d考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)平面幾何與立體幾何之間的類比答案b解析根據(jù)立體幾何中線面之間的位置關(guān)系及有關(guān)定理知，是正確的結(jié)論5觀察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由歸納推理可得：若定義在r上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x

18、)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(x)等于()af(x) bf(x)cg(x) dg(x)考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用答案d解析由所給函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)知，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)因此當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí)，其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù)，故g(x)g(x)6觀察下列式子：1<，1<，1<，根據(jù)以上式子可以猜想：1小于()a. b.c. d.考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用答案c解析觀察可以發(fā)現(xiàn)，第n(n2)個(gè)不等式左端有n1項(xiàng)，分子為1，分母依次為12,22,32，(n1)2；右端分母為n1，分子成等差數(shù)列，首項(xiàng)為3，公差為2，因此第n個(gè)不等式為1&

19、lt;，所以當(dāng)n2 016時(shí)不等式為1<.7設(shè)abc的三邊長分別為a，b，c，abc的面積為s，內(nèi)切圓半徑為r，則r，類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體abcd的四個(gè)面的面積分別為s1，s2，s3，s4，內(nèi)切球半徑為r，四面體abcd的體積為v，則r等于()a. b.c. d.考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)平面幾何與立體幾何之間的類比答案c解析設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為o，則球心o到四個(gè)面的距離都是r，所以四面體的體積等于以o為頂點(diǎn)，分別以四個(gè)面為底面的4個(gè)三棱錐體積的和則四面體的體積為v(s1s2s3s4)r，r.8如圖，第n個(gè)圖形是由正n2邊形“擴(kuò)展”而來(n1,2,3，)，則第n個(gè)圖形中頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(

20、)a(n1)(n2) b(n2)(n3)cn2 dn考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在圖形中的應(yīng)用答案b解析由已知中的圖形我們可以得到：當(dāng)n1時(shí)，頂點(diǎn)共有123×4(個(gè))，當(dāng)n2時(shí)，頂點(diǎn)共有204×5(個(gè))，當(dāng)n3時(shí)，頂點(diǎn)共有305×6(個(gè))，當(dāng)n4時(shí)，頂點(diǎn)共有426×7(個(gè))，則第n個(gè)圖形共有頂點(diǎn)(n2)(n3)個(gè)，故選b.二、填空題9觀察下列等式：121；12223；1222326；1222324210；照此規(guī)律，第n個(gè)等式為_考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用答案12223242(1)n1n2(1)n1解析121，1222(12)，1

21、22232123，12223242(1234)，12223242(1)n1n2(1)n1(123n)(1)n1.10我們知道：周長一定的所有矩形中，正方形的面積最大；周長一定的所有矩形與圓中，圓的面積最大，將這些結(jié)論類比到空間，可以得到的結(jié)論是_考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)平面幾何與立體幾何之間的類比答案表面積一定的所有長方體中，正方體的體積最大；表面積一定的所有長方體和球中，球的體積最大解析平面圖形與立體圖形的類比：周長表面積，正方形正方體，面積體積，矩形長方體，圓球11二維空間中圓的一維測(cè)度(周長)l2r，二維測(cè)度(面積)sr2；三維空間中球的二維測(cè)度(表面積)s4r2，三維測(cè)度(體積)vr3；

22、四維空間中“超球”的三維測(cè)度v8r3，則猜想其四維測(cè)度w_.考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用答案2r4解析二維空間中圓的一維測(cè)度(周長)l2r，二維測(cè)度(面積)sr2，觀察發(fā)現(xiàn)sl.三維空間中球的二維測(cè)度(表面積)s4r2，三維測(cè)度(體積)vr3，觀察發(fā)現(xiàn)vs.四維空間中“超球”的三維測(cè)度v8r3，猜想其四維測(cè)度w，則wv8r3，w2r4.12如圖(甲)是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(簡稱icme7)的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主體圖案是由如圖(乙)的一連串直角三角形演化而成的，其中oa1a1a2a2a3a7a81，如果把圖(乙)中的直角三角形依此規(guī)律繼續(xù)作下去，記oa1，oa2，oan，的長度構(gòu)成數(shù)列an，則此數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an_.考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用答案解析根據(jù)oa1a1a2a2a3a7a81和圖(乙)中的各直角三角形，由勾股定理，可得a1oa11，a2oa2，a3oa3，故可歸納推測(cè)出an.13圓(xa)2(yb)2r2(r>0)在點(diǎn)p(x0，y0)處切線的方程為(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2，由此類比，橢圓1(a>b>0)在點(diǎn)p(x0，y0)處的切線方程為_考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)平面曲線之間的類比答案1解析類比過圓上一點(diǎn)的切線方程，可合