多元函數(shù)的微分法及其應用

1、18.1 預備知識預備知識8.2 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念8.3 偏導數(shù)偏導數(shù)8.4 全微分及其應用全微分及其應用8.5 多元復合函數(shù)的微分法多元復合函數(shù)的微分法8.6 隱函數(shù)的微分法隱函數(shù)的微分法8.8 二元函數(shù)的極值與最值二元函數(shù)的極值與最值第八章第八章 多元函數(shù)的微分法及其應用多元函數(shù)的微分法及其應用( , )zf x y 2zbxyoac第八章第八章 多元函數(shù)的微分法及其應用多元函數(shù)的微分法及其應用 下面在一元函數(shù)微分法的基礎(chǔ)上, 來研究多元函數(shù)的微分法. 因從一元函數(shù)到二元函數(shù)將會面臨一些新問題, 而從二元函數(shù)到二元以上的多元函數(shù), 可完全類推; 需首先介紹一些空間故下面主要研究

2、二元要研究多元函數(shù),現(xiàn)就必備知識作解析幾何知識.簡單介紹.函數(shù)的微分法及其應用.38.18.1預備知識預備知識 要求大家了解空間解析幾何的初步知識.下面僅簡要地介紹有關(guān)解空間解析幾何的一些基本概念.1.空間直角坐標系及空間中的點與坐標一一. . 空間解析幾何簡介空間解析幾何簡介其幾何直觀, 如圖:oxoyoz、.ozoxyz 過空間中的一個定點o, 作三條相互垂直的直線再規(guī)定一個長度單位和按照右手螺旋法則去確定的正方向, 就構(gòu)成一個空間直角坐標系, 并記為 o123123123xyzox oy、 、 161電影網(wǎng)電影網(wǎng)整理發(fā)布整理發(fā)布4oxyzoxoyoz、及o123123123xyz在空間直

3、角坐標系 中, 點o稱為坐標原點;分別稱為x軸(橫軸) 、y軸(縱軸)及z軸(豎軸), 并統(tǒng)稱為坐標軸.任意兩條坐標軸構(gòu)成的平面稱為坐標面, 分別簡稱為xy平面、yz平面及 zx平坐標面; 且它們將空間分割成八個部分, 稱每一個部分為一個卦限.5xyz以后依次稱為第、卦限.把含三個坐標軸正方向的那個卦限為第一卦限.如圖:在xy坐標平面的上部, 依次稱為第、卦限.在xy坐標平面的下部與第一卦限相對應的稱為第卦限;6對于空間中的任意點m, 過點m作三個平面分別垂直于的坐標依次為x、y、z; zyoxpqrmxyz在建立了空間直角坐標系后，就可以建立空間的點與有序數(shù)組(x, y, z)之間的對應關(guān)系

4、.且與x軸、y軸、z軸的交點依次為p、q、三條坐標軸.r.(如圖)p、q、r三點在三個坐標軸上定了一個三元有序數(shù)組這樣空間的點m就唯一確(x, y, z).7把x、y、z稱為點m的橫坐標 、縱坐標及豎坐標, 記為m (x, y, z). 反之, 對于任給的三元有序數(shù)組(x, y, z), 可依次在 x 軸、y軸、z軸上分別找出坐標為zyoxpqrmxyz這樣空間任一點m和一個三元有序數(shù)組(x, y, z)建立了并把有序數(shù)組(x, y, z) 稱為點m的空間直角坐標,并依次這三個平面的交點m， 就是以數(shù)組(x, y, z)為坐標的點.x、y、z 的三點p、q、r， 然后過此三點作是三個平面分別垂

5、直于 x軸、y軸、z軸，一一對應關(guān)系.8xyzyz面上點的坐標為(0, y, z) x軸上點的坐標為(x , 0, 0)y軸上點的坐標為(0, y, 0)z軸上點的坐標為(0, 0, z)xy面上點的坐標為(x, y, 0)xz面上點的坐標為(x, 0, z) 由以上規(guī)定知道:坐標原點o的坐標為(0, 0, 0)9二二.空間任意兩點間的距離1111( ,)mx y z 與2222(,)mxyz ，22212212121()()() .dm mxxyyzz給定空間兩點這兩點間的距離d為可證明這與平面解幾中兩點間的距離公式是一樣的.過 各作三個分別垂直于三條坐標軸的平面.12,m m10zyox1

6、x2x1y2y1m2m3md1m3m向 xy面投影,并設(shè)點12m m12,m m13,.m m221323m mm m222121323m mm mm m則這六個平面圍成一個以為對角線的長方體;(如圖)在xy面的垂足各為 11222132121m mxxyy而222321m mzz且；12222212121 ()()()dmmxxyyzz特別地,空間任一點m(x,y,z)222omxyz例例1 1 已知兩點(-1, 0, 2),(3, -2, 4), 求此兩點間的距離.222 (3 1)( 20)(42)242 6d 解zyox1x2x1y2y1m2m3md1m3m到原點o的距離為12與平面解

7、幾相仿,空間解幾利用定義定義1 1 若曲面s上任意一點的坐標zyoxm(x,y,z)p(x,y)下面來解決關(guān)于曲面的兩個基本問題:三.空間曲面與方程空間坐標法, 把由點構(gòu)成的幾何圖形和代數(shù)方程聯(lián)系起來.則稱方程f(x,y,z)=0為曲面s的方程, 而稱曲面s為方程都滿足方程f(x,y,z)=0； 而不在曲面s上的點的坐標都不滿足方程f(x,y,z)=0,f(x,y,z)=0的圖形.(如上圖)1. 巳知曲面的幾何軌跡, 建立曲面的方程s13例例2 2 一動點m( x, y, z)與兩定點a(-1,0,4)和b(1,2,-1)的 mamb解 因222222(1)(4)(1)2(1)xyzxyz（）

8、4410110 xyz故m( x, y, z)的軌跡方程x z面的方程為 y = 0 距離相等, 求此動點m的軌跡方程.(即a、b兩點連線的垂直平分面的方程)為4410110 xyz因x y平面上任意一點的坐標滿足z = 0；而凡滿足z = 0的點又都在 x y平面上；故坐標平面的方程分別為x y面的方程為 z = 0y z面的方程為 x = 014平行于xy面的平面方程為 z = c(c為常數(shù), 表示此平面平行于yz面的平面方程為x=a(a為常數(shù), 表示此平面 平行于xz面的平面方程為y=b(b為常數(shù), 表示此平面ax + by + cz + d = 0 重要結(jié)論重要結(jié)論: : 平面方程均為

9、一次方程平面方程均為一次方程. . 其中a、b、c、d均為常數(shù), 且a、b、c不全為0.在 z 軸上的截距)在 y 軸上的截距)在 x 軸上的截距)一般地一般地,x, y, z的三元一次方程所表示的圖形均是平面的三元一次方程所表示的圖形均是平面. 空間平面方程的一般形式為150,mmr則222000()()()xxyyzzr2222000()()()xxyyzzrzyoxr2222xyzr例例3 3 求球心在點 半徑為r的球面方程.0000(,),mxyz ( , , ),( , , )m x y zm x y z解 設(shè)球面上任意一點為則動點與間的長度為特別地,以原點為球心,r為半徑的球面方程

10、為;是此球面的上半部.是此球面的下半部0000(,)mxyz定點之222zrxy 222zrxy則162. 巳知曲面的方程, 研究方程的圖形通常情況下,三元方程的圖形為一張空間曲面;至于會得出曲面s的全貌這種方法稱為一、二元方程的圖形,則應由具體的坐標系而定.一般的三元方程，通常很難立即想出其圖形的形狀.但若依次用平行于坐標面的平面x = a、y = b和z = c去截曲面s，則可得一系列的截口曲線；再將它們綜合起來就例例4 4 考察下列的圖形方程: (1) 2x- z=0 (2) 2x+y+2z=4 222(3) xyr“平行截口”法.2(5) 4.x 22(4) zxy17即用平行于xz面

11、的任何平面20 xzya與x z面的交線為 2x- z = 0zoxy是直線故該方程的圖形是經(jīng)過y軸且且過原點的平面.解 (1)由方程2x- z = 0不含y知： d = 0.則曲面過原點.且無論 y 取何值, 都有2x- z = 0y = a去截曲面，其截痕都18此即為平面的截距式方程.1111242xyz它與x、y、z軸的交點分別為(2, 0, 0), (0, 4, 0), (0, 0, 2).解解 由方程由方程 2x + y + 2z = 4有有(2) 2x + y + 2z = 4 zyox24219222(3) xyr半徑為r的圓.222xyr在空間，因方程222xyr222,xyr

12、zczyx且圓的大小與c無關(guān).o解 在xy面上，方程表示以原點為圓心，用平面z=c去截曲面，其截口線為不含z，則z可取 任意值,圓圓20zyxo用平面 x = a去截曲面, 其截痕為直線22yraxa 2122xrayb zyxo用平面 y = b去截曲面, 其截痕為直線注注1 1 xy面上,定圓曲線222xyr的一個圓柱面.222xyr平行于z軸的直線叫做此圓柱面的故該曲面為母線平行于z軸、準線為圓周準線，叫做此圓柱面的母線.2222(4) zxy解 用平面z=c(c0)去截曲面,其截痕為圓22xyc當c=0時,只有原點(0, 0, 0)滿足此方程；c若用平面x=a或y=b去截曲面,其截痕為

13、當c0時,其截痕為以(0,0,c)為圓心,顯然c越大，其截痕圓越大.zyox以半徑為r的圓.拋物線.23曲線l稱為此旋轉(zhuǎn)曲面的母線,ll故曲面 是 一個旋轉(zhuǎn)拋物面(如圖).22zxyzyox注注2 2 如果有一條平面曲線l，繞著同一平面內(nèi)一條已知直線 旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.ll已知直線旋轉(zhuǎn)曲面的軸.稱為此24稱為2222221xyzabc注注3 3 方程 所確定的曲面， 橢球面(如圖)zbxyoac解 因方程缺y、z，2(5) 4x 平面且分別過點(2, 0, 0)或(-2, 0, 0)的兩個平面.則等價于方程的圖形是平行于 y z注注4 4 在空間解幾中, 若方程缺一個變量, 則其

14、圖形必平行則其圖形必平行于坐標軸; 若方程缺兩個變量,于坐標面.25四四. . 平面上的區(qū)域平面上的區(qū)域 在討論一元函數(shù)時, 常用鄰域和區(qū)間的概念. 本章討論多元函數(shù)時, 也要用到鄰域和區(qū)域的概念. 故下面將一元函數(shù)的鄰域和區(qū)間的概念加以推廣. 1. 1. 鄰域鄰域000(,)p x y與與 22000(, )( , )()()n px yxxyy 間間的的距距離離小小于于000(,)0,p xyxy 設(shè)設(shè)是是平平面面上上的的一一個個點點，0,p 為為點點 的的 鄰鄰域域 并并記記為為( , )p x y的的點點的的全全體體0(, ),n p 即即平面上平面上260(, )n p 的的幾幾何何意意義義為為：00,(, ),pn p點的 去心鄰域 通常記為即點的 去心鄰域 通常記為即 22000(, )( , ) 0()()n px yxxyy 000(,).xyp xy 平面上以點中心、以 長為半徑的圓的內(nèi)