可分離變量微分方程58481

1、轉(zhuǎn)化 可分離變量微分方程 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二節(jié)解分離變量方程解分離變量方程 xxfyygd)(d)(可分離變量方程可分離變量方程 )()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xnxxmyynymd)( )(22 第十二章 分離變量方程的解法分離變量方程的解法:xxfyygd)(d)(設(shè) y (x) 是方程的解, xxfxxxgd)(d)()(兩邊積分, 得 yygd)(xxfd)(cxfyg)()(則有恒等式 )(yg)(xf當(dāng)g(y) 與f(x) 可微且 g(y) g(y)0 時(shí), 說明由確定的隱函數(shù) y(x) 是的解. 則有稱為方程的隱式通解, 或通積分.同樣,當(dāng)

2、f(x)= f (x)0 時(shí),上述過程可逆,由確定的隱函數(shù) x(y) 也是的解. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 求微分方程yxxy23dd的通解.解解: 分離變量得xxyyd3d2兩邊積分xxyyd3d2得13lncxycxylnln3即13cxey31xcee3xecy 1cec令( c 為任意常數(shù) )或說明說明: 在求解過程中每一步不一定是同解變形, 因此可能增、減解.( 此式含分離變量時(shí)丟失的解 y = 0 )機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 解初值問題0d)1(d2yxxyx解解: 分離變量得xxxyyd1d2兩邊積分得cxyln11lnln2即cxy12由

3、初始條件得 c = 1,112xy( c 為任意常數(shù) )故所求特解為 1)0(y機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 求下述微分方程的通解:) 1(sin2yxy解解: 令 , 1yxu則yu1故有uu2sin1即xuuddsec2cxutan解得cxyx) 1tan( c 為任意常數(shù) )所求通解:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習(xí)練習(xí):.dd的通解求方程yxexy解法解法 1 分離變量xeyexyddceexy即01)(yxece( c 0 )解法解法 2, yxu令yu1則故有ueu1積分cxeuu1dcxeuu)1 (ln( c 為任意常數(shù) )所求通解:cyeyx)1(ln

4、ueeeuuud1)1 (機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 子的含量 m 成正比,0m求在衰變過程中鈾含量 m(t) 隨時(shí)間 t 的變化規(guī)律. 解解: 根據(jù)題意, 有)0(ddmtm00mmt(初始條件)對(duì)方程分離變量, mmd,lnlnctm得即tecm利用初始條件, 得0mc 故所求鈾的變化規(guī)律為.0temmm0mto然后積分:td)(已知 t = 0 時(shí)鈾的含量為已知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變?cè)瓩C(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5.成正比,求解解: 根據(jù)牛頓第二定律列方程tvmdd00tv初始條件為對(duì)方程分離變量,mtvkmgvdd然后積分 :得cmtvkgmk

5、)(ln1)0( vkgm此處利用初始條件, 得)(ln1gmkc代入上式后化簡(jiǎn), 得特解并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(shí)( t = 0 ) 速度為0,)1 (tmkekgmvmgvk設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度 降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系. kmgv t 足夠大時(shí)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 cm100例例6. 有高 1m 的半球形容器, 水從它的底部小孔流出,.cm12s開始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水,從小孔流出過程中, 容器里水面的高度 h 隨時(shí)間 t r解解: 由水力學(xué)知, 水從孔口流出的流量為tvqddhgs262. 0即thgvd262. 0d求水小孔橫截面積的變化規(guī)律.流量系數(shù)

6、孔口截面面積重力加速度設(shè)在d,ttt內(nèi)水面高度由 h 降到 ),0d(dhhhhhdhho機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 cm100rhhdhho對(duì)應(yīng)下降體積hrvdd222)100(100hr2200hhhhhvd)200(d2因此得微分方程定解問題:hhhthgd)200(d262. 021000th將方程分離變量:hhhgtd)200(262. 0d2321機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 gt262. 0兩端積分, 得g262. 0hhhd)200(2321233400(h)5225hc利用初始條件, 得5101514262. 0gc因此容器內(nèi)水面高度 h 與時(shí)間 t 有下列關(guān)系

7、:)310107(265. 4252335hhgt1000thcm100rhhdhho機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 微分方程的概念微分方程;定解條件;2. 可分離變量方程的求解方法:說明說明: 通解不一定是方程的全部解 .0)(yyx有解后者是通解 , 但不包含前一個(gè)解 .例如, 方程分離變量后積分; 根據(jù)定解條件定常數(shù) .解; 階;通解; 特解 y = x 及 y = c 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (1) 找出事物的共性及可貫穿于全過程的規(guī)律列方程.常用的方法常用的方法:1) 根據(jù)幾何關(guān)系列方程 ( 如: p263,5(2) ) 2) 根據(jù)物理規(guī)律列方程

8、 ( 如: 例4 , 例 5 )3) 根據(jù)微量分析平衡關(guān)系列方程 ( 如: 例6 )(2) 利用反映事物個(gè)性的特殊狀態(tài)確定定解條件.(3) 求通解, 并根據(jù)定解條件確定特解. 3. 解微分方程應(yīng)用題的方法和步驟機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí) 求下列方程的通解 :0d)(d)() 1(22yyyxxyxx提示提示:xxxyyyd1d122)sin()sin()2(yxyxy(1) 分離變量(2) 方程變形為yxysincos2cxysin22tanln機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)p 269 1 (1) , (5) , (7) , (10); 2 (3), (4) ; 4 ; 5 ; 6第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,0) 1 ,0(,1fcf備用題備用題 已知曲線積分與路徑無關(guān), 其中求由確定的隱函數(shù)解解: 因積分與路徑無關(guān) , 故有xf