不定積分概念性質(zhì)(26)

1、2021-11-13微積分-不定積分概念與性質(zhì)1上課 手機(jī)手機(jī) 關(guān)了嗎？關(guān)了嗎？2021-11-13微積分-不定積分概念與性質(zhì)2第第5章章 不定積分不定積分2021-11-13微積分-不定積分概念與性質(zhì)3( )?df xdx 微分微分 ?( )df xdx 積分積分 如：已知如：已知ss(t)，求，求v(t) 已知已知vv(t)，求，求s(t) 微分微分 積分積分 5.1 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)1 運(yùn)算角度運(yùn)算角度一、問(wèn)題的引入一、問(wèn)題的引入2 實(shí)際問(wèn)題實(shí)際問(wèn)題即：微分的逆運(yùn)算是積分即：微分的逆運(yùn)算是積分2021-11-13微積分-不定積分概念與性質(zhì)4例例 xxcossin

2、xsin是是xcos的的原原函函數(shù)數(shù). 1ln(0)xxx 如果在區(qū)間如果在區(qū)間i內(nèi)，內(nèi)，1.定義定義:可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù))(xf的的即即ix ，都都有有)()(xfxf 或或dxxfxdf)()( ，導(dǎo)函數(shù)為導(dǎo)函數(shù)為)(xf，或或dxxf)(在在區(qū)區(qū)間間i內(nèi)內(nèi)原原函函數(shù)數(shù). .二、原函數(shù)二、原函數(shù) ( )fx ( )( )fxx 是是 的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù).問(wèn)題問(wèn)題: 1.原函數(shù)何時(shí)存在原函數(shù)何時(shí)存在? 2.有多少個(gè)有多少個(gè)? 3.怎樣求怎樣求?2021-11-13微積分-不定積分概念與性質(zhì)52. . 原函數(shù)存在定理：原函數(shù)存在定理：簡(jiǎn)言之：簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)

3、.問(wèn)題：?jiǎn)栴}： (1) 原函數(shù)是否唯一？原函數(shù)是否唯一？例例 xxcossin xcxcossin （ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）c那那么么在在區(qū)區(qū)間間i內(nèi)內(nèi)存存在在可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù))(xf，使使ix ，都有，都有)()(xfxf . .(2) 若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？2021-11-13微積分-不定積分概念與性質(zhì)63. 原函數(shù)結(jié)構(gòu)定理：原函數(shù)結(jié)構(gòu)定理：（1）若）若 ，則對(duì)于任意常數(shù)，則對(duì)于任意常數(shù) ，)()(xfxf ccxf )(都都是是)(xf的的原原函函數(shù)數(shù).（2）若）若 和和 都是都是 的原函數(shù)，的原函數(shù)，)( xf)( xg)( xf則則cxgxf )

4、()(（ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）c證證 )()()()(xgxfxgxf 0)()( xfxfcxgxf )()(（ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）c 即：如果函數(shù)有一個(gè)原函數(shù)，則必有無(wú)窮多即：如果函數(shù)有一個(gè)原函數(shù)，則必有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)，且它們之間只相差一個(gè)常數(shù)，因而，個(gè)原函數(shù)，且它們之間只相差一個(gè)常數(shù)，因而，廣義地講，一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)只有一個(gè)。廣義地講，一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)只有一個(gè)。全體原函數(shù)全體原函數(shù) 任意一個(gè)原函數(shù)任意一個(gè)原函數(shù)2021-11-13微積分-不定積分概念與性質(zhì)7任意常數(shù)任意常數(shù)積分號(hào)積分號(hào)被積函數(shù)被積函數(shù)1. 不定積分的定義：不定積分的定義：在在區(qū)區(qū)間間i內(nèi)內(nèi)，cxfdxxf )(

5、)(被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量函函數(shù)數(shù))(xf的的帶帶有有任任意意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱(chēng)稱(chēng)為為)(xf在在區(qū)區(qū)間間i內(nèi)內(nèi)的的不定積分不定積分，記為，記為 dxxf)(. .即：即：三、不定積分三、不定積分2021-11-13微積分-不定積分概念與性質(zhì)8例例1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665cxdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 cxdxx2021-11-13微積分-不定積分概念與性質(zhì)92. 不定積分的幾何意義不定積分的幾何意義一簇曲線一簇曲線o( )yf x ( )yf xc函函數(shù)數(shù))(xf的的原原函函

6、數(shù)數(shù)的的圖圖形形稱(chēng)稱(chēng)為為)(xf的的積積分分曲曲線線.初始條件：在初始條件：在f (x)的所有原函數(shù)中確定一個(gè)的條件的所有原函數(shù)中確定一個(gè)的條件.2021-11-13微積分-不定積分概念與性質(zhì)10例例3 3 設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)（設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)（1，2），且其上任一點(diǎn)處的），且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.解解設(shè)曲線方程為設(shè)曲線方程為),(xfy 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,2xdxdy 即即)(xf是是x2的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù).,22 cxxdx,)(2cxxf 由曲線通過(guò)點(diǎn)（由曲線通過(guò)點(diǎn)（1，2）, 1 c所求曲線方程為所求曲線方程

7、為. 12 xy3. 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 求不定積分和求導(dǎo)數(shù)、微分互為逆運(yùn)算求不定積分和求導(dǎo)數(shù)、微分互為逆運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)2性質(zhì)性質(zhì)3(先積后微，形式不變；先微后積，相差常數(shù)）先積后微，形式不變；先微后積，相差常數(shù)） ( )f x dx ( )f x( )df x dx ( )f x dx( )fx dx ( )f xc ( )df x ( )f xc ( )( )kf x dxkf x dx ( )( )( )( )f xg xdxf x dxg x dx( )( )( )( )f xg x dxf x dxg x dx23( )( )( )( )f xg xf x dxg

8、x dx= 注：注：2021-11-13微積分-不定積分概念與性質(zhì)12(1) 0dxc 基本積分表基本積分表(1):1(2)(1);1xx dxc 11xx (5)dxx (3)xe dx ;xec (4)xa dx ;lnxaca 5.2 基本積分公式與直接積分法基本積分公式與直接積分法ln;xc 基本積分公式要熟記基本積分公式要熟記2021-11-13微積分-不定積分概念與性質(zhì)13 xdxcos)6(;sincx xdxsin)7(;coscx xdx2cos)8( xdx2sec;tancx xdx2sin)9( xdx2csc;cotcx xdxxtansec)10(;seccx xd

9、xxcotcsc)11(;csccx 21(12)1dxx arcsin;xc 21(13)1dxx arctan.xc 基本積分公式要熟記基本積分公式要熟記2021-11-13微積分-不定積分概念與性質(zhì)142321x dxxdxdx32xxxc2(321)xxdx 例例2 2 求積分求積分.2dxxx dxx 2572x 例例1 1 求積分求積分2.7c 注注:最后結(jié)果最后結(jié)果在沒(méi)有積分在沒(méi)有積分號(hào)時(shí)要加號(hào)時(shí)要加c2021-11-13微積分-不定積分概念與性質(zhì)15例例3 求積分求積分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xa

10、rcsin2 c 例例4 4 (32 )xxedx (32 )xxe dxdex231ln2xxxeec 2021-11-13微積分-不定積分概念與性質(zhì)16例例5 5 求積分求積分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(222111dxxx dxxdxx 1112arctanln.xxc2021-11-13微積分-不定積分概念與性質(zhì)17例例6 6 求積分求積分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1cxx 2021-11-13微積分-不定積分概念與性質(zhì)18例例

11、7 7 求積分求積分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21cx 說(shuō)明：說(shuō)明：以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能使用基本積分表恒等變形，才能使用基本積分表.2021-11-13微積分-不定積分概念與性質(zhì)19解解,sinsec2xxdxdy dxxxy sinsec2,costancxx , 5)0( y, 6 c所求曲線方程為所求曲線方程為. 6costan xxy2021-11-13微積分-不定積分概念與性質(zhì)20基本積分表基本積分表(1)不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) 原函數(shù)的概念：原函數(shù)的

12、概念：)()(xfxf 不定積分的概念：不定積分的概念： cxfdxxf)()(求微分與求積分的互逆關(guān)系求微分與求積分的互逆關(guān)系小結(jié)直接積分法直接積分法思考題思考題符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù) 0, 10, 00, 1sgn)(xxxxxf在在(, +)內(nèi)內(nèi)是否存在原函數(shù)？是否存在原函數(shù)？為什么？為什么？解答解答假設(shè)有原函數(shù)假設(shè)有原函數(shù)f(x)，則，則12,0( )? ,0,0 xcxf xxxcx 故假設(shè)錯(cuò)誤故假設(shè)錯(cuò)誤即即f (x)在在(, +)內(nèi)不存在原函數(shù)內(nèi)不存在原函數(shù).結(jié)論結(jié)論含有含有第一類(lèi)間斷點(diǎn)第一類(lèi)間斷點(diǎn)的函數(shù)都沒(méi)有原函數(shù)的函數(shù)都沒(méi)有原函數(shù).由由“f(x)可導(dǎo)必連續(xù)可導(dǎo)必連續(xù)”得得:c1c2f

13、(0),0( ),0,0 xcxf xcxxcx 但但f(x)在在x0不可導(dǎo)不可導(dǎo)2021-11-13微積分-不定積分概念與性質(zhì)22提示：化分?jǐn)?shù)指數(shù)提示：化分?jǐn)?shù)指數(shù)提示：用除法提示：用除法練習(xí)：練習(xí)：421xdxx xxx dx 2(1)(2)xxdxx 提示：用除法提示：用除法提示：用除法提示：用除法31xdxx 11:(1)ln111dxd xxcxx注注42(1)11xxxd 3(1)11xxdx 湊微分法求不定積分！2021-11-13微積分-不定積分概念與性質(zhì)23提示：用三角公式提示：用三角公式提示：用三角公式提示：用三角公式221sincosdxxx cos 2sincosxdxxx 22(tan2cot)xx dx 2222sincossincosxxdxxx 提示：用三角公式提示：用三角公式2(tancot)xx dx (cossin)xx dx cossinxxc tancotxxc 22secc(c)sxx dx tancotxxc 2021-11-13微積分-不定積分概念與性質(zhì)24提示：用三角公式提示：用三角公式提