第三節(jié)一階線性微分方程

1、復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)2.可分離變量的方程可分離變量的方程:(1)分離變量分離變量;(2)兩端積分兩端積分1.一階微分方程一階微分方程0),( yyxf解法解法:(分離變量法分離變量法) )()(ygxfxy dd)()(xqyxpdxdy 或或定義定義6.2 形如形如例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy線性的線性的;非線性的非線性的.,:的的一一次次方方程程是是關(guān)關(guān)于于特特點點yy )()(xqyxpy , 0)( xq當當上方程稱為上方程稱為齊次的齊次的.上方程稱為上方程稱為非齊次的非齊次的., 0)( xq當當?shù)谌?jié)第三節(jié) 一階線性微分方程一階線性

2、微分方程. 0)( yxpdxdy,)(dxxpydy ,)( dxxpydy,ln)(lncdxxpy 齊次方程的通解為齊次方程的通解為.)( dxxpcey1. 線性齊次方程線性齊次方程一階線性微分方程的一階線性微分方程的解法解法(使用分離變量法使用分離變量法)2. 線性非齊次方程線性非齊次方程).()(xqyxpdxdy 討論討論,)()(dxxpyxqydy 兩邊積分兩邊積分,)()(ln dxxpdxyxqy),()(xvdxyxq為為設(shè)設(shè) ,)()(ln dxxpxvy.)()( dxxpxveey即即非齊次方程通解形式非齊次方程通解形式與齊次方程通解相比與齊次方程通解相比:)(x

3、cc 解法解法常數(shù)變易法常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.實質(zhì)實質(zhì): 未知函數(shù)的變量代換未知函數(shù)的變量代換.),()(xyxc原原未未知知函函數(shù)數(shù)新新未未知知函函數(shù)數(shù)作變換作變換,設(shè)設(shè) dxxpexcy)()(,)()()()()( dxxpdxxpexpxcexcy是是 的解的解 )()(xqyxpdxdy 代代入入原原方方程程得得和和將將yy ,)()()(cdxexqxcdxxp ),()()(xqexcdxxp 積分得積分得一階線性非齊次微分方程的通解為一階線性非齊次微分方程的通解為: dxxpdxxpecdxexqy)()

4、()(dxexqecedxxpdxxpdxxp )()()()(對應(yīng)齊次對應(yīng)齊次方程通解方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解定理定理6.1 (一階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu)一階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu))一階非齊次線一階非齊次線性方程的通解等于對應(yīng)的齊次線性方程的通解與一階非齊性方程的通解等于對應(yīng)的齊次線性方程的通解與一階非齊次線性方程的一個特解之和次線性方程的一個特解之和 常數(shù)變易法的求解步驟：常數(shù)變易法的求解步驟：,. 1)( dxxpcey通通解解求求出出相相應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次方方程程的的),(. 2xcc變變?yōu)闉楹瘮?shù)數(shù)將將上上式式中中的的常常數(shù)數(shù)),(. 3xc程程）求求出出代代入入原原方

5、方程程（非非齊齊次次方方 dxxpexcy)()(. 4 得得非非齊齊次次方方程程的的通通解解：xyxy112 02 yxyxxyydd2 2cxy 把所給方程寫成把所給方程寫成 這是一階非齊次線性方程這是一階非齊次線性方程解解先求對應(yīng)的齊次方程的通解先求對應(yīng)的齊次方程的通解再用常數(shù)變易法求式的通解，再用常數(shù)變易法求式的通解， 1)(2)(2)(22 xxxcxxcxxcx化簡得化簡得3211)(xxxc cxxxc 2211)(212 xcxy積分可得積分可得即得所給方程的通解即得所給方程的通解這是一階非齊次線性方程，這是一階非齊次線性方程， 可用公式，可用公式，解解2)(,1)(xxqxx

6、p ，其通解為，其通解為 cxxyxxxxdeedd121 )(ln2lncxxxxdee )(12cxxxxd)2(2cxx cxx 321其中其中方法一方法一 公式法公式法 解解 xxpxxpcxxqyddede)()()(22e d2edee2d2d2xxxxxxcxxcxx 2e )(2xcx 由公式得原方程的通解由公式得原方程的通解方法二方法二 常數(shù)變易法常數(shù)變易法xxyydd2 cxylnln2 2xcy erc 所以通解為所以通解為 22222)(2)(2)(xxxxxxxcxxcxc eeeexxc2)( cxxc 2)(2)(2xcxy e化簡，得化簡，得 積分可得積分可得

7、由此得到原方程的通解為由此得到原方程的通解為 yxyx dd )(cyyxyydeedd )(cyyyydeeycye 1解解 將將x看作未知函數(shù)，看作未知函數(shù)， y看作自變量，這是一階線看作自變量，這是一階線性微分方程，性微分方程， 按一階非齊次線性方程的解法可求按一階非齊次線性方程的解法可求出其通解為出其通解為把方程變形為把方程變形為解解排出鹽的速率為排出鹽的速率為tytytv 10021002)(2(克克/分分) 從而桶內(nèi)鹽的變化率為從而桶內(nèi)鹽的變化率為,10026)()(21tytvtvty dd. 61002 tytydd即即 解解 上面的微分方程，得其通解為上面的微分方程，得其通解為 ctyttttdeedd100210026 .)100()100(2)100(2)100(1232tctctt ,1001002502c .1501002 c,)100(1500000)100(22tty ).(1711301500000260230克克 ty由此得由此得所以所以 這就是這就是30分鐘時桶內(nèi)所存鹽水的含鹽量分鐘時桶內(nèi)所存鹽水的含鹽量2.線性非齊次方程線性非齊次方程 dxxpexuy)()(令令 小結(jié)小結(jié)1.齊次方程齊次方程.)( dxxpcey常數(shù)變易法：常數(shù)變