定積分的換元法和分部積分法60463

1、15.3 定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法，則則有有其其值值域域不不越越出出上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且（或或在在；滿滿足足條條件件：上上連連續(xù)續(xù)，函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)定定理理, ),)( (2) )( ,)( )1( )(,)( 1batbatxbaxf 元公式元公式這個(gè)公式叫定積分的換這個(gè)公式叫定積分的換一一 定積分的換元法定積分的換元法dtttfdxxfba )()()(2在在。數(shù)數(shù)均均連連續(xù)續(xù)，故故定定積積分分存存由由條條件件，兩兩端端的的被被積積函函證證 而而)(tfdtd )()(ttf )()(ttf dtttf)()( )(tf )()(

2、ff )()(afbf 的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)，且且是是)()()(ttftf badxxf)( dtttf)()()()()( )()()()( afbfdxxfxfxfxfxfba 故故的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)，即即是是設(shè)設(shè)3 )0( 1 022 adxxaa計(jì)算計(jì)算例例4在應(yīng)用換元公式計(jì)算定積分時(shí)在應(yīng)用換元公式計(jì)算定積分時(shí), 應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題:條條件件；必必須須滿滿足足定定理理中中的的兩兩個(gè)個(gè)所所選選擇擇的的代代換換式式)()1(tx ；限限上上限限換換上上限限，下下限限換換下下記記住住換換元元積積分分的的關(guān)關(guān)鍵鍵是是換換限限 )2(.)( )( )()()()()

3、3(然然后后相相減減即即可可上上、下下限限代代入入的的的的函函數(shù)數(shù)，而而只只須須直直接接將將還還原原成成求求不不定定積積分分那那樣樣把把后后，不不必必象象的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)求求出出ttxttftttf 5:使用使用換元公式也可以反過(guò)來(lái)?yè)Q元公式也可以反過(guò)來(lái) babaxdxfdxxxf)()()( )( )(),( )()(badttfxt 6 edxxx1ln2 2計(jì)算計(jì)算例例7可這樣解：可這樣解：出新變量，如上例也出新變量，如上例也此種方法可以不明顯寫(xiě)此種方法可以不明顯寫(xiě)不不變變更更。，定定積積分分的的上上、下下限限就就注注：當(dāng)當(dāng)不不引引入入新新變變量量時(shí)時(shí)25)49(21)ln2(21

4、)ln2()ln2(ln2 1211 eeexxdxdxxx解解8 053.sinsin 3dxxx計(jì)算計(jì)算例例9 aaaaadxxfaaxfdxxfdxxfaaxf0)( ,)(2)(2)( ,)(1 40上連續(xù)且為奇函數(shù)，則上連續(xù)且為奇函數(shù)，則在在）若）若（上連續(xù)且為偶函數(shù)，則上連續(xù)且為偶函數(shù)，則在在）若）若（證明證明例例注注 利用此結(jié)論可簡(jiǎn)化奇函數(shù)及偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的利用此結(jié)論可簡(jiǎn)化奇函數(shù)及偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的 定積分的計(jì)算定積分的計(jì)算.10例例5dxxxxdxxxxx 1122222427)11()2( 52cos)(arctan)1(計(jì)計(jì)算算解解：)1(. 0 原原式式被被積積函函

5、數(shù)數(shù)為為奇奇函函數(shù)數(shù)，則則)2( 1122)11(dxxxx 11211211dxxdxxx奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù) 10212dxx四分之一單位圓的面積四分之一單位圓的面積2 11,)(sin2)(sin 2; .)(cos)(sin 1,0,1)( 6002020 dxxfdxxxfdxxfdxxfxf）（）（證明證明上連續(xù)上連續(xù)在在若若例例.cos1sin02 dxxxx并由此計(jì)算并由此計(jì)算12定積分的換元法小結(jié)定積分的換元法小結(jié)1. 基本換元規(guī)律與不定積分相同基本換元規(guī)律與不定積分相同.2. 定積分的換元法得到新變量的原函數(shù)后定積分的換元法得到新變量的原函數(shù)后,無(wú)須回代無(wú)須回代. 但必

6、須做到但必須做到換元同時(shí)換限換元同時(shí)換限.13二二 定積分的分部積分法定積分的分部積分法)( ,)(),(uvvuuvbaxvxu 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有在區(qū)間在區(qū)間設(shè)設(shè) bababadxuvvdxudxuv)( 于是于是 bababadxuvvdxuuv 即即 bababavduuvudv 所以所以或或 bababavdxuuvdxuv 分部積分公式分部積分公式這個(gè)公式就是定積分的這個(gè)公式就是定積分的14注注 用分部積分法計(jì)算定積分用分部積分法計(jì)算定積分, ,因沒(méi)有引入新的變量因沒(méi)有引入新的變量, , 故在計(jì)算過(guò)程中自始至終均不變限故在計(jì)算過(guò)程中自始至終均不變限, ,u 、

7、v的選擇的選擇 與不定積分的分部積分法相同與不定積分的分部積分法相同. .15 210arcsin 1xdx計(jì)算計(jì)算例例dxdvxdxduxvx u ,1,arcsin 2解解22102102101arcsinarcsinxdxxxxxdx 21022121621xdx )1()1(21122210212xdx 210212)1(12x 12312 16 10 2dxex計(jì)算計(jì)算例例，時(shí)，時(shí)，；當(dāng)；當(dāng)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)，且，且，則，則令令解解11002 txtxtdtdxtx于是 10101022ttxtdedttedxe 1010)(2dtetett2 210 tee換元法換元法分部積分法分部積分法17例例3 3 2010sin)2( arctan)1( xdxexdxxx計(jì)計(jì)算算解解：)1( 10arctan xdxx 102arctan21xdxarctan)arctan(21102102 xdxxx14211022dxxx 1121810210 dxxdx 10arctan21218x 214 18)2( 20sin xdxex 20cos xdex 2200coscos xdxexexx 20sin1 xdexsin)sin( 12200 xdxexexx 202sin1 xdxeex故故 20sin xdxex)1(212 e19例例4 4.)(11