復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)

1、數(shù)學(xué)物理方法 第一章1五、復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)( (一一) )復(fù)變函數(shù)的極限復(fù)變函數(shù)的極限1.定義定義 是以任意方式( )wf z0z0設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在在 點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，若對(duì)于任意給定的若對(duì)于任意給定的 ，總存在有，總存在有 ，使得當(dāng)使得當(dāng) 時(shí)，就時(shí)，就有有 ，則稱則稱 當(dāng)當(dāng) 時(shí)以時(shí)以 為極限為極限, ,并并記為：記為：( )f z00( )limzzf zw00 |zz00|( )|f zw0zz 0w數(shù)學(xué)物理方法 第一章22.2.性質(zhì)性質(zhì)數(shù)學(xué)物理方法 第一章3( (二二) )復(fù)變函數(shù)的連續(xù)復(fù)變函數(shù)的連續(xù)1. 1. 函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義 設(shè)設(shè) 在

2、在 點(diǎn)及其鄰域內(nèi)有定義，并點(diǎn)及其鄰域內(nèi)有定義，并且當(dāng)且當(dāng) 時(shí)，有：時(shí)，有： 則稱函數(shù)則稱函數(shù) 在在 點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù)( )wf z0z0zz ( )f z0z連續(xù)函數(shù)：連續(xù)函數(shù)：在區(qū)域在區(qū)域b b內(nèi)各點(diǎn)均連續(xù)的函數(shù)稱為在區(qū)域內(nèi)內(nèi)各點(diǎn)均連續(xù)的函數(shù)稱為在區(qū)域內(nèi)b b的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù)注意：連續(xù)的定義比實(shí)變函數(shù)要求更嚴(yán)格( )wf z0z0zz00( )()limzzf zf z( )wf z0z數(shù)學(xué)物理方法 第一章4思考：1( )zf ze在原點(diǎn)極限？，是否連續(xù)?數(shù)學(xué)物理方法 第一章51.3 1.3 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)一、導(dǎo)數(shù)一、導(dǎo)數(shù)1.1.導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 是在區(qū)域是在區(qū)域b b中定義的單

3、中定義的單值函數(shù)，對(duì)值函數(shù)，對(duì)b b內(nèi)某一點(diǎn)內(nèi)某一點(diǎn) ，若極限，若極限 存在，并且與存在，并且與 的方式無關(guān)，則稱的方式無關(guān)，則稱 在在 可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限值為可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限值為 在在 點(diǎn)的導(dǎo)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，記作：數(shù)，記作：00()( )limlimzzwf zzf zzz0z z( )wf z( )wf z( )f zzzz( )wf z數(shù)學(xué)物理方法 第一章6( ),( )nf zzfz求例例1 1：設(shè)：設(shè)12100()(1)( )limlim()2nnnnnzzzzzn nfznzzzzz解:( )f zz 在復(fù)平面上均不可導(dǎo)例2：試證明00000000ilimlim1; limlim1;i

4、xxxxyyyyzyzxzyzx 0()( )limzzzzzfzzz證明證明：而所以，該函數(shù)在復(fù)平面上不可導(dǎo)所以，該函數(shù)在復(fù)平面上不可導(dǎo)數(shù)學(xué)物理方法 第一章7( )dwfz dz( )dffz dz2.2.微分的定義微分的定義( ),( )dwfzfzdz導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的微分與自變量的微分之商微分微分: : （ 或者或者 ） 稱之為函數(shù)的微分稱之為函數(shù)的微分3.3.導(dǎo)數(shù)和微分的法則和公式導(dǎo)數(shù)和微分的法則和公式實(shí)變函數(shù)與復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)和微分的定義形式相同，因此實(shí)變函數(shù)所實(shí)變函數(shù)與復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)和微分的定義形式相同，因此實(shí)變函數(shù)所有的導(dǎo)數(shù)和微分的公式法則可推廣到復(fù)變函數(shù)有的導(dǎo)數(shù)和微分的公式法則可推廣到

5、復(fù)變函數(shù)數(shù)學(xué)物理方法 第一章8( )1/( )df zdzdzdf z1,nndznzdzzzdeedzsincos ,dzzdzcossindzzdz ln1dzdzz常用公式：常用公式：數(shù)學(xué)物理方法 第一章9二、柯西黎曼條件（c-r條件） 要解決的問題：給定一函數(shù)給定一函數(shù)如何判斷如何判斷 在點(diǎn)在點(diǎn) 是否可導(dǎo)？是否可導(dǎo)？ ,uuvvxyxy,uvuvxyyx ( )( , )( , )wf zu x yiv x y( )f zz在點(diǎn)在點(diǎn) 可導(dǎo)的必要條件是可導(dǎo)的必要條件是 存在，且滿足存在，且滿足c-c-r r條件：條件：,uuvvxyxy,uvuvxyyx z導(dǎo)數(shù)存在的必要條件：導(dǎo)數(shù)存在的

6、必要條件：數(shù)學(xué)物理方法 第一章10證明：由導(dǎo)數(shù)的定義知，證明：由導(dǎo)數(shù)的定義知， 以任何方式趨于零時(shí)，極限以任何方式趨于零時(shí)，極限存在，且有相同的極限值，即存在，且有相同的極限值，即 與與 的方式無關(guān)，的方式無關(guān)，使我們可討論沿使我們可討論沿x軸和軸和y軸趨于零的情形軸趨于零的情形00()( )limlimzzwf zzf zzzz0z ( )fz設(shè)設(shè)izxy (,)(,)i ( , )( , )iu xx yyv xx yyu x yv x y()( )wf zzf z數(shù)學(xué)物理方法 第一章11(, )(, )i( , )( , )i( )iu xx yv xx yu x yv x yfzxuv

7、xxz2. 沿平行于沿平行于y軸的方向趨于零軸的方向趨于零， 0,yzx 1. 沿平行于沿平行于x軸的方向趨于零軸的方向趨于零， z( , +)( , +)i( , )( , )i( )iiu x yyv x yyu x yv x yfzyvuyy0,ixzy 數(shù)學(xué)物理方法 第一章12因?yàn)樵谝驗(yàn)樵?可導(dǎo)，因此可導(dǎo)，因此,uvvuxyxy iiuvvuxxyy( , )x y所以：所以：柯西柯西-黎曼條件黎曼條件(c-r條件條件)說明：說明：a: c-r條件的有限性條件的有限性 b:可導(dǎo)函數(shù)的虛部與實(shí)部不是獨(dú)立的，而是相互可導(dǎo)函數(shù)的虛部與實(shí)部不是獨(dú)立的，而是相互 緊密聯(lián)系的緊密聯(lián)系的。數(shù)學(xué)物理方

8、法 第一章13三、導(dǎo)數(shù)存在的充分必要條件 在在b b內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)z z可導(dǎo)的充要條件是：可導(dǎo)的充要條件是：函數(shù)函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 存在且連續(xù)，并且存在且連續(xù)，并且滿足滿足c-rc-r條件。條件。( )f z,uuvvxyxy證明（板書）：( )f z( )f z數(shù)學(xué)物理方法 第一章14作業(yè)：試推導(dǎo)極坐標(biāo)系中的c-r條件數(shù)學(xué)物理方法 第一章15數(shù)學(xué)物理方法 第一章162.2.區(qū)域解析區(qū)域解析 若函數(shù)在區(qū)域若函數(shù)在區(qū)域b內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱f(z)在在 區(qū)域區(qū)域b內(nèi)解析內(nèi)解析；3.若函數(shù)在點(diǎn)若函數(shù)在點(diǎn)a不解析不解析,則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)a是是f(z)的的奇點(diǎn)奇點(diǎn)。1.點(diǎn)解析點(diǎn)解析 解析；0z數(shù)

9、學(xué)物理方法 第一章17數(shù)學(xué)物理方法 第一章18數(shù)學(xué)物理方法 第一章19數(shù)學(xué)物理方法 第一章20二、函數(shù)解析的充要條件二、函數(shù)解析的充要條件函數(shù)函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域b( )f zz（或者點(diǎn)（或者點(diǎn) ）解析的充要條件）解析的充要條件zb說明：1.由解析函數(shù)的定義可見解析函數(shù)是從普遍的復(fù)變函數(shù)中加上很強(qiáng)的條件后選出來的一類特殊的復(fù)變函數(shù)(這一類函數(shù)在物理學(xué)中有廣泛的應(yīng)用)2.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部通過c-r條件互相聯(lián)系，并不獨(dú)立數(shù)學(xué)物理方法 第一章21三、解析函數(shù)的性質(zhì)三、解析函數(shù)的性質(zhì)1.1.正交性正交性( )若函數(shù)( )f xuivb在區(qū)域 上解析，則其實(shí)部和虛部梯度正交,uuvvuijvijxyx

10、y 12( , ), ( , )u x yc v x ycb或者是區(qū)域 上的兩組正交曲線證明： 梯度梯度uuuvvu vuvuvijijxyxyxxyy 則(） （）由c-r條件uv 0,uvvvxyxy 則0u vuvxxyy 所以u(píng)v 0數(shù)學(xué)物理方法 第一章221.調(diào)和性若函數(shù)0,0uv22（）( )f zuivb在區(qū)域 上解析，則其實(shí)部和虛部都是調(diào)和函數(shù)數(shù)學(xué)物理方法 第一章23b數(shù)學(xué)物理方法 第一章24四、解析函數(shù)的求解四、解析函數(shù)的求解由解析函數(shù)的充要條件可知，解析函數(shù)的實(shí)部和虛部通過由解析函數(shù)的充要條件可知，解析函數(shù)的實(shí)部和虛部通過c-rc-r條件聯(lián)系，因此如果知道解析函數(shù)的實(shí)部或虛

11、部，則條件聯(lián)系，因此如果知道解析函數(shù)的實(shí)部或虛部，則可求解該解析函數(shù)。下面以虛部已知證明?？汕蠼庠摻馕龊瘮?shù)。下面以虛部已知證明。函數(shù)解析，則u,v可微并滿足c-r條件1.1.證明證明：數(shù)學(xué)物理方法 第一章251.1.曲線積分法曲線積分法 全微分的積分與路徑無關(guān)，故可以選取全微分的積分與路徑無關(guān)，故可以選取特特殊積分路徑殊積分路徑，使積分容易算出，使積分容易算出2. 湊全微分顯示法湊全微分顯示法 把把dudu的等式右邊湊成全微分顯示的等式右邊湊成全微分顯示3. 不定積分法不定積分法 2.2.方法方法數(shù)學(xué)物理方法 第一章26例例1 1 已知解析函數(shù)的實(shí)部已知解析函數(shù)的實(shí)部 ，求虛部和這個(gè)解，求虛部

12、和這個(gè)解析函數(shù)析函數(shù)22( , )u x yxy2,2vuvuyxxyyx ( , )(0,0)( ,0)( , )(0,0)( ,0)( , )( ,0)2222222222x yxx yxx yxydxxdyydxxdycydxxdyydxxdycxdyxyc 解：v方法一：方法一：22dvydxxdy所以（c為常數(shù)）（c為常數(shù)）（c為常數(shù)為常數(shù)）222( )(2)f zxyixyczic數(shù)學(xué)物理方法 第一章27方法二方法二：解：2,2vuvuyxxyyx 所以2vxyc22(2)dvydxxdydxy222( )(2)f zxyixyczic數(shù)學(xué)物理方法 第一章28方法三：方法三：2,2

13、vuvuyxxyyx 將上面第二式對(duì)y積分，x視作參數(shù)，有2vxyx （ ）其中其中 為為x x的任意函數(shù)，將上式兩邊再對(duì)的任意函數(shù)，將上式兩邊再對(duì)x x求導(dǎo)求導(dǎo)x（ ）2( )vyxx由c-r條件得： ,( )0 x( )xc（常數(shù)）2vxyc所以222211( )(2)()()f zxyixycxyicizc c復(fù)常數(shù)數(shù)學(xué)物理方法 第一章29例222( , )v x yxxy 2.已知解析函數(shù)的虛部 ，求實(shí)部和這個(gè)解析函數(shù)( )2cos( )2sin( )22( )0,( )uududduuduc 方法三提示：數(shù)學(xué)物理方法 第一章30場(chǎng)在物理上和工程技術(shù)上得到廣泛應(yīng)用。當(dāng)所研究的場(chǎng)在物理上

14、和工程技術(shù)上得到廣泛應(yīng)用。當(dāng)所研究的場(chǎng)在空間某方向上是均勻的，則只需要在垂直于該方場(chǎng)在空間某方向上是均勻的，則只需要在垂直于該方向的平面上研究它，這樣的場(chǎng)便稱為平面場(chǎng)。本節(jié)對(duì)向的平面上研究它，這樣的場(chǎng)便稱為平面場(chǎng)。本節(jié)對(duì)解析函數(shù)在平面場(chǎng)研究中的應(yīng)用作一簡(jiǎn)單介紹。解析函數(shù)在平面場(chǎng)研究中的應(yīng)用作一簡(jiǎn)單介紹。解析函數(shù)，實(shí)、虛部是共軛調(diào)和函數(shù)，曲線族解析函數(shù)，實(shí)、虛部是共軛調(diào)和函數(shù)，曲線族u=u=常數(shù)常數(shù)與與v v常數(shù)是正交曲線族。常數(shù)是正交曲線族。1.5 平面標(biāo)量場(chǎng)平面標(biāo)量場(chǎng)1. 平面靜電場(chǎng)平面靜電場(chǎng)在無電荷區(qū)，靜電場(chǎng)電勢(shì)滿足拉普拉斯方程，電場(chǎng)所在無電荷區(qū)，靜電場(chǎng)電勢(shì)滿足拉普拉斯方程，電場(chǎng)所在區(qū)域上

15、的某一解析函數(shù)的實(shí)部（或虛部）就可以用在區(qū)域上的某一解析函數(shù)的實(shí)部（或虛部）就可以用來表示該區(qū)域上的靜電場(chǎng)的電勢(shì)。這個(gè)解析函數(shù)稱為來表示該區(qū)域上的靜電場(chǎng)的電勢(shì)。這個(gè)解析函數(shù)稱為平面靜電場(chǎng)的復(fù)勢(shì)。其實(shí)部或虛部就是電勢(shì)。平面靜電場(chǎng)的復(fù)勢(shì)。其實(shí)部或虛部就是電勢(shì)。為敘述方便，這里說為敘述方便，這里說u u是電勢(shì)。是電勢(shì)。u=u=常數(shù)，是等勢(shì)線族。常數(shù)，是等勢(shì)線族。曲線族曲線族v(x,yv(x,y)=)=常量，垂直于等勢(shì)線族，因而常量，垂直于等勢(shì)線族，因而v=v=常量，常量，是電場(chǎng)線族。是電場(chǎng)線族。數(shù)學(xué)物理方法 第一章31例例1. 1. 已知平面電場(chǎng)的電勢(shì)為已知平面電場(chǎng)的電勢(shì)為u=xu=x2 2y y2 2，求電場(chǎng)線方程，求電場(chǎng)線方程分析：等勢(shì)面與電力線相互正交，對(duì)應(yīng)的函數(shù)組成一個(gè)解析函數(shù)的實(shí)部與虛部，滿足c-r條件解：設(shè)電場(chǎng)線方程為：v(x,y)=c2 ,222(2)2vuvuyxxyyxvvdvdxdyydxxdydxyxyvxyc 電場(chǎng)