第4講空間直線及其方程

1、一一. 直線的方向向量直線的方向向量第四節(jié)第四節(jié) 空間直線及其方程空間直線及其方程二二. 空間直線的方程空間直線的方程三三. 與直線有關(guān)的幾個(gè)問題與直線有關(guān)的幾個(gè)問題四四. 平面束方程平面束方程一一. 直線的方向向量直線的方向向量lss , 平行的任一非零向量與已知直線 l , 記為量均稱為該直線的方向向 ) , ,(。pnms ) , , (不全為零pnm , , 的方向向量。也是則的方向向量是直線若lsrls ,/ / , 1 1 的方向向量。也是則的方向向量是直線若lsllls直線的方向數(shù)直線的方向數(shù) ) , ,( 的坐標(biāo)的任何一個(gè)方向向量直線pnmsl , ,的一組方向數(shù)。稱為直線 l

2、pnm , 。它們相互間成比例關(guān)系有無窮多組方向數(shù)直線 l直線的方向余弦直線的方向余弦 ) , ,( pnmsl的任何一個(gè)方向向量直線 ,的方向余弦。稱為直線的方向余弦l cos222pnmm cos222pnmn cos222pnmp 直線的方向余弦也可作 為它的一組方向數(shù)。 )cos ,cos ,(cos。s 或 )cos ,cos ,cos(。s二二. 空間直線的方程空間直線的方程1.直線的一般方程2. 直線的兩點(diǎn)式方程3. 直線的參數(shù)方程4. 直線的標(biāo)準(zhǔn)方程)(一般方程1. 直線的一般方程 )( , 3的兩張平面的交線或重合任何不相互平行空間中r 為一條直線。 , 0 :1111 1d

3、zcybxa , 0 :22222dzcybxa ,21的所確定的直線和則由例其中相應(yīng)的系數(shù)不成比l方程為 : 21和設(shè)有平面 直線相交的兩平面確定一條 , 01111 dzcybxa 02222。dzcybxa1n2n 21nns例 ) ( 。軸的交線與坐標(biāo)面表示坐標(biāo)面xxzxyoxyz0z 0y , 0z 0。y :l l , , jsks kjs 。il2. 直線的標(biāo)準(zhǔn)方程 ),( ) , ,( 0000zyxmpnms和點(diǎn)已知一非零向量 0的方程。為方向向量的直線且以求過點(diǎn)lsm0mms ),( zyxml上任取一點(diǎn)在，故也在直線上而 0m ,/ /0smm 從而 .000pzznyy

4、mxx直線的方向向量：與直線平行的非零向量)(標(biāo)準(zhǔn)方程直線的標(biāo)準(zhǔn)方程（對稱式方程） ),( 0000方向向量過點(diǎn)zyxml0m),(zyxms ) , ,(的方程為的直線 lpnms 000。pzznyymxx0, 0, 0 ) 1 (pnm00 xxpzznyy000, 0 )2(pnm00 xx00 yy)(標(biāo)準(zhǔn)方程 000。pzznyymxx)(參數(shù)式3. 直線的參數(shù)式方程 ),( 0000方向向量過點(diǎn)zyxml0m),(zyxms ) , ,(的方程為的直線 lpnms , 0tmxx , 0tnyy , 0tpzz) (rt , 0tmxx , 0tnyy , 0tpzz 000tp

5、zznyymxx)(兩點(diǎn)式4. 直線的兩點(diǎn)式方程 兩點(diǎn)確定一條直線為直線的方向向量。則和點(diǎn)若直線過點(diǎn) ) , ,( , ),( ),( 1212122122221111zzyyxxmmzyxmzyxm , 得到該直線的方程為由直線的標(biāo)準(zhǔn)方程 121121121。zzzzyyyyxxxx)(一般方程 , 01111 dzcybxa 02222。dzcybxa)(標(biāo)準(zhǔn)方程 000。pzznyymxx)(兩點(diǎn)式 121121121。zzzzyyyyxxxx)(參數(shù)式 , 0tmxx , 0tnyy , 0tpzz ) (rt例解解 , ) 1 , 0 , 0( jiml且平行于向量過點(diǎn)直線 )( 。

6、對稱方程的標(biāo)準(zhǔn)方程求直線 l , , / 可取方向向量所以因?yàn)閖il )0 , 1 , 1 (。jis , ) 1 , 0 , 0( 的標(biāo)準(zhǔn)方程為故直線又直線過點(diǎn)lm 011 1 。zyx 01 。或者寫為zyx 求通過點(diǎn) a(2, 3, 4)與 b(4, 1, 3)的直線方程.所以, 直線的對稱式方程為142322zyx直線的方向向量可取 ab = (2, 2, 1)解解:例例 , 032 : )2, 0 , 1 ( 垂直且與平面過點(diǎn)直線zyxml , , 一般方程。參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)方程求直線 l解解 )3 , 1 , 2( , 。故可取因?yàn)閚sl , )2 , 0 , 1 ( 的故直線又直線

7、過點(diǎn)lm :標(biāo)準(zhǔn)方程 32121。zyx :參數(shù)方程 , 21tx , ty , 32tz 。rt :一般方程 ,121yx。321zy 即 , 012yx , 023 zy 對稱方程例解解 : l求直線 0532zyx 0223zyx 的標(biāo)準(zhǔn)方程。 )2 , 1 , 3 ( , ) 1 , 3 , 2 ( 21。為兩個(gè)平面的法向量分別nn , , : , 21nsnssl滿足其方向向量為兩平面的交線直線 故取 ). 11 , 7 , 5( 213132 21kjinns , 0 , 得到方程組不妨令上的一點(diǎn)為求直線zl , 532 yx , 23 yx , 1 , 1yx )0 , 1 ,

8、1 ( 。過點(diǎn)ml例解解 : l求直線 0532zyx 0223zyx 的標(biāo)準(zhǔn)方程。 )2 , 1 , 3 ( , ) 1 , 3 , 2 ( 21。為兩個(gè)平面的法向量分別nn , , : , 21nsnssl滿足其方向向量為兩平面的交線直線 故取 ), 11 , 7 , 5( 213132 21kjinns , 0 , 得到方程組不妨令上的一點(diǎn)為求直線zl , 532 yx , 23 yx , 1 , 1yx )0 , 1 , 1 ( 。過點(diǎn)ml 的標(biāo)準(zhǔn)方程為l 117151。zyx三三. 與直線有關(guān)的幾個(gè)問題與直線有關(guān)的幾個(gè)問題 . 1 兩直線間的夾角 . 2 直線與平面間的夾角 . 3

9、直線共面的條件 . 5 點(diǎn)到直線的距離 . 4坐標(biāo)直線與平面相交的交點(diǎn) . 1 兩直線間的夾角義定 , 角。稱為這兩條直線間的夾夾角兩直線的方向向量間的 , , 2211則的方向向量為直線的方向向量為設(shè)直線slsl , , ,2121ssll | | ,cos212121。ssssll常指銳角.1222:13411:21的夾角和求直線zyxlzyxl 直線l1, l2的方向向量 有:222222) 1()2(21)4(1| ) 1(1)2()4(21 |4 所以:解解22例 | | ,cos212121。sssslls1=(1, 4, 1 ) s2=(2, 2, 1) 的條件兩直線相互平行和垂

10、直 設(shè)有直線 , :1111111pzznyymxxl , :2222222pzznyymxxl 則 0 / / / /212121ssssll 0 212121ssssll 0 212121。ppnnmm , 212121ppnnmm例解解 : ) 5 , 2 , 3( 1lm且與直線求過點(diǎn) 34 zx 152zyx 平行的 的方程。直線 l 11為的方向向量直線sl ) 1 , 3 , 4() 1, 3, 4( 512401 1。kjis ) 1 , 3 , 4( , , ,/ / 11。即取可取所以因?yàn)閟ssll 的方程為故所求直線 l 153243。zyx . 2 直線與平面間的夾角義

11、定 , 2 的角影直線間所夾的小于直線與它在平面上的投 角。稱為直線與平面間的夾l ; 2 , 則規(guī)定若 l 0 ,/ / 。則規(guī)定若llnllns , 在直線與平面的交點(diǎn)處 和直線的作平面的法向量 n , 記方向向量 s , , ns 2 , 。則ns , sin)2 ( cos , sin)2 ( cos 而 | ,cos| | cos| | )2 ( cos| sinns ) 20 ( , | |。nsns定理定理 1 ) ) , ,( ( : 000pnmspzznyymxxl設(shè)直線 ) , ,( ( 0 : 的交角與平面cbandczbyax , 則為 ) 20 ( , | |sin

12、。nsns例解解 2432 : zyxl求直線 062 : 的夾角。與平面zyx , , ) 1 , 1 , 2( , ) 2 , 1 , 1 ( 所以因?yàn)閚s , 211) 1(2211 | 12) 1(121 | |sin222222nsns 6 。的夾角與平面故直線l 的條件直線與平面平行和垂直 , ) ) , ,( ( : 000pnmspzznyymxxl設(shè)有直線 , ) ) , ,( ( 0 : 則平面cbandczbyax 0 / /nsnsl 0 / / nsnsl 0 。cpbnam , pcnbmalsnlsn判定下列各組直線與平面的關(guān)系. 3224:37423:)1(zy

13、xzyxl和l的方向向量 s =(2, 7, 3) 的法向量 n =(4, 2, 2)s n = (2) 4 + (7) (2) + 3 (2) = 0又m0(3, 4, 0)在直線 l上, 但不滿足平面方程,所以l與 平行, 但l不在 內(nèi).解解例81446:723:)2(zyxzyxl和l的方向向量 s =( 3, 2, 7 ) 的法向量 n =( 6, 4, 14 ) l 與 垂直.解解. 3:431232:)3(zyxzyxl和l的方向向量 s =( 3, 1, 4 ) 的法向量 n =( 1, 1, 1 )s n = 3 1 + 1 1 + (4) 1 = 0又l上的點(diǎn) m0(2, 2

14、, 3)滿足平面方程,所以 , l 在 內(nèi).解解1l2l1m2m1s2s . 3 直線共面的條件 , ) ) , ,( , ),( 111111111pnmszyxml方向向量為過點(diǎn)設(shè)直線 ) ) , ,( , ),( 222222222。方向向量為過點(diǎn)直線pnmszyxml , 21則引入向量mm , , 212121共面共面與mmssll 0)( 2121mmss 0 222111121212pnmpnmzzyyxx定理定理 2 ) ) , ,( , ),( 11111111的直線方向向量為過點(diǎn)pnmszyxm ) ) , ,( , ),( 222222221的直方向向量為與過點(diǎn)pnmsz

15、yxml 2共面的充要條件為線l 0 )(2221111212122121。pnmpnmzzyyxxmmss例解解 2131 : , )3 , 1 , 2( 10zyxlml且與直線過點(diǎn)設(shè)直線 , 的方程。求直線垂直相交l ) , ,( 。的方向向量為設(shè)直線pnmsl , , , 11故有共面與所以垂直相交與由于llll , 02 1230311) 1(2 pnmpnm 023 。及pnm , , , 滿足方程組從而pnm , 02pnm 023。pnm即可解令 1 p 41 , 21。nm , ,滿足方程組pnm , 02pnm 023。pnm , , , ) 1 , 2 , 3( , )

16、1 , 2 , 1 ( 故取則令bsasba )4 , 1 , 2( 2)8 , 2 , 4( 123121 。kjibas 的方程為直線 l 431122。zyx)3 , 1 , 2( 0ml過點(diǎn) . 4坐標(biāo)直線與平面相交的交點(diǎn) :交點(diǎn)坐標(biāo)的方法計(jì)算直線與平面相交的 . 1的參數(shù)方程寫出直線 l , 0 xtmx , 0ytny 0。ztpz . 2的方程中的方程代入平面將l 0) ()() (000。dztpcytnbxtma , 0 . 3時(shí)當(dāng)cpbnam 唯一一個(gè)交點(diǎn)。 / / , 0 , 0 000且無交點(diǎn)。時(shí)當(dāng)ldczbyaxcpbnam , 0 , 0 000上。位于時(shí)當(dāng)ldcz

17、byaxcpbnam , 000cpbnamdczbyaxt例解解 534221 : )10 , 3 , 4( 21zyxlmm關(guān)于直線與點(diǎn)設(shè)點(diǎn) , 2的坐標(biāo)。求點(diǎn)對稱ml1m2mm , , 1mlm其交點(diǎn)為作平面過點(diǎn) 21的線段的中點(diǎn)。和為連接點(diǎn)且mmm , , 所以因?yàn)閘 )5 , 4 , 2(。 sn , )10 , 3 , 4( 1故它的方程為過點(diǎn)又平面m 070542。zyx 點(diǎn)的坐標(biāo)。程來求直線與平面的交我們利用直線的參數(shù)方 534221 : 的參數(shù)方程為直線zyxl , 1 2 tx , 2 4 ty 3 5。tz ) , ( , 上也在上交點(diǎn)既在得的方程中將它代入平面l , 0

18、70)3 5( 5)2 4( 4) 1 2( 2ttt , 從而 155442270352412。t 070542:zyx 的交點(diǎn)的坐標(biāo)為與平面故直線l , 3112x , 6214y , 8315z )8 , 6 , 3( 。即m , ) , ,( )10 , 3 , 4( )8 , 6 , 3( 22221故的中點(diǎn)與是由于點(diǎn)zyxmmm , 2108 , 236 , 243222zyx 6) 9, (2, , 2。所求點(diǎn)為從而m 交點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算方法。歸納直線與平面相交的 . 5 點(diǎn)到直線的距離mslm1 ) , ,( 的距離到直線空間中任意一點(diǎn)lzyxm1dmm定理定理 3 , ) , ,(

19、 , ),( 0000pnmszyxml方向向量通過點(diǎn)設(shè)直線 ) , ,( 的距離為到直線則空間中任意一點(diǎn)lzyxm |d0。ssmmls0mmd d底邊長平行四邊形的面積。 |0ssmm . 5 點(diǎn)到直線的距離例例解解 : ) 1 , 1 , 2( lm到直線求點(diǎn) 012zyx 032zyx d 。的距離 直線的方向向量 )4 , 2 , 0( 121121 。kjis , 0 得方程組令y , 1 zx , 3 zx )2 , 0 , 1( 0。上一點(diǎn)解之得ml。故 5464206)12()2(|d 2222220ssmm , )6 ,12 , 2( 420113 0kjismml12四四

20、. 平面束方程平面束方程 : l設(shè)直線 , 011111 dzcybxa 022222。dzcybxa 的平面將有無窮多個(gè)。則通過直線 lk 的方程？如何表示平面k) , 2 , 1 ( k : l設(shè)直線 , 011111 dzcybxa 022222。dzcybxa : l以下的平面均通過直線0)()(22221111 dzcybxadzcybxa0)( )(22221111 dzcybxadzcybxa ) (r0)()( 22221111 dzcybxadzcybxa。該式不含平面 2。該式不含平面 1義定 : l設(shè)直線 , 01111 dzcybxa , 02222dzcybxa 則稱)2( 0)( )(22221111 dzcybxadzcybxa )1( 0)()( 22221111 dzcybxadzcybxa 和 , , 。其中的平面束方程為過直線rl 0 )1( 1111 。不包含平面方程dzcybxa 0 )2( 2222 。不包含平面方程dzcybxa注意注意例例解解 : l求通過直線 0zyx 01zyx