18數(shù)列的極限

1、1 1.8 數(shù)列的極限數(shù)列的極限一、概念的引入一、概念的引入二、數(shù)列的概念二、數(shù)列的概念三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限四、數(shù)列極限的性質(zhì)四、數(shù)列極限的性質(zhì)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)2“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：播放播放劉徽劉徽一、概念的引入經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)3r正六邊形的面積正六邊形的面積1a正十二邊形的面積正十二邊形的面積2a正正 形的面積形的面積126 nna,321naaaas經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)42 2、截丈問(wèn)題：、截丈問(wèn)題：“一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭”;211

2、x第一天截下的杖長(zhǎng)為第一天截下的杖長(zhǎng)為;212122 x為為第二天截下的杖長(zhǎng)總和第二天截下的杖長(zhǎng)總和;2121212nnxn 天截下的杖長(zhǎng)總和為天截下的杖長(zhǎng)總和為第第nnx211 1經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)5二、數(shù)列的概念例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)6注意：注意： 1.數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)).(nfxn ;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn

3、 ,333,33, 3 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)72、有界數(shù)列、有界數(shù)列 對(duì)數(shù)列對(duì)數(shù)列 ，如果存在兩個(gè)實(shí)數(shù)，如果存在兩個(gè)實(shí)數(shù) ，使得，使得 則稱(chēng)則稱(chēng) 為為有界數(shù)列有界數(shù)列。其中其中 分別為數(shù)列分別為數(shù)列 的一個(gè)下界與一個(gè)上界。的一個(gè)下界與一個(gè)上界。否則稱(chēng)否則稱(chēng) 為為無(wú)界數(shù)列無(wú)界數(shù)列。(unbounded sequence of numbers）例如，例如， 有界有界 無(wú)界無(wú)界nymm,.2 , 1,nmymnnymm,nyny1nn2n（bounded sequence of numbers）經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)83、單調(diào)數(shù)列、單調(diào)數(shù)列(monotone sequence of numbers)如果如果 ，稱(chēng)，稱(chēng) 為單調(diào)

4、增加數(shù)列；為單調(diào)增加數(shù)列；,.3 , 2 , 1,1nyynnny如果如果 ，稱(chēng)，稱(chēng) 為單調(diào)減少數(shù)列。為單調(diào)減少數(shù)列。,.3 , 2 , 1,1nyynnny單調(diào)增加數(shù)列和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱(chēng)為單調(diào)數(shù)列。單調(diào)增加數(shù)列和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱(chēng)為單調(diào)數(shù)列。例如，1n1nn單調(diào)減單調(diào)減單調(diào)增單調(diào)增經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)94、子（數(shù)）列、子（數(shù)）列(subsequence of numbers) 的子數(shù)列（或子列）的子數(shù)列（或子列）的一個(gè)數(shù)列稱(chēng)為原數(shù)列的一個(gè)數(shù)列稱(chēng)為原數(shù)列到到中的先后次序，這樣得中的先后次序，這樣得這些項(xiàng)在原數(shù)列這些項(xiàng)在原數(shù)列保持保持中任意抽取無(wú)限多項(xiàng)并中任意抽取無(wú)限多項(xiàng)并定義：在數(shù)列定義：在數(shù)列nnnxxx

5、,21nixxxx,21knnnxxx . knnxxkxxkknnnnkkk項(xiàng)，顯然，中卻是第在原數(shù)列而項(xiàng)，是第中，一般項(xiàng)在子數(shù)列注意：注意：例如，例如，經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)10.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn播放播放三、數(shù)列的極限(limit)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)11問(wèn)題問(wèn)題: 當(dāng)當(dāng) 無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí), 是否無(wú)限接近于某一是否無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值確定的數(shù)值?如果是如果是,如何確定如何確定?nxn. 1)1(1,1無(wú)限接近于無(wú)限接近于無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)當(dāng)當(dāng)nxnnn 問(wèn)題問(wèn)題: “無(wú)限接近無(wú)限接近”意味著什么意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它刻劃它. 1nxnn

6、n11)1(1 通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)12,1001給定給定,10011 n由由,100時(shí)時(shí)只要只要 n,10011 nx有有,10001給定給定,1000時(shí)時(shí)只要只要 n,1000011 nx有有,100001給定給定,10000時(shí)時(shí)只要只要 n,100011 nx有有, 0 給定給定,)1(時(shí)時(shí)只要只要 nn.1成立成立有有 nx經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)13如果數(shù)列沒(méi)有極限如果數(shù)列沒(méi)有極限,就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散（divergent）的的.注意：注意：;. 1的無(wú)限接近的無(wú)限接近與與刻劃了刻劃了不等式不等式axaxnn . 2有關(guān)有關(guān)與任意給定的正數(shù)與任意給定的正數(shù)

7、n經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)14x1x2x2 nx1 nx3x幾何解釋幾何解釋: 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外個(gè)個(gè)至多只有至多只有只有有限個(gè)只有有限個(gè)內(nèi)內(nèi)都落在都落在所有的點(diǎn)所有的點(diǎn)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)naaxnnn :定義定義n 其中其中;:每一個(gè)或任給的每一個(gè)或任給的 .:至少有一個(gè)或存在至少有一個(gè)或存在 ., 0, 0lim axnnnaxnnn恒有恒有時(shí)時(shí)使使經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)15數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例例1. 1)1(lim1 nnnn證明證明證證1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任給任給,1 nx要要,1 n只要只要,1 n或或所以所以,1 n取取,時(shí)時(shí)則

8、當(dāng)則當(dāng)nn 1)1(1nnn就有就有. 1)1(lim1 nnnn即即注意：注意：經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)16例例2.lim),(cxccxnnn 證明證明為常數(shù)為常數(shù)設(shè)設(shè)證證cxn cc ,成立成立 ,0 任給任給所以所以,0 ,n對(duì)于一切自然數(shù)對(duì)于一切自然數(shù).limcxnn 結(jié)論結(jié)論:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù)常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).注注:用定義證數(shù)列極限存在時(shí)用定義證數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是任意給關(guān)鍵是任意給定定 尋找尋找n,但不必要求最小的但不必要求最小的n., 0 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)17例例3. 1, 0lim qqnn其中其中證明證明證證, 0 任給任給,0 nnqx,lnln qn,lnlnqn 取取,時(shí)時(shí)

9、則當(dāng)則當(dāng)nn ,0 nq就有就有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq則則, 10 q若若,lnlnqn 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)18例例4.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求證求證且且設(shè)設(shè)證證, 0 任給任給.limaxnn 故故,limaxnn ,1 axnnnn時(shí)恒有時(shí)恒有使得當(dāng)使得當(dāng)axaxaxnnn 從而有從而有aaxn a1 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)19定理定理（theorem) 1(1(有界性）收斂的數(shù)列必定有界有界性）收斂的數(shù)列必定有界. .證證,limaxnn 設(shè)設(shè)由定義由定義, 1 取取, 1, axnnnn時(shí)恒有時(shí)恒有使得當(dāng)使得當(dāng)則則. 11 axan即有即有,1

10、,1,max1 aaxxmn記記,mxnn 皆有皆有則對(duì)一切自然數(shù)則對(duì)一切自然數(shù) .有界有界故故nx四、數(shù)列極限的性質(zhì)四、數(shù)列極限的性質(zhì)注注:(1)有界性是數(shù)列收斂的必要而不充分條件有界性是數(shù)列收斂的必要而不充分條件. (2)(2)無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散. .經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)20例例5.)1(1是發(fā)散的是發(fā)散的證明數(shù)列證明數(shù)列 nnx證證,limaxnn 設(shè)設(shè)由定義由定義,21 對(duì)于對(duì)于,21,成立成立有有時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng)則則 axnnnn),21,21(, aaxnnn時(shí)時(shí)即當(dāng)即當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度為區(qū)間長(zhǎng)度為1.,1, 1兩個(gè)數(shù)兩個(gè)數(shù)無(wú)休止地反復(fù)取無(wú)休止地反復(fù)取而而 nx不可能同時(shí)位于不可能同時(shí)位

11、于長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為1的的區(qū)間內(nèi)區(qū)間內(nèi)., ,但卻發(fā)散但卻發(fā)散是有界的是有界的事實(shí)上事實(shí)上nx經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)21定理定理2 2（唯一性）每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限（唯一性）每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限. .證證,lim,limbxaxnnnn 又又設(shè)設(shè)由定義由定義,使得使得., 021nn ;1 axnnn時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng);2 bxnnn時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng) ,max21nnn 取取時(shí)有時(shí)有則當(dāng)則當(dāng)nn )()(axbxbann axbxnn .2 .時(shí)才能成立時(shí)才能成立上式僅當(dāng)上式僅當(dāng)ba 故收斂數(shù)列極限唯一故收斂數(shù)列極限唯一.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)22定理定理3 3（收斂數(shù)列的保號(hào)性）（收斂數(shù)列的保號(hào)性）若,limaxn

12、n且0a,nn則nn 當(dāng)時(shí), 有0nx, )0(. )0(證證: 對(duì) a 0 , 取,2a,nn則,時(shí)當(dāng)nn axn2anx02aaax2a2a推論推論（corollary):若數(shù)列從某項(xiàng)起0nx,limaxnn且0a則)0(. )0(用反證法證明)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)23定理定理4 4 收斂數(shù)列的任一子數(shù)列也收斂且極限相收斂數(shù)列的任一子數(shù)列也收斂且極限相同同證證 的任一子數(shù)列的任一子數(shù)列是數(shù)列是數(shù)列設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列nnxxk,limaxnn ., 0, 0 axnnnn恒有恒有時(shí)時(shí)使使,nk 取取,時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng)kk .nknnkk. axkn.limaxknk 證證畢畢經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)24注：1、如果數(shù)列有兩個(gè)子列

13、收斂于不同的極限，、如果數(shù)列有兩個(gè)子列收斂于不同的極限， 則該數(shù)列發(fā)散。則該數(shù)列發(fā)散。例如，1lim, 1lim) 1(,1-) 1(2122121nnnnnnnnxxx顯然），兩個(gè)子列（發(fā)散1) 1(nnx同時(shí)也說(shuō)明了一個(gè)發(fā)散的數(shù)列也可能有收斂的子列。同時(shí)也說(shuō)明了一個(gè)發(fā)散的數(shù)列也可能有收斂的子列。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)25部分收斂，反之不成立、整體收斂2子列，則該數(shù)列必發(fā)散、若數(shù)列有一個(gè)發(fā)散的3整體發(fā)散，反之不成立部分發(fā)散收斂。同一個(gè)極限，則該數(shù)列和偶次項(xiàng)子列都收斂于、若數(shù)列的奇次項(xiàng)子列4經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)26五、小結(jié)數(shù)列數(shù)列: :研究其變化規(guī)律研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限數(shù)列極限: :極限思想、精確定義、幾何意義極限

14、思想、精確定義、幾何意義;收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì): :有界性、唯一性、保號(hào)性、子數(shù)列的收斂性有界性、唯一性、保號(hào)性、子數(shù)列的收斂性.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)27一、一、 利用數(shù)列極限的定義證明利用數(shù)列極限的定義證明: : 1 1、231213lim nnn； 2 2、19.999. 0lim n二、二、 設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列nx有界，又有界，又0lim nny， 證明：證明：0lim nnnyx. .練練 習(xí)習(xí) 題題經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)281 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”劉徽劉徽一、概念的引入經(jīng)

15、濟(jì)數(shù)學(xué)291 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”劉徽劉徽一、概念的引入經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)30“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念的引入經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)31“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念的引入經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)32“

16、割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念的引入經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)33“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念的引入經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)34“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念的引入經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)35“割之彌細(xì)，所

17、割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念的引入經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)36“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念的引入經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)37.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)38.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)39.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)40.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)41.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)42.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)43.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nn