洛必達(dá)法則詳解【一元分析學(xué)經(jīng)典講義】

1、上頁下頁返回首頁結(jié)束洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則)(ruleshospitall型型未未定定式式解解法法型型及及一一、 00型型未未定定式式解解法法二二、00,1 ,0 ,0 洛必達(dá)法則型未定式解法型及一、)(00hospitall 定義定義.00)()(lim,)()(,型型未未定定式式或或稱稱為為那那末末極極限限大大都都趨趨于于零零或或都都趨趨于于無無窮窮與與兩兩個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)如如果果當(dāng)當(dāng) xfxfxfxfaxax例如例如,tanlim0 xxx,sinlnsinlnlim0 xxx )00()( 上頁返回下頁).()()(lim)()(lim);()()(lim)3(; 0)()()(,)2(

2、;)()(,)1(axfxfxfxfaxfxfxfxfxfaxfxfaxaxaxax 那末那末有限或無窮大有限或無窮大都存在且都存在且及及點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)在在或都趨于無窮大或都趨于無窮大都趨于零都趨于零及及函數(shù)函數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)定理定理定義定義 這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則. .,該法則仍然成立該法則仍然成立作相應(yīng)變動(dòng)，作相應(yīng)變動(dòng)，其它條件其它條件時(shí)時(shí)比如比如極限過程極限過程換為其它換為其它若若 xax上頁返回下頁證證定義輔助函數(shù)定義輔助函數(shù), 0)

3、,()(1 axaxxfxf, 0),()(1 axaxxfxf,),(0 xan內(nèi)內(nèi)任任取取一一點(diǎn)點(diǎn)在在 ,為端點(diǎn)的區(qū)間上為端點(diǎn)的區(qū)間上與與在以在以xa,)(),(11件件滿足柯西中值定理的條滿足柯西中值定理的條xfxf則有則有)()()()()()(1111afxfafxfxfxf )()(11 ff )(之間之間與與在在ax ,aax 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),)()(limaxfxfax ,)()(limaffa .)()(lim)()(limaffxfxfaax )()( ff .00情形情形僅證僅證上頁返回下頁例例1 1解解.tanlim0 xxx求求)()(tanlim0 xxx原式原式1sec

4、lim20 xx . 1 例例2 2解解.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原式原式266lim1 xxx.23 )00()00(上頁返回下頁例例3 3解解.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx . 1 例例4 4解解)0, 0(.sinlnsinlnlim0 babxaxx求求axbxbbxaxaxsincossincoslim0 原式原式. 1 )00()( axbxxcoscoslim0 上頁返回下頁例例5 5解解.3tantanlim2xxx 求求xxx3sec3seclim222 原式原式xxx222

5、cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 . 3 )( 法則可多次使用法則可多次使用上頁返回下頁注意：洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，注意：洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好. .比如比如等價(jià)替換、非等價(jià)替換、非0 0極限先求極限先求等等. .例例6 6解解.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原式原式xxxx6tansec2lim20 22031seclimxxx xxxtanl

6、im310 .31 上頁返回下頁例例解解.)11(tan)cos1(lim2220 xxxexx求22lim2240 xxxx 原式1lim0 x. 1 )00()1(xe因式例例.)21(21lim220 xexxexxx 求解解220221limxxexx 原式xexx21lim20 22lim20 xxe . 1 )00(上頁返回下頁型未定式解法型未定式解法二、二、00,1 ,0 ,0 例例7 7解解.lim2xxex 求求)0( 2limxexx 原式原式2limxxe . 關(guān)鍵關(guān)鍵: :將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類型的類型 .),00(

7、)( 型型 0. 1步驟步驟:,10 .0100 或或xexx2lim 上頁返回下頁例例8 8解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101 .0000 xxxxxsinsinlim0 原式原式型型 . 2步驟步驟:.lnlim0 xxx 求例例8 8解解10lnlim xxx原式210lim xxxxx0lim 0 )0( xxxxxxx2cos1limsinlim020 xxx22/lim20 . 04lim0 xx上頁返回下頁步驟步驟:型型00,1 ,0. 3 ln001ln0ln0010eee.0 例例9 9解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式

8、xxxelnlim0 2011limxxxe 0e . 1 xxxe1lnlim0 ln01ln0ln0上頁返回下頁例例1010解解.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例1111解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 ,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex )ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原式原式另解另解)1(11lim1 xxxe原式.1 e)1(limlim uvveu常用常用上頁返回下頁例例1

9、212解解.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 極限不存在極限不存在洛必達(dá)法則失效。洛必達(dá)法則失效。)cos11(limxxx 原式原式. 1 注意：注意：洛必達(dá)法則的使用條件洛必達(dá)法則的使用條件:例例1 13 3.coslim20 xxx求)( 212sinlim0 xxx錯(cuò)：錯(cuò)：原式原式(1) a存在（有限或無窮）；存在（有限或無窮）； (2) 未定型未定型lhospital法則法則不是萬能的！不是萬能的！,00. 上頁返回下頁三、小結(jié)洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取取對(duì)對(duì)

10、數(shù)數(shù)令令gfy 通分通分洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，可多次可多次使用使用，但，但不是萬能的不是萬能的. 它它與其它求極限方法結(jié)合使與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好用，效果更好. .比如比如等價(jià)替換、非等價(jià)替換、非0 0極限先求極限先求等等上頁返回下頁思考題思考題設(shè)設(shè))()(limxgxf是是不不定定型型極極限限，如如果果)()(xgxf 的的極極限限不不存存在在，是是否否)()(xgxf的的極極限限也也一一定定不不存存在在？舉舉例例說說明明.上頁返回下頁思考題解答思考題解答不一定不一定例例,sin)(xxxf xxg )(顯然顯然 )()(limx

11、gxfx1cos1limxx 極限不存在極限不存在但但 )()(limxgxfxxxxxsinlim 1 極限存在極限存在上頁返回下頁一、一、 填空題：填空題： 1 1、 洛必達(dá)法則除了可用于求“洛必達(dá)法則除了可用于求“00” ，及“” ，及“ ”兩種類”兩種類型的未定式的極限外，也可通過變換解決型的未定式的極限外，也可通過變換解決_，_，_，_，_，等型的未定式，等型的未定式的求極限的問題的求極限的問題. . 2 2、 xxx)1ln(lim0 =_.=_. 3 3、 xxx2tanln7tanlnlim0 =_.=_. 練練 習(xí)習(xí) 題題上頁返回下頁二、二、 用洛必達(dá)法則求下列極限：用洛必達(dá)法則求下列極限：1 1、22)2(sinlnlimxxx ； 2 2、xxxarctan)11ln(lim ；3 3、xxx2cotlim0； 4 4、)1112(lim21 xxx；5 5、xxxsin0lim ； 6 6、xxxtan0)1(lim ；7 7、xxx)arctan2(lim . .上頁返回下頁三、三、 討論函數(shù)討論函數(shù) 0,