人教版高中數(shù)學(xué)選修11課時跟蹤檢測十 雙曲線的簡單幾何性質(zhì) Word版含解析

1、起 課時跟蹤檢測（十） 雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 層級一層級一 學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo) 1下列雙曲線中離心率為下列雙曲線中離心率為62的是的是( ) ax22y241 bx24y221 cx24y261 dx24y2101 解析：解析：選選 b 由由 e62得得 e232，c2a232， 則則a2b2a232，b2a212，即，即 a22b2因此可知因此可知 b 正確正確 2中心在原點，實軸在中心在原點，實軸在 x 軸上，一個焦點在直線軸上，一個焦點在直線 3x4y120 上的等軸雙曲線方程上的等軸雙曲線方程是是( ) ax2y28 bx2y24 cy2x28 dy2x24 解析：解析：選選 a

2、 令令 y0 得，得，x4， 等軸雙曲線的一個焦點坐標(biāo)為等軸雙曲線的一個焦點坐標(biāo)為(4,0)， c4，a212c212 168，故選，故選 a 3雙曲線雙曲線x24y2k1 的離心率的離心率 e(1,2)，則，則 k 的取值范圍是的取值范圍是( ) a(10,0) b(12,0) c(3,0) d(60，12) 解析：解析：選選 b 由題意知由題意知 k0，a24，b2k e2a2b2a24k41k4 又又 e(1,2)，11k44，12k0，b0)，由題意知，由題意知 c3，a2b29， 設(shè)設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)則有則有 x21a2y21b21，x22a2y22b21， 兩式

3、作差得兩式作差得y1y2x1x2b2 x1x2 a2 y1y1 12b215a24b25a2， 又又 ab 的斜率是的斜率是1501231， 所以所以 4b25a2，代入，代入 a2b29 得得 a24，b25， 所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是x24y251 5(全國卷全國卷)已知已知 a，b 為雙曲線為雙曲線 e 的左，右頂點，點的左，右頂點，點 m 在在 e 上，上，abm 為等腰三為等腰三角形，且頂角為角形，且頂角為 120 ，則，則 e 的離心率為的離心率為( ) a 5 b2 c 3 d 2 解析：解析：選選 d 不妨取點不妨取點 m 在第一象限，如圖所示，設(shè)雙曲線在第一象

4、限，如圖所示，設(shè)雙曲線方程為方程為x2a2y2b21(a0，b0)，則，則|bm|ab|2a，mbx180120 60 ， m 點的坐標(biāo)為點的坐標(biāo)為()2a， 3a m 點在雙曲線上，點在雙曲線上，4a2a23a2b21，ab， c 2a，eca 2故選故選 d 6(全國卷全國卷)已知雙曲線過點已知雙曲線過點(4， 3)，且漸近線方程為，且漸近線方程為 y12x，則該雙曲線，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方的標(biāo)準(zhǔn)方程為程為_ 解析：解析：法一：法一：雙曲線的漸近線方程為雙曲線的漸近線方程為 y12x， 可設(shè)雙曲線的方程為可設(shè)雙曲線的方程為 x24y2(0) 雙曲線過點雙曲線過點(4， 3)，164( 3)2

5、4， 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24y21 法二：法二：漸近線漸近線 y12x 過點過點(4,2)，而，而 30，b0) 由已知條件可得由已知條件可得 ba12，16a23b21，解得解得 a24，b21， 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24y21 答案答案：x24y21 7過過雙曲線雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的左焦點且垂直于的左焦點且垂直于 x 軸的直線與雙曲線相交于軸的直線與雙曲線相交于 m，n兩點，以兩點，以 mn 為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點，則雙曲線的離心率為為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點，則雙曲線的離心率為_ 解析：解析：由題意知，由題意知，acb

6、2a， 即即 a2acc2a2，c2ac2a20，e2e20， 解得解得 e2 或或 e1(舍去舍去) 答案：答案：2 8雙曲線雙曲線x29y2161 的右頂點為的右頂點為 a，右焦點為，右焦點為 f，過點，過點 f 平行于雙曲線的一條漸近線平行于雙曲線的一條漸近線的的直線與雙曲線交于點直線與雙曲線交于點 b，則，則afb 的面積為的面積為_ 解析：解析：雙曲線雙曲線x29y2161 的右頂點的右頂點 a(3,0)，右焦點，右焦點 f(5,0)，漸近線方程為，漸近線方程為 y43x 不妨設(shè)直線不妨設(shè)直線 fb 的方程為的方程為 y43(x5)，代入雙曲線方程整理，得，代入雙曲線方程整理，得 x

7、2(x5)29，解得，解得x175，y3215， 所以所以 b 175，3215 所以所以 safb12|af|yb|12(ca) |yb|12(53)32153215 答案：答案：3215 9 (全國卷全國卷)已知已知 f是雙曲線是雙曲線 c： x2y281的右焦點，的右焦點， p是是 c的左支上一點，的左支上一點， a(0,6 6) 當(dāng) 當(dāng)apf 周長最小時，求該三角形的面積周長最小時，求該三角形的面積 解：解：設(shè)雙曲線的左焦點為設(shè)雙曲線的左焦點為 f1，由雙曲線方程，由雙曲線方程 x2y281 可知，可知，a1，c3，故，故 f(3，0)，f1(3,0) 當(dāng)點當(dāng)點 p 在雙曲線左支上運(yùn)動

8、時，由雙曲線定義知在雙曲線左支上運(yùn)動時，由雙曲線定義知|pf|pf1|2，所以，所以|pf|pf1|2，從而從而apf 的周長的周長|ap|pf|af|ap|pf1|2|af| 因為因為|af|32 6 6 215 為定值，所以當(dāng)為定值，所以當(dāng)(|ap|pf1|)最小時，最小時，apf 的周長最小，的周長最小， 由圖象可知，此時點由圖象可知，此時點 p 在線段在線段 af1與雙曲線的交點處與雙曲線的交點處(如圖所示如圖所示) 由題意可知直線由題意可知直線 af1的方程為的方程為 y2 6x6 6， 由由 y2 6x6 6，x2y281， 得得 y26 6y960， 解得解得 y2 6或或 y8

9、 6(舍去舍去)， 所以所以 sapfsaf1fspf1f 1266 61262 612 6 10已知雙曲線已知雙曲線 c：x2a2y2b21(a0，b0)的離心率為的離心率為 3，且，且a2c33 (1)求雙曲線求雙曲線 c 的方程；的方程； (2)已知直線已知直線 xym0 與雙曲線與雙曲線 c 交于不同的兩點交于不同的兩點 a，b，且線段，且線段 ab 的中點在圓的中點在圓 x2y25 上，求上，求 m 的值的值 解：解：(1)由題意得由題意得 a2c33，ca 3，解得解得 a1，c 3. 所以所以 b2c2a22 所以雙曲線所以雙曲線 c 的方程為的方程為 x2y221 (2)設(shè)設(shè)

10、a，b 兩點的坐標(biāo)分別為兩點的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，線段，線段 ab 的中點為的中點為 m(x0，y0) 由由 xym0，x2y221， 得得 x22mxm220(判別式判別式 0) 所以所以 x0 x1x22m，y0 x0m2m 因為點因為點 m(x0，y0)在圓在圓 x2y25 上，上， 所以所以 m2(2m)25 故故 m 1 層級二層級二 應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)應(yīng)試能力達(dá)標(biāo) 1雙曲線雙曲線x24y2121 的焦點到漸近線的距離為的焦點到漸近線的距離為( ) a2 3 b2 c 3 d1 解析：解析：選選 a 不妨取焦點不妨取焦點(4,0)和漸近線和漸近線 y 3x，則所求距離

11、，則所求距離 d|4 30|312 3故選故選a 2若雙曲線與橢圓若雙曲線與橢圓x216y2641 有相同的焦點，它的一條漸近線方程為有相同的焦點，它的一條漸近線方程為 yx，則雙曲，則雙曲線的方程為線的方程為( ) ay2x296 by2x2160 cy2x280 dy2x224 解析：解析：選選 d 設(shè)雙曲線方程為設(shè)雙曲線方程為 x2y2(0)，因為雙曲線與橢圓有相同的焦點，且焦，因為雙曲線與橢圓有相同的焦點，且焦點為點為(0， 4 3)，所以，所以 0，b0)由題意，知過點由題意，知過點(4，2)的漸近線方程為的漸近線方程為 ybax，所以，所以2ba4，即，即 a2b設(shè)設(shè) bk(k0)

12、，則，則 a2k，c 5k，所以所以 eca5k2k52故選故選 d 4(全國甲卷全國甲卷)已知已知 f1，f2是雙曲線是雙曲線 e：x2a2y2b21 的左、右焦點，點的左、右焦點，點 m 在在 e 上，上，mf1與與 x 軸垂直，軸垂直，sinmf2f113，則，則 e 的離心率為的離心率為( ) a 2 b32 c 3 d2 解析：解析：選選 a 法一：法一：作出示意圖，如圖，離心率作出示意圖，如圖，離心率 eca2c2a|f1f2|mf2|mf1|，由正弦定理得由正弦定理得 e|f1f2|mf2|mf1|sinf1mf2sinmf1f2sinmf2f12 23113 2 故選故選 a

13、法二：法二：因為因為 mf1與與 x 軸垂直，所以軸垂直，所以|mf1|b2a 又又 sinmf2f113，所以，所以|mf1|mf2|13，即，即|mf2|3|mf1|由雙曲線的定義得由雙曲線的定義得 2a|mf2|mf1|2|mf1|2b2a，所以，所以 b2a2，所以，所以 c2b2a22a2，所以離心率，所以離心率 eca 2 5已知雙曲線已知雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的一個焦點為的一個焦點為 f(2 5，0)，且離心率為，且離心率為 e52，則，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_ 解析：解析：由焦點坐標(biāo)，知由焦點坐標(biāo)，知 c2 5，由，由 eca52，可得，可得 a

14、4，所以，所以 bc2a22，則雙，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x216y241 答案：答案：x216y241 6已知雙曲線已知雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的右焦點為的右焦點為 f，若過點，若過點 f 且傾斜角為且傾斜角為 60 的直線的直線 l與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線的離心率與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線的離心率 e的取值范圍是的取值范圍是_ 解析：解析：由題意，知由題意，知ba 3，則，則b2a23，所以，所以 c2a23a2，即，即 c24a2，所以，所以 e2c2a24，所以所以 e2 答案：答案：2，) 7設(shè)雙曲線設(shè)雙曲線x2a2y2b

15、21(0aa，所以，所以 e2a2b2a21b2a22，則，則 e2 于是雙曲線的離心率為于是雙曲線的離心率為 2 8已知雙曲線已知雙曲線 c：x2y21 及直線及直線 l：ykx1 (1)若直線若直線 l 與雙曲線與雙曲線 c 有兩個不同的交點，求實有兩個不同的交點，求實數(shù)數(shù) k 的取值范圍；的取值范圍； (2)若直線若直線 l 與雙曲線與雙曲線 c 交于交于 a，b 兩點，兩點，o 為坐標(biāo)原點，且為坐標(biāo)原點，且aob 的面積是的面積是 2，求實，求實數(shù)數(shù) k 的值的值 解：解：(1)由由 ykx1，x2y21消去消去 y， 得得(1k2)x22kx20 由直線由直線 l 與雙曲線與雙曲線 c 有兩個不同的交點，有兩個不同的交點， 得得 1k20，4k28 1k2 0， 解得解得 2k 2且且 k 1 即即 k 的取值范圍為的取值范圍為( 2，1)(1,1)(1， 2) (2)設(shè)設(shè) a(x1，y1)，